逯志宇, 巴 斌, 任衍青, 王大鳴

(信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院, 河南 鄭州 450001)

0 引 言

目標跟蹤是對目標位置和速度的實時估計,無論是在民用領(lǐng)域還是軍事領(lǐng)域,都是不可或缺的重要技術(shù)。尤其隨著航空航天事業(yè)的蓬勃發(fā)展,以及現(xiàn)代戰(zhàn)爭信息化的轉(zhuǎn)變,運動目標位置與速度的實時估計和預(yù)測具有重要研究價值,已成為一個十分活躍的研究方向[1]。

傳統(tǒng)跟蹤方法首先利用接收信號估計含有目標位置信息的到達時間(time of arrival, TOA)[2]、到達角度(angle of arrival, AOA)[3]、到達時間差(time difference of arrival, TDOA)[4]或到達頻率差(frequency difference of arrival, FDOA)[5]等位置參數(shù),然后通過求解這些參數(shù)構(gòu)成的跟蹤方程獲得目標運動軌跡。由于跟蹤方程非線性較強,在目標位置和速度的聯(lián)合估計中面臨高維搜索問題,為此文獻[6]提出了一種加權(quán)兩步最小二乘算法對定位方程進行求解,然后利用卡爾曼濾波(Kalman filtering, KF)方法對估計結(jié)果進行平滑得到運動軌跡。雖然這種方法簡單易于實現(xiàn),但是在低信噪比條件下性能惡化嚴重,跟蹤效果不佳。為了解決此問題,擴展卡爾曼濾波(extended KF, EKF)被引入到跟蹤系統(tǒng)中[7],不需要求解跟蹤方程,而是根據(jù)位置參數(shù)對目標運動狀態(tài)進行實時估計,相對KF方法具有更好的性能。但是,EKF算法利用泰勒級數(shù)展開近似非線性函數(shù),并且只保留了一階項,在低信噪比下會帶來較大誤差,甚至濾波發(fā)散[8]。針對EKF算法的缺點,很多改進算法被提出,如無損卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)[9]、積分卡爾曼濾波(quadrature Kalman filter, QKF)[10]、容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filtering, CKF)[11]、粒子濾波(particle filter, PF)[12]等,這些算法在非線性函數(shù)擬合上能夠達到更高階的近似,跟蹤性能不斷提升。

雖然經(jīng)過算法改進,傳統(tǒng)兩步跟蹤算法的精度不斷提高,但這種跟蹤方法在本質(zhì)上仍然存在兩點不足:一是在參數(shù)估計階段忽略了觀測站之間的聯(lián)系,各觀測站之間參數(shù)估計過程相互獨立,并未考慮定位參數(shù)來自于同一目標這一先驗信息,損失了部分位置信息;二是第一步參數(shù)估計將引入處理誤差,誤差的傳遞和累積不可避免,導(dǎo)致第二步跟蹤精度受限。因此兩步方法是次優(yōu)的,不能獲得最佳的估計精度[13]。與之相比,近些年被提出的直接定位(direct position determination, DPD)算法不需要參數(shù)估計和位置解算分步計算,而是基于采樣信號直接估計目標位置,避免了兩步定位算法的缺點,能夠獲得更好的定位效果,已得到廣泛的研究[14-19]。

文獻[20-21]首先詳細闡述了DPD算法的基本原理,并給出了利用角度和時延信息的最大似然估計方法。針對最大似然估計高復(fù)雜度問題,文獻[22]提出了子空間數(shù)據(jù)融合DPD算法,文獻[23-24]提出了最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)算法,均降低了參數(shù)估計維度,減輕了計算壓力?？紤]觀測站運動場景,文獻[25]提出了異步觀測條件下的多運動站DPD算法,文獻[26]提出了基于時間和多普勒信息的DPD算法。將數(shù)據(jù)域直接位置解算思想引入到目標跟蹤領(lǐng)域,以基于TOA[27]、TDOA[28]和FDOA[29]等信息的DPD算法為基礎(chǔ),文獻[30-31]提出了一種目標直接跟蹤(direct trajectory determination, DTD)算法,給出了利用時延和多普勒頻率信息的算法原理,證明了DTD算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)兩步跟蹤算法。然而上述文獻利用了離散時延和多普勒信息,引入量化誤差,在采樣率較低時嚴重影響跟蹤精度,性能仍有待進一步提高。

