向星皓, 張毅鋒, 陳堅強,, 袁先旭, 何 琨

(1.空氣動力學(xué)國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

0 引 言

層流過渡至湍流的轉(zhuǎn)捩問題被認為是經(jīng)典物理遺留的難題之一，該問題尚未完全解決并將長期作為現(xiàn)代流體力學(xué)重點關(guān)注的前沿領(lǐng)域而存在。轉(zhuǎn)捩研究不僅具有重要的基礎(chǔ)理論意義，還具有重要的工程應(yīng)用價值，因為轉(zhuǎn)捩起始位置及區(qū)域會影響航空航天飛行器表面的氣動力、熱分布，進而對飛行器的操縱特性以及熱防護設(shè)計等帶來影響。在能夠準確預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置的前提下，可以通過優(yōu)化外形、改變壁面條件等多種手段延遲轉(zhuǎn)捩的發(fā)生，從而有效實現(xiàn)飛行器減阻以及熱防護設(shè)計的優(yōu)化。

轉(zhuǎn)捩過程受諸多因素的影響，轉(zhuǎn)捩機制亦多種多樣。在真實飛行器的三維邊界層中，受壓力梯度和后掠角的共同作用，邊界層內(nèi)近壁區(qū)往往會出現(xiàn)與邊界層外勢流平面內(nèi)流線方向垂直的流動分量，稱為橫流流動，如圖1所示。由橫流速度拐點導(dǎo)致的橫流失穩(wěn)機制在三維邊界層中普遍存在，常常成為三維邊界層轉(zhuǎn)捩的主導(dǎo)因素。

目前，橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測方法主要有兩類。一類是基于線性穩(wěn)定性理論以及非線性穩(wěn)定性理論的穩(wěn)定性分析方法，能夠預(yù)測橫流轉(zhuǎn)捩中的首次失穩(wěn)[2-3]、橫流渦的飽和以及二次失穩(wěn)[4]。另一類是基于雷諾平均方程(RANS)的轉(zhuǎn)捩模型，該類方法與現(xiàn)代CFD相結(jié)合，從轉(zhuǎn)捩的統(tǒng)計特性出發(fā)，能夠以較低的計算條件、較少的計算資源獲得轉(zhuǎn)捩預(yù)測結(jié)果。本文主要介紹現(xiàn)階段橫流轉(zhuǎn)捩模型的研究進展，結(jié)合橫流判據(jù)對橫流轉(zhuǎn)捩模型進行分析與討論，并對橫流轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展進行了展望。

1 橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)

由于壓力梯度、后掠角等因素綜合作用，在邊界層內(nèi)部垂直于勢流區(qū)流線方向形成橫流速度剖面，相應(yīng)地會產(chǎn)生橫流渦。橫流不穩(wěn)定波的增長率比T-S波增長率大得多[5]，相應(yīng)的，在相同來流條件與相同迎角下，后掠翼繞流相比平直翼繞流其轉(zhuǎn)捩位置更靠前，湍流區(qū)域也更大。橫流失穩(wěn)模態(tài)可以分為定常模態(tài)與非定常模態(tài)，對應(yīng)定常橫流渦與非定常橫流渦，也稱之為駐波擾動與行波擾動，通常定常橫流渦由壁面粗糙度引起，非定常橫流渦由來流湍流度引起[6]。一般來講，后掠翼的行波擾動比駐波擾動的增長率要高[7]，但哪種擾動占主導(dǎo)地位則與具體情況有關(guān)，如表面粗糙程度以及自由來流擾動幅值等。在不可壓流動中，定常橫流渦在多數(shù)情況下均主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩，只有在高湍流度條件下橫流轉(zhuǎn)捩由非定常橫流渦主導(dǎo)[7]。超聲速可壓流中，何種擾動占主導(dǎo)地位還在研究當(dāng)中[8]。

1.1 橫流雷諾數(shù)

通過構(gòu)造橫流雷諾數(shù)并尋找臨界值作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)是傳統(tǒng)的橫流判據(jù)研究思路。早期橫流雷諾數(shù)由Owen和Randall[10]基于英國皇家空軍實驗室的飛行試驗數(shù)據(jù)[9]提出，其橫流雷諾數(shù)構(gòu)造如下

(1)

