劉柏均, 侯明善, 余 英

(西北工業(yè)大學自動化學院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

為了在日益復雜和激烈的戰(zhàn)場環(huán)境下獲得更好的打擊效能,帶攻擊角度約束的制導問題研究受到了廣泛的重視[1]。比例導引律由于其簡單易實現(xiàn)的特點,被廣泛應用于制導系統(tǒng)中。因為選取固定導航比的比例導引律無法滿足攻擊角度要求,文獻[2-3]提出基于定向制導方案的分步比例導引律，文獻[4-5]提出帶終端落角約束的偏置比例導引律,以上制導律形式簡單,能夠在保證制導精度條件下滿足攻擊角度要求,且易于工程實現(xiàn)。

近年來,針對帶攻擊角度約束的制導律設計問題,基于現(xiàn)代控制理論的研究成果比較豐富。在最優(yōu)控制理論和微分對策理論方面,文獻[6]應用Schwarz不等式,分別設計了一種控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)和無慣性環(huán)節(jié)情況下帶落角約束的一般加權最優(yōu)制導律;文獻[7]提出一種非線性微分對策制導律,得到了具有攻擊角度約束的狀態(tài)相關黎卡提方程的解析解。在滑模變結構控制理論方面,文獻[8]提出一種有限時間收斂滑模制導律,然后通過非線性反步設計將該制導律推廣到考慮自動駕駛儀動態(tài)延遲的情形上;文獻[9]提出一種帶攻擊角度約束的非奇異快速終端滑模制導律,該制導律具有本質上連續(xù)和快速收斂的特性;文獻[10]采用一種新的非線性飽和函數(shù)來構造積分滑模面中的積分項,提出一種含攻擊角度約束的全局積分滑模制導律;文獻[11]提出一種帶有攻擊角度約束的無抖振滑模制導律,通過在輸入的導數(shù)項中引入切換項進行擾動補償,從而有效消除了制導指令的抖振現(xiàn)象。在反演控制理論方面,文獻[12]結合反饋線性化方法,利用積分反演定理設計了二階子系統(tǒng)的虛擬控制律,提出一種考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的含攻擊角度約束的反演制導律；文獻[13]結合滑?？刂品椒?采用擴張狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)干擾,設計了一種帶終端角度約束的反演制導律。

在現(xiàn)代非線性控制理論中,為了便于研究高階非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題, Astolfi和Ortega于2003年首次提出浸入與不變(immersion and invariance, I&I)非線性自適應控制方法[14]。該方法不需要構造Lyapunov函數(shù),其主要思路是:將目標系統(tǒng)嵌入到對象里,并使得在一個不變流形上,它的特性和對象(漸近)一致[15]。雖然該方法提出的時間不長,但由于其顯著的非線性控制和自適應性能,受到了研究者的廣泛關注[16-19]。

本文針對含命中點角度約束的機動目標攔截制導問題,基于同一種設計思想,設計一種新的I&I復合制導律。首先設計I&I干擾估計器,再設計I&I制導律,I&I制導律設計過程將I&I估計器跟蹤誤差考慮在內。然后基于輸入-狀態(tài)穩(wěn)定理論證明閉環(huán)制導系統(tǒng)穩(wěn)定性。所設計的I&I估計器階數(shù)低、待設計參數(shù)少、跟蹤誤差收斂速度快。所設計的I&I制導律不含開關函數(shù)、結構簡單、制導精度高。

1 問題描述

為方便分析,考慮平面攔截問題,導彈和目標運動的幾何關系如圖1所示。圖1中,導彈M和目標T均視為質點,極坐標系下的彈目相對運動關系滿足:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,r表示彈目相對距離;q表示彈目視線角;θM和θT分別為導彈彈道角和目標航向角;aM和aT分別為導彈和目標的法向加速度;VM和VT分別為導彈和目標的速度。

圖1 彈目相對運動幾何關系Fig.1 Geometric of relative motion

假設導彈和目標的速度均為常數(shù),將式(2)對時間求一階導數(shù)并整理可得

(5)

(6)

因此,制導問題可描述為:設計導彈的加速度控制量u,使得當t→tf時,彈目視線角滿足q→qd,彈目相對距離滿足|r(t→tf)|≤rmin,其中rmin為給定的脫靶量精度指標。

2 I&I復合制導律

圖2 閉環(huán)制導系統(tǒng)結構框圖Fig.2 Structure of the closed-loop guidance system

2.1 I&I干擾估計器設計

對于系統(tǒng)(6),考慮如下拓展系統(tǒng):