綜上所述,為了進一步提高目標跟蹤性能,本文提出了一種利用連續(xù)時延和多普勒信息的直接跟蹤算法。與現(xiàn)有文獻相比,本文的貢獻在于,進一步提高了目標直接跟蹤精度,并利用進化PF方法提高跟蹤收斂速度,使算法更具實用價值。同時,本文還推導(dǎo)了所提跟蹤模型的克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB),給出了基于直接數(shù)據(jù)域跟蹤的誤差界限。

1 數(shù)據(jù)域直接跟蹤模型

設(shè)xk為目標發(fā)送的信號,假設(shè)信號模型為

x(t)=s(t)ej2πfct

(1)

式中,fc是載頻;s(t)是信號的包絡(luò)。設(shè)采樣點數(shù)為Nk,第l個觀測站在第k次觀測時得到采樣信號為

nk=1,2,…,Nk

(2)

(3)

(4)

(5)

Bτl,k(ok)=diag{exp(-j2π/Nknkτl,k(ok)/Ts)}

(6)

令

Bvl,k(ok)=diag{exp(j2πTsvl,k(ok)nk)}

(7)

聯(lián)合式(5)～式(7),令

Hl,k(ok)=Bvl,k(ok)VHBτl,k(ok)V

(8)

Hl,k(ok)包含了目標的位置和速度參數(shù),由于利用了時間和多普勒信息,稱之為時頻觀測矩陣。因此可將接收信號表示為

rl,k=Bvl,k(ok)VHBτl,k(ok)Vxk+wl,k=Hl,k(ok)xk+wl,k

(9)

令

(10)

則所有觀測站的接收信號聯(lián)合表示為

rk=Hk(ok)xk+wk

(11)

通過上述方法,使用連續(xù)時間信息避免了量化誤差的引入,將進一步提升跟蹤性能。系統(tǒng)基于接收信號的狀態(tài)方程和觀測方程可以表示為

ok+1=Fok+σk

(12)

rk=H(ok)xk+wk

(13)

式中,F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;σk為零均值高斯白噪聲,表示目標狀態(tài)的抖動誤差,其協(xié)方差矩陣為

(14)

2 PF直接跟蹤算法

在兩步跟蹤算法中,時間和頻率等參數(shù)作為觀測量,可采用的濾波方法較多,如EKF、UKF、CKF、PF等,并且在高信噪比條件下,性能相差并不明顯。但是在直接跟蹤方法中,由于觀測量是接收信號,非線性更強,導(dǎo)致EKF、UKF等方法效果并不理想,所以在直接跟蹤中選擇能夠處理更強非線性問題的PF算法較為合理。

(15)

根據(jù)大數(shù)定理,當M足夠大時,p(ok|rk)將收斂于真實的后驗概率。粒子權(quán)重計算公式為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(11),利用最小二乘準則,xk可表示為

(21)

將式(21)代入式(20),可以得到

(22)

(23)

從而得到估計結(jié)果為

(24)

根據(jù)式(17),下一時刻的采樣粒子為

(25)

為了解決PF存在的退化和貧化問題,基于遺傳進化思想的粒子空間構(gòu)造(evolutionary particle filter, EPF)方法較為常用,即對某些粒子進行變異來增加粒子的多樣性,然后根據(jù)一定的準則選擇出優(yōu)質(zhì)粒子進行下一代的計算。下面給出一種進化策略,由變異操作和選擇方法組成。在每一代濾波過程中,根據(jù)式(25)產(chǎn)生的新粒子,利用式(26)進行如下操作。

(26)

基于數(shù)據(jù)域的運動目標直接跟蹤算法相比于兩步跟蹤算法精度得到了提升。針對其高度非線性特點,本節(jié)給出了利用進化PF的迭代求解算法,與文獻[31]所用的標準PF相比,目標跟蹤效率得到提升,仿真實驗中將進一步證明所提算法的有效性。結(jié)合上述原理分析,可以將基于EPF的直接跟蹤(EPF-DTD)算法概括如下:

步驟2根據(jù)式(26)對采樣粒子進行變異操作,得到新的粒子集;

步驟5根據(jù)權(quán)重大小對粒子進行篩選,選擇權(quán)重較大的一半作為優(yōu)質(zhì)粒子;

步驟6利用優(yōu)質(zhì)粒子,根據(jù)式(24)得到本次迭代的目標狀態(tài)估計;

步驟7利用輪盤賭方法對粒子進行重采樣,根據(jù)式(25)得到下一代粒子;

步驟8如果迭代終止,將本次結(jié)果作為輸出,否則跳轉(zhuǎn)步驟2進行下一次迭代。

3 CRLB

CRLB給出了無偏估計量的方差下限,對研究模型的理論性能具有重要意義。本節(jié)將推導(dǎo)一種所提直接跟蹤模型CRLB的遞歸求解算法,給出目標狀態(tài)的估計性能界限。

設(shè)P(r,o)是(r,o)聯(lián)合概率分布,則費希爾信息矩陣(Fisher information matrix, FIM)可以表示為

(27)

式中,Δ為偏導(dǎo)算子,表示為

(28)

(29)

則o2的FIM矩陣可以表示為

(30)

式中,J2也稱為o2的信息子矩陣。

Pk+1=PkP(rk+1|ok+1)P(ok+1|ok)

(31)

從而k時刻的FIM矩陣可以表示為

(32)

進一步,在k+1時刻可以得到

(33)

根據(jù)式(31),可以得到

lgPk+1=lgPk+lgP(rk+1|ok+1)+lgP(ok+1|ok)

(34)

所以式(33)可以表示為

(36)

令

(37)

顯然,有式(38)成立

(38)

從而有

(39)

根據(jù)式(30),第k+1時刻對新增ok+1的信息子矩陣為

(40)

化簡可得

(41)

根據(jù)式(32)有

(42)

所以結(jié)合式(41)和式(42),可以得到CRLB的遞推公式為

(43)

結(jié)合第1節(jié)給出的跟蹤模型,式(37)可以表示為

(44)

式中

(45)

表示在k+1時刻狀態(tài)ok+1獨立的FIM矩陣,根據(jù)式(11)和式(27),有

(46)

利用鏈式法則,可以得到

(47)

式中

(48)

(49)

(50)

(51)

4 仿真分析

為了驗證所提算法的性能,本節(jié)將對EPF-DTD算法的跟蹤精度和CRLB進行仿真,并與文獻[31]中提出的時延和多普勒信息離散化直接跟蹤算法(簡記為PF-DTD)和基于時頻差的兩步跟蹤算法(簡記為PF-TDOA/FDOA)進行對比。

為了說明各算法的跟蹤性能,在信噪比20 dB條件下,得到算法的跟蹤效果如圖1所示,運動方向由下向上,跟蹤誤差變化曲線如圖2所示?？梢钥闯?3種算法在經(jīng)過短暫的調(diào)整后都能以一定的誤差跟蹤目標,其中PF-DTD算法的跟蹤精度和速度比PF-TDOA/FDOA算法略有提升,證明直接跟蹤方法具有一定優(yōu)勢。但是由于PF-DTD算法對時延做了量化處理,引入了部分量化噪聲,直接跟蹤方法的性能優(yōu)勢并未完全展現(xiàn)。EPF-DTD算法避免了量化問題,并且對PF算法做了改進,所以在跟蹤速度和精度上相對于PF-DTD算法具有較大的提高。在圖1的放大圖中可以看到,當目標做折線運動時,EPF-DTD能夠在短時間內(nèi)快速的跟蹤目標運動變化,并且誤差能夠保持在較低水平,而PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的跟蹤速度相對較慢,誤差變化較大,進一步證明了本文所提算法的有效性。

圖1 不同算法位置跟蹤過程Fig.1 Position tracking of different algorithms

圖2 不同算法位置均方根誤差Fig.2 Root mean square error (RMSE) of location for different algorithms