其中最大橫流速度Wmax為沿當(dāng)?shù)乇诿娣ㄏ驅(qū)ふ业臋M流速度最大值，是橫流速度為最大橫流速度10%且更靠近邊界層外緣的位置所對應(yīng)的壁面距離。該判據(jù)采用亞聲速實驗標定，橫流渦生成和由橫流渦導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩的臨界雷諾數(shù)分別約為125和175。由于該判據(jù)需要全場搜尋Wmax和δ10%，因此效率較低[1]。

2.3≤H12<2.7

(2)

(3)

C1準則的局限在于其只適用于計算后掠翼前緣附近的加速區(qū)域[1]。Chapman[18]驗證了Owen和Randall[10]的橫流判據(jù)在亞聲速至超聲速較大馬赫數(shù)范圍內(nèi)鈍前緣后掠翼繞流中的適用性，并基于實驗數(shù)據(jù)和二維邊界層近似假設(shè)提出了針對翼型的圓柱形前緣橫流雷諾數(shù)的簡化計算方法。Boltz等[15]通過風(fēng)洞實驗研究低速無尖梢后掠翼的后掠角對邊界層穩(wěn)定性的影響，認為后掠角、壓力梯度和流向雷諾數(shù)的綜合效應(yīng)可以用橫流雷諾數(shù)來表述，給出了臨界雷諾數(shù)，并提出了在后掠翼算例中已知壓力梯度時快速計算橫流雷諾數(shù)的方法。

迄今為止，多數(shù)橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)研究局限于低速流動，關(guān)于高超聲速流動橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的研究還很少，同時各種來流參數(shù)對高超聲速下橫流失穩(wěn)的影響還沒有嚴格定論[19]。Reed和Haynes[20]開展了帶迎角的高超聲速圓錐實驗，提出了高超聲速條件下考慮可壓縮效應(yīng)和壁溫效應(yīng)的橫流雷諾數(shù)RCF(new)。新定義的橫流雷諾數(shù)為：

RCF(new)=HLRCF=HLWmaxδ10%/υe

(4)

壓縮性修正因子H定義為：

(5)

壁溫修正因子L定義為：

+0.664A])/(5+2.385A)

(6)

圖2 帶側(cè)滑角圓錐實驗數(shù)據(jù)最小二乘法擬合[20]Fig.2 Linear least-squares fit through the experimentalyawed-cone data[20]

如圖2，Reed等采用上述實驗數(shù)據(jù)擬合得到新橫流雷諾數(shù)轉(zhuǎn)捩判據(jù)：

(7)

該判據(jù)適用于高超聲速流動，并且在不可壓條件下退化到傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)。但如圖2所示，依靠經(jīng)驗擬合構(gòu)造的新橫流雷諾數(shù)的橫流強度范圍有限，當(dāng)橫流強度大于8%以后，RCF(new)-Wmax/Ue是否滿足線性關(guān)系目前未知。

1.2 Kohama參數(shù)

在Kohama參數(shù)提出前，橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)研究工作基本上圍繞橫流雷諾數(shù)展開。橫流雷諾數(shù)雖然有多種定義形式，但始終未擺脫單純依靠實驗標定、受外形參數(shù)影響而適用范圍受限以及因需要全場尋找邊界層特定厚度和特定速度導(dǎo)致計算效率低等問題?；诖耍琄ohama和Davis[11]根據(jù)橫流渦和G?rtler渦的相似性提出了僅與無粘流區(qū)域相關(guān)而不需要邊界層全場信息的Kohama參數(shù)作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。Kohama等認為橫流不穩(wěn)定性和G?rtler不穩(wěn)定性主要區(qū)別僅在于離心力的方向不同，可以用相似的參數(shù)來判斷轉(zhuǎn)捩發(fā)生，類比G?rtler數(shù)提出了Kohama參數(shù)，定義如下：

(8)

Kohama參數(shù)的局限在于具有較強的幾何相關(guān)性[1]。在該橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)提出以后，Watanabe等[21]對Kohama參數(shù)進行改進以減弱其受邊界條件幾何特性影響，并將改進后的判據(jù)應(yīng)用到γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型中，構(gòu)造了基于當(dāng)?shù)亓康臋M流轉(zhuǎn)捩模型，詳細介紹見2.2節(jié)。

