劉慶國, 劉新學(xué), 夏 維, 郭會(huì)軍

(1. 火箭軍工程大學(xué)初級(jí)指揮學(xué)院, 陜西 西安 710025; 2. 中國人民解放軍31102部隊(duì), 江蘇 南京 210018)

0 引 言

隨著軍事航天力量在戰(zhàn)爭(zhēng)中的作用日趨顯著,爭(zhēng)奪制天權(quán)已經(jīng)成為各軍事大國在作戰(zhàn)中的首要任務(wù)之一[1]。眾所周知,衛(wèi)星是軍事航天力量最重要的組成部分,天基武器在反衛(wèi)作戰(zhàn)中有著不可替代的優(yōu)越性:全球部署、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、反應(yīng)時(shí)間短等[2-3]。多彈頭在軌武器平臺(tái)是一種攜帶多個(gè)子彈的天基動(dòng)能反衛(wèi)星武器,單個(gè)該類型武器平臺(tái)具備打擊多個(gè)敵方衛(wèi)星的能力,所以能夠有效地減少發(fā)射成本,威懾能力更強(qiáng)。在此背景下,本文研究了多個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的目標(biāo)分配優(yōu)化問題。

現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)包括飛行器在軌服務(wù)任務(wù)分配[4]、衛(wèi)星系統(tǒng)的多目標(biāo)分配[5]等?，F(xiàn)有文獻(xiàn)在指標(biāo)計(jì)算時(shí)大多考慮的是“單對(duì)單”問題,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的目標(biāo)分配優(yōu)化;部分文獻(xiàn)并未充分考慮能量的重要影響,而能量計(jì)算是造成計(jì)算量較大的關(guān)鍵所在。本文結(jié)合多彈頭在軌武器平臺(tái)“單對(duì)多”的武器特點(diǎn),建立了基于遺傳算法(genetic algorithm, GA)的單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)攔截軌道優(yōu)化模型,為后續(xù)計(jì)算目標(biāo)分配優(yōu)化的評(píng)價(jià)指標(biāo)打下基礎(chǔ);在指標(biāo)計(jì)算時(shí)將能量最優(yōu)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)之一;由于計(jì)算目標(biāo)分配優(yōu)化時(shí)計(jì)算量較大,本文在離散粒子群算法(discrete particle swarm optimization, DPSO)[6-9]的基礎(chǔ)上引入禁忌搜索(taboo search, TS)[10]進(jìn)行局部操作以提高算法性能,在此基礎(chǔ)上建立了基于DPSO-TS算法的目標(biāo)分配優(yōu)化模型;仿真結(jié)果表明該算法能夠快速有效地解決多個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的目標(biāo)分配優(yōu)化問題。

1 單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的攔截軌道優(yōu)化模型

多彈頭在軌武器平臺(tái)實(shí)施打擊地過程為:在軌控/姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的作用下,攜帶子彈機(jī)動(dòng)變軌,當(dāng)調(diào)整到合適軌道后釋放第一個(gè)子彈(即子彈釋放后按照當(dāng)前速度位置可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)衛(wèi)星的打擊),而后武器平臺(tái)再次機(jī)動(dòng)變軌,準(zhǔn)備釋放下一個(gè)子彈,以此類推。該小節(jié)為后續(xù)計(jì)算目標(biāo)分配優(yōu)化的評(píng)價(jià)指標(biāo)打下基礎(chǔ)。

在忽略各種攝動(dòng)力的前提下,本文基于單脈沖攔截假設(shè),以總速度增量‖Δvall‖最小值作為單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的攔截軌道優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù),表示為

(1)

式中,ti為武器平臺(tái)機(jī)動(dòng)變軌時(shí)刻;n為攔截目標(biāo)個(gè)數(shù)。其約束條件為

(2)

式中,Tmax為多彈頭在軌武器平臺(tái)攔截目標(biāo)衛(wèi)星的時(shí)間上限;n為子段數(shù)目;Δvi為第i段軌道的速度增量;Δvmax為最大速度增量。