在相同條件下,圖3和圖4是速度跟蹤效果以及誤差曲線。從圖中可以看出,PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的速度跟蹤能力大致相同,且誤差較大,而EPF-DTD算法能夠在短時間內(nèi)達到較好的跟蹤效果,最終誤差能夠維持在較低水平。當目標做折線運動時,EPF-DTD可以快速跟蹤目標速度變化,而PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的跟蹤效果相對較差。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是,速度的跟蹤能力取決于FDOA信息的處理能力,PF-TDOA/FDOA算法對FDOA參數(shù)的估計精度較低,影響了跟蹤精度,PF-DTD算法中的量化誤差也間接影響了速度的跟蹤效果,而EPF-DTD算法避免了上述問題,因此速度跟蹤效果較為理想。

為了說明EPF-DTD算法的跟蹤性能,得到其CRLB隨迭代次數(shù)k和信噪比的變化曲線如圖5所示?？梢钥闯?隨著信噪比的增加,算法的跟蹤精度不斷提高,證明了算法的跟蹤性能。隨著迭代次數(shù)的增加,在高信噪比條件下,跟蹤精度相應(yīng)提高,并且能夠快速收斂；但是在較低信噪比條件下,收斂速度變慢,需要較長時間才能夠穩(wěn)定。原因在于,一方面,觀測信號較弱時,無法快速消除先驗假設(shè)引進的誤差；另一方面,由于目標運動,不同位置所能達到的理論估計精度會有波動,在信噪比較低時會對跟蹤性能帶來影響。

圖4 不同算法速度跟蹤誤差Fig.4 Speed tracking error of different algorithms

圖5 EPF-DTD算法的CRLB隨迭代次數(shù)k和信噪比的變化曲線Fig.5 CRLB of EPF-DTD algorithm over signal-to-noise ratio (SNR) and k

進一步,令迭代次數(shù)k=100,對各算法進行50次蒙特卡羅仿真實驗,將不同算法位置估計誤差隨信噪比的變化趨勢進行對比,其結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?PF-DTD算法與PF-TDOA/FDOA算法在高信噪比條件下性能相近,但在低信噪比條件下,PF-DTD算法性能有明顯提升,證明了直接跟蹤思想的正確性。相比于PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法,本文提出的EPF-DTD算法在跟蹤精度上有較大地提升,證明算法構(gòu)造連續(xù)時延信息模型以及利用EPF算法求解的有效性。同時可以看到,EPF-DTD算法能夠接近CRLB,由于實際濾波中粒子數(shù)量有限,與CRLB仍有微小距離,但在高信噪比條件與CRLB基本吻合。

圖6 不同算法性能隨信噪比變化曲線Fig.6 RMSE of position versus SNR of different algorithms

為了驗證不同采樣頻率對算法的影響,在fs=1 MHz和fs=0.5 MHz條件下對EPF-DTD算法和PF-DTD算法的跟蹤誤差進行了仿真,結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?采樣頻率對EPF-DTD算法的影響較小,不同采樣率下算法的跟蹤性能相近。而PF-DTD算法由于受量化誤差的影響,當采樣頻率下降時,性能下降較快。結(jié)果說明，本文所提EPF-DTD算法有效避免了PF-DTD算法的量化誤差問題,可以在較小采樣率下獲得優(yōu)異的跟蹤性能。

圖7 不同采樣頻率時算法跟蹤誤差對比Fig.7 Comparison of tracking error at different sampling rates

5 結(jié) 論

本文針對目標跟蹤問題,提出一種利用連續(xù)時延信息,并基于進化PF的直接跟蹤方法,給出了詳細的模型構(gòu)建、原理分析和CRLB推導(dǎo)過程。所提算法利用觀測站接收信號直接進行目標跟蹤,具有比兩步定位更高的跟蹤精度,同時進化PF方法提高了算法的計算效率。仿真實驗給出了所提算法與其他算法的性能對比,證明了算法能夠獲得更好的跟蹤性能,具有一定實用價值。

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