1.3 橫流強度

一般后掠角越大，橫流效應(yīng)越明顯。Müller和Herbst[14]采用流向渦強度用于指示邊界層內(nèi)的橫流信息，將無量綱的速度矢量與渦矢量點乘以獲得流線方向的渦量大小，又稱為Helicity參數(shù)。當(dāng)用壁面距離y對流向渦量無量綱化，得到橫流強度的判定標準Hcrossflow：

(10)

Ωstreamwise=|U·Ω|

(11)

(12)

Hcrossflow具有如下特點：無橫流時，在展向速度為零的近似二維流動中值為0；在橫流效應(yīng)很強的三維流動當(dāng)中，橫流強度越大，該值越大。

Hcrossflow的取值與后掠角和速度相關(guān)，可以用來指示橫流轉(zhuǎn)捩。需說明，Hcrossflow并不是像傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)或者Kohama參數(shù)直接作為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)，而是參與轉(zhuǎn)捩判據(jù)的構(gòu)造，如Langtry等[22]提出的定常橫流雷諾數(shù)ReSCF，見2.3節(jié)。Müller和Herbst[14]也根據(jù)Helicity參數(shù)提出了橫流轉(zhuǎn)捩模型，國內(nèi)史亞云等[23]對其進行了改進。

1.4 類比γ-Reθt模型的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)

目前橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測模型研究的熱點與難點在于模型參數(shù)的完全當(dāng)?shù)鼗约疤岣吣Ｐ驮趶?fù)雜構(gòu)型下的適用性[23]。Kohama準則[11]和流向渦判據(jù)[14]都是將當(dāng)?shù)厍蠼庾鳛榕袚?jù)構(gòu)造要求之一。而三維邊界層方程相似解是實現(xiàn)橫流模型參數(shù)當(dāng)?shù)鼗挠忠挥行緩健?/p>

圖3 類比γ-Reθt的橫流判據(jù)的構(gòu)造[13]Fig.3 Structure of CF-extension of the γ-Reθt model[13]

Grabe和Krumbein[13,24]針對γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型不適合計算三維橫流轉(zhuǎn)捩的問題，對模型進行了拓展，增加了橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。如圖3所示，該判據(jù)核心是基于速度梯度的橫流雷諾數(shù)Redw/dy與橫流臨界位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c的比值達到臨界值Kcf時，即認為轉(zhuǎn)捩發(fā)生：

Redw/dy/Reδ2c=Kcf

(13)

由于橫流方向不存在類似二維邊界層方程中渦雷諾數(shù)Rev與動量厚度雷諾數(shù)Reθ之間的線性關(guān)系，因此Kcf不是常數(shù)而是Hartree壓力梯度因子的函數(shù)。臨界橫流位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c是通過經(jīng)驗擬合而成的壓力梯度因子βh和當(dāng)?shù)睾舐咏?的函數(shù)。該函數(shù)通過不同壓力梯度下FSC方程的解來確定。該判據(jù)未涉及動量厚度雷諾數(shù)Reδ2t輸運方程求解，并且通過FSC數(shù)據(jù)庫實現(xiàn)了Reδ2c的當(dāng)?shù)鼗蚨哂挟?dāng)?shù)厍蠼馓匦浴?/p>

以上對目前常用的四類轉(zhuǎn)捩判據(jù)進行了介紹，基于這些判據(jù)出現(xiàn)了多種邊界層橫流轉(zhuǎn)捩模型，下面逐一進行分析討論。

2 橫流轉(zhuǎn)捩模型

湍流模型中工程應(yīng)用較普遍的是渦粘模型，如S-A模型[25]、k-ωSST剪切應(yīng)力輸運模型[26]等。時至今日，各類湍流模型依然在不斷改進與發(fā)展中。湍流模型與間歇因子、層流脈動動能、轉(zhuǎn)捩經(jīng)驗關(guān)系式、放大因子等相結(jié)合形成了各種轉(zhuǎn)捩模型[27]，進而通過各類橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)構(gòu)造出多種橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測模型。