軌道消耗的燃料質(zhì)量表示為

(3)

式中,Δmi為第i段軌道消耗的燃料質(zhì)量;g0為重力加速度;mi為第i段軌道的起始時(shí)刻質(zhì)量。

利用GA對(duì)武器平臺(tái)機(jī)動(dòng)時(shí)刻進(jìn)行全局優(yōu)化搜索,進(jìn)而通過求解Lambert問題(見圖1),得到單脈沖攔截的速度增量,單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)在原軌道運(yùn)行時(shí),點(diǎn)P1處的位置矢量和速度矢量分別為r1和v1,假設(shè)單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)在點(diǎn)P1處進(jìn)行變軌,飛行Δt時(shí)間到達(dá)點(diǎn)P2,其在P1、P2處的位置矢量分別為r1、r2,速度矢量分別為v1、v2,則多單個(gè)彈頭在軌武器平臺(tái)在點(diǎn)P1處速度增量Δv的確定即為Lambert問題。Lambert問題的具體求解過程參考文獻(xiàn)[11]。

GA[12-13]的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

步驟1對(duì)武器平臺(tái)機(jī)動(dòng)時(shí)刻t1,t2,…,tn進(jìn)行編碼,隨機(jī)產(chǎn)生50個(gè)染色體作為初始種群,設(shè)置交叉概率為Pc,變異概率Pm,最大迭代次數(shù)N。

步驟2適應(yīng)度函數(shù)為fitness=1/‖Δvall‖,計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)度值及群體的適應(yīng)度值總和。

圖1 Lambert問題Fig.1 Lambert problem

步驟3利用輪盤賭(roulette wheel selection, RWS)方法進(jìn)行選擇,輪盤中的區(qū)域大小與適應(yīng)度函數(shù)值成正比(見圖2),每轉(zhuǎn)動(dòng)一輪,指針指向的作為繁殖后代的個(gè)體(R1,R2,…,Rk表示染色體1,2,…,k);本文采用單點(diǎn)交叉作為交叉方式:在選擇兩個(gè)交叉?zhèn)€體后,隨機(jī)選取交叉點(diǎn),然后將兩個(gè)交叉體位于交叉點(diǎn)右側(cè)的基因進(jìn)行交換;假設(shè)變異概率為Pm變異的具體操作為:產(chǎn)生(0,1)上的隨機(jī)數(shù)α,若α≤Pm,則改變隨機(jī)染色體上隨機(jī)位置的基因值。

圖2 輪盤賭Fig.2 Roulette wheel selection

步驟4重復(fù)執(zhí)行步驟2、步驟3,直到算法收斂或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。

通過上述方法即可求解給定順序的‖Δvall‖,進(jìn)而可以得到完成攔截所需的最少燃料質(zhì)量。

2 基于DPSO-TS算法的目標(biāo)分配優(yōu)化模型

由于多彈頭在軌武器平臺(tái)的目標(biāo)分配優(yōu)化問題中計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)(尤指評(píng)價(jià)指標(biāo)(2))計(jì)算量較大,所以快速計(jì)算成為影響解決該問題的關(guān)鍵。本文的DPSO-TS算法是DPSO與TS相結(jié)合的一種混合算法。慣性權(quán)重是DPSO算法的一項(xiàng)重要參數(shù),其值越大則全局搜索能力越強(qiáng),越小則局部搜索能力越強(qiáng)[14-15],本文在具有較強(qiáng)全局搜索能力DPSO算法的基礎(chǔ)上加入局部搜索能力較強(qiáng)的TS算法,進(jìn)而提高算法性能,使算法能夠快速收斂。

2.1 目標(biāo)分配的數(shù)學(xué)描述

假設(shè)有個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)W=(W1,W2,…,WN),M個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星T=(T1,T2,…,TM),每個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)攜帶K個(gè)子彈,定義目標(biāo)分配矩陣XN×M[16-18]中各元素為

(4)