(7)

首先在拓展狀態(tài)空間(x2,z1)T上定義一維流形

M1={(x2,z1)T∈R2|d-z1-h(x2)=0}

(8)

定義流形外坐標,即估計器跟蹤誤差為

(9)

對式(9)求導得

(10)

為使流形M1具有吸引性,選擇自適應律

(11)

則式(10)可以寫為

(12)

令h(x2)=k1x2,k1>0,則式(12)可以寫為

(13)

(14)

(15)

式中,u為待設計的I&I制導律。

2.2 I&I制導律設計

根據(jù)文獻[14]提出的I&I控制器設計方法,為將系統(tǒng)(6)的二階模型降為一階,首先定義以下映射函數(shù):

α:R→R,π:R→R2,φ:R2→R,v:R2×1→R

然后構造一全局漸近收斂到零的一階目標系統(tǒng)

(16)

式中,ξ∈R為目標系統(tǒng)狀態(tài)變量,不妨選取映射函數(shù)

π(ξ)=(π1(ξ),π2(ξ))T=(ξ,-aξ)T

(17)

那么在系統(tǒng)(6)的狀態(tài)空間上,一種簡單的一維流形可定義為

M2={x∈R2|φ(x)=ax1+x2=0}

(18)

設流形外動態(tài)行為的坐標為

z2=φ(x)=ax1+x2

(19)

則z2滿足

(a+A)x2+Bv(x,z2)+d

(20)

設計I&I控制律為

(21)

則式(20)可以寫為

(22)

此時,閉環(huán)制導系統(tǒng)狀態(tài)方程還包括

(23)

(24)

u=v(x,z2)=v(x,φ(x))=

(25)

代入相關參數(shù),將I&I制導律重寫為

(26)

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

(27)

考慮由式(22)和式(13)構成的如下修正閉環(huán)級聯(lián)系統(tǒng)

(28)

定理1級聯(lián)系統(tǒng)(28)是輸入-狀態(tài)穩(wěn)定的。

證明分析可知f1和f2均是全局Lipschitz的。根據(jù)引理2,系統(tǒng)(28)的兩個子系統(tǒng)均是輸入-狀態(tài)穩(wěn)定的。令t0=0,由假設1和引理1可知,存在KL類函數(shù)β1和β2以及K類函數(shù)γ1和γ2,使得

(29)

(30)

將式(30)代入式(29)有

(31)

根據(jù)級聯(lián)系統(tǒng)(28)的狀態(tài)變量z的定義和向量范數(shù)的性質,考慮不等式組

|z2(0)|≤‖z(0)‖

可知

(32)

其中

β(‖z(0)‖,t)=β1(‖z(0)‖,t)+γ1(β2(‖z(0)‖,t))+

β2(‖z(0)‖,t)

根據(jù)定理1,修正閉環(huán)級聯(lián)系統(tǒng)(28)是輸入-狀態(tài)穩(wěn)定的。

證畢

為了能夠直接說明制導系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定性,可根據(jù)式(32),設‖z(t)‖的上界為Δ,考慮到|z2(t)|≤‖z(t)‖,則式(19)可以寫為

且a>0

(33)

如果將z2視為有界輸入,那么x1可視為一階濾波器的輸出,可知狀態(tài)x1及其導數(shù)x2軌跡最終一致有界。

因此,在估計器(14)前饋補償和制導律(25)作為輸入的共同作用下,即使系統(tǒng)未知擾動d時變,閉環(huán)制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以保證。

3 仿真驗證和分析

為驗證本文所提出的I&I干擾估計器和I&I制導律的有效性,在Matlab平臺進行仿真。仿真參數(shù)設置為:彈目初始距離r0為5 000 m,初始視線角q0為30°;導彈飛行速度VM為常數(shù)500 m/s,導彈初始彈道角θM0為45°;目標飛行速度VT為常數(shù)250 m/s,目標初始航向角θT0為120°;重力加速度g取9.8 m/s2,導彈最大法向過載設定為10g。給定脫靶量精度指標rmin為0.1 m。期望終端視線角qd分別取20°、30°和40°(分別記為情況1,2,3)。設定目標法向機動加速度為

(34)

I&I制導律(26)中參數(shù)設置為:a=0.8,c=0.8。I&I干擾估計器(15)中參數(shù)設置為:k1=100,輔助項初值z1(0)=0,得到仿真結果如表1所示。從表1可以看出,本文提出的I&I制導律攔截時間短,脫靶量小,能以較小的攻擊角度誤差攔截機動目標。