Medida和Baeder[1]?；藱M流雷諾數(shù)并以其為判據(jù)引入到γ-Reθt模型中。王亮[5]等基于Warren和Hassan[28]的時間尺度，構(gòu)建了新型k-ω-γ湍流/轉(zhuǎn)捩模型，模型包含橫流時間尺度。周玲等[29]基于Owen和Randall[10]提出的橫流雷諾數(shù)，對k-ω-γ轉(zhuǎn)捩模型進行了橫流改進。張毅鋒等[30]采用了考慮可壓縮效應(yīng)和壁溫效應(yīng)的橫流雷諾數(shù)[20]，初步實現(xiàn)了γ-Reθt模型對高超聲速橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測。在Kohama參數(shù)[11]提出之后，Watanabe等[21]以其為判據(jù)在γ-Reθt模型中添加了橫流模塊，并嘗試對Kohama參數(shù)進行?；?。Langtry等[22]根據(jù)Müller和Herbst[14]提出的Helicity參數(shù)，引入粗糙度影響，構(gòu)建了橫流判據(jù)與模型。Grabe和Krumbein[13,24]基于FSC方程相似解構(gòu)建了當(dāng)?shù)鼗瘷M流模型，在此基礎(chǔ)上Choi和Kwon[31-32]引入T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用機制。徐家寬等[33-34]以不同壓力梯度下FSC方程解為數(shù)據(jù)庫類似地構(gòu)建了當(dāng)?shù)鼗瘷M流判據(jù)與模型。獨立的橫流模型方面，Vizinho等[35]針對三維邊界層轉(zhuǎn)捩基于S-A一方程模型構(gòu)造了唯象的橫流轉(zhuǎn)捩模型。

2.1 基于橫流雷諾數(shù)的橫流轉(zhuǎn)捩模型

橫流雷諾數(shù)作為橫流轉(zhuǎn)捩的判據(jù)之一，可以被直接應(yīng)用于橫流轉(zhuǎn)捩模型中，多數(shù)橫流模型的轉(zhuǎn)捩觸發(fā)都體現(xiàn)為其定義的橫流雷諾數(shù)ReCF大于某個臨界值ReCF-threshold。

2.1.1 時間尺度轉(zhuǎn)捩模型

Warren和Hassan[28]將不穩(wěn)定擾動波的影響νnt引入到有效渦粘系數(shù)中，記作ν=(1-γ)νnt+γνt。并假設(shè)νnt的形式與湍流粘性系數(shù)的形式相似，νnt=Cμkτnt，其中τnt對應(yīng)各模態(tài)不穩(wěn)定波的時間尺度，也包括橫流時間尺度。他們采用橫流時間尺度后能夠準確預(yù)測多種表面粗糙度下變雷諾數(shù)的亞聲速NLF(2)-0415后掠翼的一系列轉(zhuǎn)捩位置[28]。

同樣，基于時間尺度，王亮等提出了新型k-ω-γ湍流/轉(zhuǎn)捩模型[5]，他們通過定義當(dāng)?shù)叵鄬︸R赫數(shù)實現(xiàn)第一、二模態(tài)時間尺度的切換，并引入了以Reed等[20]橫流雷諾數(shù)R=44為橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的橫流時間尺度：

τnt=τnt,2d+τcrossflow

(14)

τcrossflow=C7·(4ζ/Ue)·

{-exp[-C8(ζUe/νe-44)2]}·(W/Ue)C9

(15)

該模型未考慮表面粗糙度因素對橫流轉(zhuǎn)捩的影響，在對不可壓后掠翼、后掠平板以及帶迎角的高超聲速圓錐邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測中，與實驗值符合較好。該模型只采用了當(dāng)?shù)亓?，避免了在邊界層?nèi)進行參數(shù)積分，提高了計算效率[36]。模型中R=44的橫流判據(jù)是基于靜音風(fēng)洞帶迎角尖錐的實驗數(shù)據(jù)擬合得到，針對不同的風(fēng)洞設(shè)備或不同來流噪聲條件，該判據(jù)可能需要重新標定。

周玲等[29]基于傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)判據(jù)對k-ω-γ[5]轉(zhuǎn)捩模型進行了改進，構(gòu)造了新的橫流時間尺度τcross，增大了橫流預(yù)測的適用性，并在高超聲速算例中進行了測試。橫流時間尺度τcross包含了橫流速度、橫流雷諾數(shù)等橫流相關(guān)物理量：

τcross=C7·ξeff/Ue·100·f(w)·f(ReCF)

(16)

f(w)=0.5[sign(|w/Ue|local-|w/Ue|crit)+1]|w/Ue|local

(17)

f(ReCF)=1-exp[-max(ReCF,local/ReCF,crit-1,0)2]