可以得到多彈頭在軌武器平臺(tái)目標(biāo)分配問題[19-20]的數(shù)學(xué)描述為

maxf(X)=(f1,f2,…,fn)T

(5)

式中,(f1,f2,…,fn)為評(píng)價(jià)指標(biāo);K為多彈頭在軌武器平臺(tái)攜帶的子彈數(shù)目;mxi為第i個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)消耗的燃料;mmax為單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)攜帶總?cè)剂?。約束條件的意義在于:單個(gè)武器平臺(tái)最多打擊K個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星;單個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星最多被一個(gè)子彈打擊;單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)消耗燃料不得多于攜帶總?cè)剂稀?/p>

2.2 優(yōu)化指標(biāo)

對(duì)于數(shù)學(xué)描述中的優(yōu)化指標(biāo)f(X)=(f1,f2,…,fn)T主要包括兩個(gè)方面:一是打擊目標(biāo)衛(wèi)星的數(shù)目,二是完成打擊后所有多彈頭在軌武器平臺(tái)中單個(gè)武器平臺(tái)剩余燃料的最小值。

(1) 打擊目標(biāo)數(shù)目

打擊的目標(biāo)數(shù)目越多,對(duì)敵方的破壞越大,則以打擊目標(biāo)數(shù)目作為評(píng)價(jià)指標(biāo),即

(6)

(2) 單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)剩余燃料的最小值

平臺(tái)剩余燃料為用來機(jī)動(dòng)變軌的剩余燃料。該評(píng)價(jià)指標(biāo)是在評(píng)價(jià)指標(biāo)(1)的基礎(chǔ)上計(jì)算的,即評(píng)價(jià)指標(biāo)(1)達(dá)到最大后再考慮該評(píng)價(jià)指標(biāo)。單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)剩余的燃料越多,其在軌時(shí)間越長,對(duì)目標(biāo)衛(wèi)星的在軌威懾時(shí)間越長。為了強(qiáng)調(diào)對(duì)所有目標(biāo)衛(wèi)星的總體控制,則以單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)剩余的燃料最小值作為評(píng)價(jià)指標(biāo),即

f2(X)=min{mx1,mx2,…,mxn}

(7)

在計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)(2)時(shí),需要通過第1節(jié)單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的攔截軌道優(yōu)化模型求解剩余燃料質(zhì)量。

通過上述分析,得到優(yōu)化指標(biāo)f(X)為

(8)

式中,k1、k2為權(quán)重系數(shù),為了體現(xiàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)(2)是在評(píng)價(jià)指標(biāo)(1)的基礎(chǔ)上計(jì)算的,本文用式(9)來約束k1、k2的取值。

(9)

式(9)的含義在于增加或者減少一個(gè)打擊目標(biāo)(指標(biāo)1)對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響大于全部用來機(jī)動(dòng)變軌燃料剩余(指標(biāo)2)對(duì)于評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響,如果優(yōu)化結(jié)果f1對(duì)應(yīng)的打擊目標(biāo)數(shù)目小于優(yōu)化結(jié)果f2,即使f1燃料全部剩余,其優(yōu)化指標(biāo)值也將會(huì)小于f2。

2.3 DPSO算法的元素構(gòu)建

(1) 粒子編碼

采用實(shí)數(shù)編碼方式,粒子長度為KN,K為多彈頭在軌武器平臺(tái)攜帶的子彈數(shù)目,N為多彈頭在軌武器平臺(tái)數(shù)目,其編碼方式如圖3所示。

(2) 粒子適應(yīng)度計(jì)算

采用式(8)作為粒子適應(yīng)度函數(shù)f(X)。

(3) 位置和速度更新公式

粒子的位置是由粒子的速度、個(gè)體極值和全局極值作用的結(jié)果,其位置和速度的更新公式為

(10)

(13)