表1 I&I制導律仿真結果

為進行基本制導性能對照,選取文獻[20]中提出的終端滑模制導律(terminal sliding mode guidance law, TSMGL)一并仿真,TSMGL設計為

s=x2+C|x1|a1sgnx1

(35)

(36)

TSMGL相關參數(shù)設置與文獻[20]相同。以期望終端視線角qd取40°為例,仿真計算得到的彈目運動軌跡、視線角、視線角速率和制導指令特性曲線如圖3～圖6所示。從圖3可見,在I&I制導律和TSMGL作用下,導彈均能快速攔截機動目標,彈道光滑,I&I制導律比TSMGL攔截速度提高約0.1 s。從圖4可見,I&I制導律作用下彈目視線角誤差能夠在約8 s收斂到期望值40°左右,且保持穩(wěn)定;而在TSMGL作用下,彈目視線角收斂速度在約4～9 s收斂緩慢,且始終沒能跟蹤上期望值。從圖5可見,I&I制導律作用下彈目視線角速率能夠收斂到零附近,直到制導最后一刻前不發(fā)散,受目標機動影響小;而在TSMGL作用下,彈目視線角雖然能提前收斂到零附近,但在制導結束時刻以前一段時間內有明顯發(fā)散趨勢。從圖6可見,I&I制導律指令除在制導初始時刻由于估計器誤差較大產生突變,在后續(xù)制導時間里保持光滑連續(xù),在約0.8 s后不再出現(xiàn)飽和現(xiàn)象,命中點附近過載要求低;而TSMGL指令在約3～4 s仍處于飽和狀態(tài)。

圖3 導彈和目標飛行軌跡Fig.3 Trajectories of missile and target

圖4 彈目視線角曲線Fig.4 Line of sight angle

圖5 彈目視線角速率曲線Fig.5 Line of sight angular rate

圖6 導彈過載指令曲線Fig.6 Missile acceleration command

(37)

為保證與I&I估計器的一致性,式(37)中各微分方程初值均設為零,各項參數(shù)選取與文獻[22]相同,仿真得到的干擾估計器跟蹤誤差曲線如圖7所示。從圖7可以看出,I&I估計器和NDOB估計誤差均能快速收斂到零附近,但NDOB在初始時刻產生了明顯的振蕩現(xiàn)象。在后續(xù)制導時間里,由于開關函數(shù)的存在,NDOB的估計值在真值附近連續(xù)小幅上下抖動,這也將造成制導指令產生小幅抖振,而I&I估計器的估計結果能夠光滑地漸近收斂到真值附近,這一定程度上也保證了制導指令的光滑性。仿真中I&I估計器增益k1取值越大,估計誤差收斂越快,但會造成初始時刻產生估計峰值,這也成為了圖6中制導初始時刻I&I制導律指令達到飽和的原因。因此，實際仿真和應用過程中k1的選取還需要綜合考慮,也可考慮將其設計為時變增益。

圖7 干擾估計器跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error of disturbance observers

根據(jù)以上分析可知,本文設計的I&I制導律對機動目標在保證攔截精度條件下,能夠實現(xiàn)攻擊角度約束,視線角收斂到期望值的速度快、時間短,制導指令光滑連續(xù)。將目標機動的綜合作用視為系統(tǒng)干擾,采用I&I方法進行估計并進行制導補償,能夠有效補償目標機動影響,且估計器只有一階,待設計參數(shù)少,估計精度高。仿真結果證明了本文提出的制導律的可行性。

4 結 論

本文針對含攻擊角度約束的機動目標攔截問題,基于I&I非線性控制理論設計了干擾估計器和制導律,通過理論推導和仿真分析可以得出以下3點:

(1) 在制導律設計中,將估計器的估計誤差影響考慮在內,推導出的制導律直接包含估計結果;

(2) 在推導干擾觀測器和制導律過程中,雖然將系統(tǒng)干擾變化率作為零處理,但針對干擾變化快速的情況,基于輸入-狀態(tài)穩(wěn)定理論證明了閉環(huán)制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性,說明該處理方法的合理性;

(3) 和現(xiàn)有的滑模制導律相比,本文的制導律設計方法簡單,由于沒有引進切換函數(shù),制導指令光滑連續(xù),便于執(zhí)行機構實現(xiàn)。

后續(xù)的研究可以考慮將本文的研究思路擴展到三維制導情形,并可以考慮導彈自動駕駛儀動態(tài)特性的影響。

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