(18)

其中，橫流雷諾數(shù)采用Owen和Randall[10]等的定義，橫流時間尺度大于0視作橫流轉(zhuǎn)捩的啟動，該模型采用雙重判據(jù)，即橫流雷諾數(shù)和橫流速度同時超過臨界值時，橫流時間尺度為正值。圖4為該模型對馬赫數(shù)6、迎角0°、HIFiRE-5橢錐外形的轉(zhuǎn)捩位置進行預(yù)測的結(jié)果，基本可以模擬出雙肺葉狀轉(zhuǎn)捩陣面。模型需要確認邊界層范圍并需要沿壁面法向搜尋橫流速度最大值，非當(dāng)?shù)亓康那蠼馐鼓Ｐ驮诖笠?guī)模并行計算中受到限制。

2.1.2γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型

γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型是Menter等提出的一種經(jīng)驗關(guān)系式轉(zhuǎn)捩模型，該模型中的間歇因子觸發(fā)函數(shù)和有效間歇因子可以被用來實現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩模擬。

考慮到勢流區(qū)無粘流線彎曲是橫流流動的重要特征，Medida和Baeder[1]以橫流曲率半徑為長度尺度，并將曲率半徑矢量引入速度尺度中，基于不同橫流速度的定義構(gòu)造了兩種橫流雷諾數(shù)，其作為判據(jù)引入γ-Reθt-SA轉(zhuǎn)捩模型當(dāng)中：

(20)

UCF1=|u·r1+v·r2+w·r3|

(21)

UCF2=|u·r1|+|v·r2|+|w·r3|

(22)

R=(r1,r2,r3)

(23)

其中R是邊界層邊緣平行于壁面平面的橫流曲率半徑矢量，轉(zhuǎn)捩判據(jù)為：

FBL·max[ReMCF1]BL>0.7

(24)

FBL·max[ReMCF2]BL>2.0

(25)

Medida等研究發(fā)現(xiàn)第一種判據(jù)ReMCF1在非定常流動以及動邊界問題中的適用性較差，因此他們將第二種判據(jù)用于γ-Reθt模型中觸發(fā)函數(shù)：

(26)

該模型的標定僅采用了不考慮表面粗糙度因素的NLF(2)-0415后掠翼實驗數(shù)據(jù)，其判據(jù)ReMCF1和ReMCF2的臨界值的選取則是采用了該后掠翼算例上表面實驗轉(zhuǎn)捩位置處層流計算得到的最大值。模型的標定和判據(jù)臨界值的選取都過于單一，造成該模型過于經(jīng)驗化，普適性較差。

雖然該模型判據(jù)未實現(xiàn)完全當(dāng)?shù)鼗痆1](R是非當(dāng)?shù)刈兞?，受到非并行求解的限制，但在湍流模型中可實現(xiàn)性強，并且由于轉(zhuǎn)捩判據(jù)基于平均量，能夠添加至各類湍流模型中。Medida和Baeder[1]采用橫流模型對ONERA M6機翼轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測結(jié)果見圖5，橫流模型(Crossflow)與未添加橫流判據(jù)模型(Streamwise)相比，預(yù)測結(jié)果更接近實驗值。

張毅鋒等[30]對Langtry和Menter提出的γ-Reθt模型[37-38]進行改進以模擬高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩，并且根據(jù)Reed等的高超聲速橫流轉(zhuǎn)捩實驗結(jié)果[20]，采用以橫流雷諾數(shù)ReCF(new)為基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)捩準則，通過有效間歇因子的形式在γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型中實現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測：

γeff=min(γ,γsep,γCF)

(27)

(28)

R=ReCF(new)Ue/Wmax

(29)

其中Ue是邊界層外緣速度，Wmax是最大橫流速度。ReCF(new)作為新定義的橫流雷諾數(shù)，相比于Owen等[10]提出的傳統(tǒng)橫流雷諾數(shù)更適合作為高超聲速流場中的橫流判別標準。張毅鋒等[30]采用該模型對HIFiRE-5橢錐馬赫數(shù)6的風(fēng)洞實驗狀態(tài)進行了數(shù)值計算。計算前首先對R值進行了數(shù)值標定，在噪聲條件下取R=45。標定后，該模型在不同雷諾數(shù)下都取得了與噪聲風(fēng)洞實驗比較吻合的計算結(jié)果，圖6給出了其中一組單位雷諾數(shù)Re=4.1×106/ft的壁面熱流分布，預(yù)測的轉(zhuǎn)捩位置與測量結(jié)果符合較好。與周玲等方法相類似，該方法需要沿法向搜索邊界層最大橫流速度及相關(guān)的物理量，不屬于完全的局部計算。