式(11)表示粒子對(duì)自身飛行速度的思考,rand()表示區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)數(shù),當(dāng)rand()<ω時(shí),即在[1,N]之間產(chǎn)生2個(gè)隨機(jī)數(shù)a和b,粒子產(chǎn)生a,b兩個(gè)位置并進(jìn)行交換;式(12)表示粒子根據(jù)Pi調(diào)整位置,c1為兩者的交叉概率;式(13)表示粒子根據(jù)Pg調(diào)整位置,c2為兩者的交叉概率。式(12)和式(13)的位置產(chǎn)生方式和式(11)一致。

2.4 DPSO-TS算法的步驟及流程圖

TS算法的計(jì)算是在每計(jì)算一步DPSO算法后進(jìn)行的,TS算法的基本元素包含:初始解、適配值函數(shù)、鄰域、移動(dòng)、候選集、禁忌表及其長度、特赦準(zhǔn)則、多樣性搜索策略和終止條件等。各元素的具體含義參考文獻(xiàn)[10]?；赥S算法的局部操作流程如下:

步驟1設(shè)置參數(shù),算法初始化,包括禁忌長度LT,候選集大小MT以及最大迭代次數(shù)TMT。

步驟3根據(jù)集中性與多樣性搜索策略,生成當(dāng)前解的鄰域,并且從鄰域中選取NT個(gè)粒子作為候選集Openlist(Y)。

步驟4根據(jù)計(jì)算的適度值fitT(Yi),判斷是否滿足特赦準(zhǔn)則,若滿足,則用被解禁的候選解代替當(dāng)前的Yi,并將Yi置入禁忌表;若不滿足,保持Yi不變。

步驟5從Openlist(Y)中選出未被禁忌表Tabulist(Z)所禁忌的當(dāng)前最優(yōu)解,更新Tabulist(Z)。

步驟6判斷是否滿足禁忌搜索的終止條件,若滿足,則輸出PTbest;若不滿足,執(zhí)行步驟3。

依據(jù)上述內(nèi)容,基于DPSO-TS算法的目標(biāo)分配優(yōu)化計(jì)算流程圖如圖4所示,具體流程如下:

步驟1設(shè)置參數(shù),設(shè)定粒子群的規(guī)模大小P,多彈頭在軌武器平臺(tái)的數(shù)目N,單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的子彈數(shù)目K,最大迭代次數(shù)TM,以及ω、c1和c2。

步驟2初始化種群并計(jì)算各粒子的適應(yīng)度函數(shù)值f(X),記錄初始個(gè)體極值Pi和全局極值Pg。

步驟3利用式(10)更新粒子的位置,計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值f(X)并更新Pi和Pg。

步驟4TS算法初始化,包括候選集大小MT,最大迭代次數(shù)TMT以及禁忌長度LT。

步驟6根據(jù)多樣性與集中性搜索策略,生成解的鄰域,并且從鄰域中選取NT個(gè)粒子作為候選集Openlist(Y)。

步驟7判斷fitT(Yi)是否滿足特赦準(zhǔn)則,若滿足,則用滿足的解代替當(dāng)前的Yi,并將Yi置入禁忌表;若不滿足,保持Yi不變。

步驟8從Openlist(Y)中選出未被禁忌的當(dāng)前最優(yōu)解,并更新Tabulist(Z)。

圖4 DPSO-TS算法的計(jì)算流程圖Fig.4 Calculating flow of DPSO-TS

3 仿真計(jì)算及結(jié)果分析

3.1 仿真條件

本文給定3個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)(A1、A2和A3)以及22顆目標(biāo)衛(wèi)星(T1～T22)的軌道參數(shù)如表1所示。本文假設(shè)單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的質(zhì)量為1 000 kg,攜帶燃料250 kg,Tmax為8小時(shí),同時(shí)每個(gè)多彈頭在軌攔截器至少剩余50 kg燃料用來軌道保持;發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為300 s,發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最大值為480 N;粒子群的規(guī)模P=10,最大迭代次數(shù)TM=20,為了提高粒子群算法的全局搜索能力,設(shè)定慣性權(quán)重,認(rèn)知系數(shù),社會(huì)系數(shù);在進(jìn)行禁忌搜索時(shí),從鄰域中隨機(jī)選取5個(gè)作為候選解,即NT=5;依據(jù)式(9),給定評(píng)價(jià)指標(biāo)中的權(quán)系數(shù)k1,k2分別為0.996和0.004。

表1 武器平臺(tái)和目標(biāo)衛(wèi)星的軌道參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果及分析

DPSO算法和DPSO-TS算法的算法性能如表2所示,兩者的收斂曲線以及兩者最優(yōu)解對(duì)比隨迭代次數(shù)的變化曲線分別如圖5～圖7所示,隨迭代時(shí)間的變化曲線分別如圖8～圖10所示。表2給出了圖5～圖10中的關(guān)鍵參數(shù),通過仿真結(jié)果可以看出,DPSO和DPSO-TS算法兩者運(yùn)算得到的結(jié)果一致:兩者的優(yōu)化指標(biāo)值均為9.372,多彈頭在軌武器平臺(tái)A1對(duì)應(yīng)的目標(biāo)衛(wèi)星為T1、T12和T14,A2對(duì)應(yīng)的目標(biāo)衛(wèi)星為T6、T9和T16,A3對(duì)應(yīng)的目標(biāo)衛(wèi)星為T8、T19和T20;DPSO-TS算法迭代4次后終止計(jì)算并得到最優(yōu)解,迭代時(shí)間為392.852 s,DPSO算法在迭代8次后終止計(jì)算并得到最優(yōu)解,迭代時(shí)間為721.329 s。

表2 DPSO和DPSO-TS的算法性能比較

圖5 DPSO算法收斂曲線Fig.5 Convergence curve of DPSO algorithm

圖6 DPSO-TS算法收斂曲線Fig.6 Convergence curve of DPSO-TS algorithm

圖7 DPSO和DPSO-TS的算法收斂曲線對(duì)比圖Fig.7 Convergence curve comparison between DPSO and DPSO-TS

圖8 DPSO算法收斂曲線Fig.8 Convergence curve of DPSO algorithm

仿真結(jié)果表明DPSO-TS算法在保證優(yōu)化結(jié)果與DPSO算法一致的前提下,其完成計(jì)算的時(shí)間只是DPSO算法所用時(shí)間的54.5%,收斂速度更快,因此該方法能夠快速有效地解決多個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)的目標(biāo)分配優(yōu)化問題。

圖9 DPSO-TS算法收斂曲線Fig.9 Convergence c urve of DPSO-TS algorithm

圖10 DPSO和DPSO-TS的算法收斂曲線對(duì)比圖Fig.10 Convergence curve comparison between DPSO and DPSO-TS

4 結(jié)束語

考慮到多彈頭在軌武器平臺(tái)目標(biāo)分配優(yōu)化時(shí)指標(biāo)計(jì)算復(fù)雜的問題,本文將TS算法與DPSO算法相結(jié)合,以減少計(jì)算量;根據(jù)武器特點(diǎn)對(duì)粒子進(jìn)行編碼;為了實(shí)現(xiàn)多個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)能夠長期對(duì)目標(biāo)衛(wèi)星的控制,將能量最優(yōu)作為評(píng)價(jià)之一。仿真結(jié)果表明本文采用的方法能夠快速有效地解決多彈頭在軌武器平臺(tái)目標(biāo)分配優(yōu)化問題。

在計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí),實(shí)現(xiàn)單個(gè)多彈頭在軌武器平臺(tái)有限推力作用下的攔截軌道優(yōu)化將會(huì)是今后研究的重點(diǎn)之一;軌道保持是在軌武器平臺(tái)的一項(xiàng)關(guān)鍵能力,如何準(zhǔn)確地給出軌道保持時(shí)間和所需燃料的關(guān)系也是今后研究的重點(diǎn)。本文著眼于解決問題實(shí)際,進(jìn)一步完善了空間武器的相關(guān)理論研究,具有一定的理論研究和現(xiàn)實(shí)意義。

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