圖5 采用?；瘷M流雷諾數(shù)準則的轉(zhuǎn)捩模型與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)捩模型間歇因子云圖對比[1]Fig.5 Transition onset prediction with new crossflowtransition criterion[1]

(上：風(fēng)洞試驗，下：計算結(jié)果)

2.2 基于Kohama橫流準則的轉(zhuǎn)捩模型

γeff=max(γ,γsep,γCF)

(30)

(32)

CKUe=CKReUe

(33)

其中Ue是邊界層邊緣速度，r是平行于壁面平面的勢流區(qū)流線曲率半徑，θ是橫流方向邊界層動量厚度，ReUe是基于邊界層邊緣速度的雷諾數(shù)。

2.3 基于橫流強度的轉(zhuǎn)捩模型

(34)

(35)

f(+ΔHcrossflow)-f(-ΔHcrossflow)

(36)

圖7 新型定常橫流經(jīng)驗關(guān)系式(ReθtSCF-h/θ)[22]Fig.7 New empirical correlation for stationary crossflow[22]

Langtry等[22]采用該模型對NLF(2)-0415機翼、6∶1橢球體和Sickle機翼進行了模擬，機翼的計算結(jié)果較準確地再現(xiàn)了橫流轉(zhuǎn)捩位置，與實驗值符合較好。如圖8，轉(zhuǎn)捩模型能夠準確預(yù)測鐮刀翼面上沿展向不規(guī)則分布的轉(zhuǎn)捩位置。該模型優(yōu)點是轉(zhuǎn)捩預(yù)測完全基于當(dāng)?shù)亓浚侠淼目紤]了壁面粗糙度的影響，并適用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和大規(guī)模并行計算。但Hcrossflow以及速度標量不具有伽利略不變性，并且修改后的衰減項DSCF具有較大的網(wǎng)格相關(guān)性。

Müller和Herbst以γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型為基礎(chǔ)，在動量厚度雷諾數(shù)輸運方程中添加源項PCF以考慮橫流效

圖8 Sickle機翼橫流轉(zhuǎn)捩壁面摩阻分布[22]Fig.8 Skin friction for sickle wing Undercross-flow transition[22]

應(yīng)對轉(zhuǎn)捩的影響，采用Helicity參數(shù)H=|ui·ωi|來表征當(dāng)?shù)氐臋M流強度。模型在NLF(2)-0415后掠翼以及橢球體算例中進行了測試。PCF具體表達式為：

(37)

史亞云等[23]在橫流源項PCF中添加了橫流速度并與Helicity參數(shù)相結(jié)合來指示橫流信息，修改后的橫流源項PCF,improved為：

(38)

其參數(shù)c1～c6都進行了重新標定。

改進后的模型提升了對6∶1橢球橫流轉(zhuǎn)捩的預(yù)測能力，如圖9。同時在對DLR-F5機翼的數(shù)值模擬中，捕捉到翼根處的橫流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象，與風(fēng)洞實驗測量符合較好。

圖9 橢球數(shù)值模擬同實驗轉(zhuǎn)捩位置對比[23]Fig.9 Comparison between model and experiment datafor transition localtion of prolate spheriod[23]

2.4 基于FSC方程的橫流轉(zhuǎn)捩模型

采用三維邊界層相似解實現(xiàn)橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)和橫流轉(zhuǎn)捩模型的當(dāng)?shù)鼗蠼馐悄壳皺M流轉(zhuǎn)捩模型研究的一個重要方向。Grabe和Krumbein[13,24]基于FSC三維邊界層相似解首先提出了類比γ-Reθt模型中轉(zhuǎn)捩判據(jù)的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。Choi和Kwon[31-32]在此基礎(chǔ)上采用該判據(jù)，在數(shù)值模擬中引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機制，拓寬了模型適用范圍，明顯提升了模型對橢球迎風(fēng)面的橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測能力。徐家寬等[33-34]以不同壓力梯度FSC方程的解為數(shù)據(jù)庫，類似地構(gòu)造當(dāng)?shù)鼗臋M流轉(zhuǎn)捩判據(jù)與模型。

FSC方程的解是二維Falkner-Skan方程拓展到三維Falkner-Skan-Cooke方程的相似解，二維邊界層(FS方程)沿垂直于前緣的弦向，拓展的橫向流動方程(Cooke方程)沿前緣展向。通過引入流函數(shù)和無量綱化壁面距離，在邊界層外緣速度滿足一定條件下推導(dǎo)可得FSC方程[40]。采用FSC方程對橫流判據(jù)和模型當(dāng)?shù)鼗幕舅枷胧牵簷M流轉(zhuǎn)捩的判斷是用當(dāng)?shù)貦M流雷諾數(shù)Redw/dy與橫流位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c的比值來實現(xiàn)，該比值與壓力梯度相關(guān)。通過數(shù)值求解FSC方程獲得不同壓力梯度因子βH下典型流場的橫流速度型作為數(shù)據(jù)庫，進而獲得所需橫流位移厚度雷諾數(shù)及比值判據(jù)函數(shù)。

Grabe和Krumbein[13,24]以不同后掠角和壓力梯度因子下FSC方程解作為數(shù)據(jù)庫，構(gòu)建了橫流渦粘雷諾數(shù)Redw/dy與橫流臨界位移厚度雷諾數(shù)Reδ2c比值形式的判據(jù)函數(shù)和對應(yīng)模型。由于FSC方程的限制以及采用的C1準則僅適用于翼型類流動，該類模型適用范圍受限[24]，主要適用于后掠翼計算，不適合帶迎角的旋成體計算。

Choi和Kwon[31-32]對采用FSC方程的橫流模型進行了詳細闡述[31]，并引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機制[32]。他們在轉(zhuǎn)捩模型的實現(xiàn)過程中，主要是對γ-Reθt模型間歇因子輸運方程的Flength和Fonset進行了修改。Flength采用了帶迎角橢球?qū)嶒灁?shù)據(jù)進行重新標定[32]，F(xiàn)onset引入了上文提到的由FSC方程解得到的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)。

保留了γ-Reθt模型中原始的觸發(fā)函數(shù)：

(39)

橫流觸發(fā)函數(shù)為：

(40)

Fonset1_3D=max(Fonset1,Fonset1_CF)

(41)

(43)

Fonset_3D=max(Fonset2-Fonset3,0)

(44)

最終間歇因子輸運方程的生成項定義為：

Pγ=Flength_3Dca1ρS[γFonset_3D]0.5(1-ce1γ)

(45)

上述轉(zhuǎn)捩模型基于轉(zhuǎn)捩完全由T-S不穩(wěn)定性或者完全由橫流不穩(wěn)定性主導(dǎo)的假設(shè)，而實驗數(shù)據(jù)顯示兩種不穩(wěn)定性的相互作用會導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩提前[41]，Choi和Kwon[32]進一步引入了T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性相互作用的機制，對原觸發(fā)函數(shù)進行線性組合：

Fonset1_3D=max(Fonset1,Fonset_CF,Fonset1_inter)

(46)

其中，當(dāng)Fonset1>0.5 &Fonset_CF>0.15時

(47)

其它情況下，F(xiàn)onset1_inter=0。

圖10是各類方法計算的橢球體表面截面摩擦系數(shù)分布，引入不穩(wěn)定性相互作用機制的橫流轉(zhuǎn)捩模型[32]在橢球體迎風(fēng)面(50°≤ψ≤90°)轉(zhuǎn)捩預(yù)測中的表現(xiàn)明顯優(yōu)于其它方法。

圖10 6∶1橢球體表面x/a=0.48截面各方法摩擦系數(shù)分布[32](Re=7.2×106,迎角30°)Fig.10 Skin friction coefficient distributions at x/a=0.48on a 6∶1 prolate spheroid [32]

徐家寬等[33-34]詳細介紹了采用三維邊界層相似解求解壓力梯度因子βH和形狀因子H12的方法并采用C1準則最終建立當(dāng)?shù)厍蠼獾臋M流不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩判據(jù)，將判據(jù)與γ-Reθt轉(zhuǎn)捩模型耦合，進行了橢球體、后掠翼轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測，取得了良好結(jié)果。圖11為橢球算例，其中黑點為實驗轉(zhuǎn)捩位置，白點為eN方法轉(zhuǎn)捩位置，云圖為轉(zhuǎn)捩模型計算值，與實驗測量符合較好。

2.5 三維唯象轉(zhuǎn)捩模型

目前，橫流轉(zhuǎn)捩模型普遍是在現(xiàn)有轉(zhuǎn)捩模型(如k-ω-γ或者γ-Reθt)基礎(chǔ)上根據(jù)某一橫流判據(jù)對轉(zhuǎn)捩模型輸運方程進行修改來實現(xiàn)的，直接在湍流模型基礎(chǔ)上構(gòu)建橫流轉(zhuǎn)捩模型較為困難，相關(guān)研究亦較少。Vizinho等的工作[35]則是上述研究方向的典型代表，為構(gòu)造不顯含橫流判據(jù)的獨立橫流模型提供了思路。

(48)

其中生成項：

則與平均湍流尺度ravg和平均變形角α有關(guān)，記作：

(50)

關(guān)于每一項的具體定義見文獻[35]，該模型稱為“V-model”，不依賴現(xiàn)有的轉(zhuǎn)捩模型，通過在SA一方程生成項中增加控制函數(shù)實現(xiàn)“V-model”與一方程湍流模型的耦合：

(51)

該模型在6∶1橢球體亞聲速繞流以及跨聲速DLR-F5機翼繞流算例中進行了測試?？缏曀偃S機翼繞流算例中，能夠較準確預(yù)測上翼面轉(zhuǎn)捩位置及各截面壓力系數(shù)分布。橢球體算例中大迎角下能準確預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置，但在迎角5°下，存在轉(zhuǎn)捩過早、轉(zhuǎn)捩區(qū)域過短的問題，如圖12所示。Vizinho等[35]認為原因是V-model輸運方程中耗散項在邊界層內(nèi)偏大導(dǎo)致的，但是Grabe和Krumbein[24]指出迎角5°實驗狀態(tài)下的轉(zhuǎn)捩是由T-S不穩(wěn)定性和橫流不穩(wěn)定性共同主導(dǎo)的。Vizinho等[35]并未指出V-model是否具備T-S不穩(wěn)定性導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩的預(yù)測能力，也并未考慮T-S不穩(wěn)定性與橫流不穩(wěn)定性的相互作用。關(guān)于該模型適用范圍，即是否適用于除橫流之外的轉(zhuǎn)捩預(yù)測，還需要進一步研究與討論。

(a) AOA=5°

(b) AOA=15°

3 結(jié)束語

橫流轉(zhuǎn)捩模型的相關(guān)研究起步較晚，主要受限于基礎(chǔ)轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展。隨著各種橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)的提出，目前已形成多種橫流轉(zhuǎn)捩模型，其預(yù)測的流動速域主要集中在亞跨聲速范圍，橫流判據(jù)主要針對后掠翼，模型參數(shù)需要通過數(shù)值試驗進行標定，經(jīng)驗性較強，這使得橫流轉(zhuǎn)捩模型在使用過程中出現(xiàn)以下主要困難：轉(zhuǎn)捩判據(jù)幾何通用性較差、不同流動問題的普適性較差、非當(dāng)?shù)亓壳蠼庠诙鄩K并行計算中的實現(xiàn)比較復(fù)雜、多數(shù)模型不適用于超聲速或高超聲速流動。因此，未來橫流轉(zhuǎn)捩模型研究將有以下發(fā)展方向：

1) 以更系統(tǒng)廣泛的實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，構(gòu)造物理意義更強、經(jīng)驗性更低、適用范圍更廣的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)作為橫流轉(zhuǎn)捩模型的基礎(chǔ)。

2) 在現(xiàn)有橫流轉(zhuǎn)捩模型中實現(xiàn)模型的完全當(dāng)?shù)鼗嬎悖蛎撾x現(xiàn)有基礎(chǔ)轉(zhuǎn)捩模型，直接構(gòu)造獨立的橫流轉(zhuǎn)捩模型。

3) 針對航空航天工程中的迫切需求，發(fā)展適合于超聲速、高超聲速橫流流場和對應(yīng)幾何外形的橫流轉(zhuǎn)捩判據(jù)和模型。

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