李桂松

“相似三角形”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效工具.由于這部分內(nèi)容涉及知識(shí)點(diǎn)多、相似關(guān)系抽象、對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)雜、比例運(yùn)算煩瑣、綜合性強(qiáng)等原因，許多同學(xué)在解題過(guò)程中錯(cuò)誤頻發(fā).筆者現(xiàn)列舉幾種常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤予以剖析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、審題不嚴(yán)，造成取舍失誤

例1 已知線(xiàn)段c是線(xiàn)段a、b的比例中項(xiàng).若a=1，b=2，求c的值.

【錯(cuò)解】因?yàn)榫€(xiàn)段c是線(xiàn)段a、b的比例中項(xiàng)，所以c2=1×2=2，解得c=± 2.

【錯(cuò)因】這是由于審題不清、匆忙答題造成的.答題者忽略了題中的關(guān)鍵詞“線(xiàn)段”，將線(xiàn)段與數(shù)字混為一談，未能將不符合題意的負(fù)值舍去.

【答題指導(dǎo)】嚴(yán)謹(jǐn)審題是正確解題的前提條件.解題前同學(xué)們要仔細(xì)研讀，找出題中的關(guān)鍵詞，根據(jù)題意合理取舍，避免不必要的失誤.因?yàn)榫€(xiàn)段c的值為正，所以c=2.

二、關(guān)系錯(cuò)亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤

例2 如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e.則下列等式成立的是（ ）.

圖1

A.b2=ce B.b2=ac

C.bc=de D.bd=ae

【錯(cuò)解】因?yàn)锳B∥CD，所以∠CDB=∠DBA，又因?yàn)椤螩=∠BDA=90°，所以△CBD∽△DBA，所以，易得bc=de，故選C.

【錯(cuò)因】本題是相似三角形的條件和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.上述錯(cuò)解中答題者未能找準(zhǔn)兩三角形對(duì)應(yīng)的角和邊，列出了錯(cuò)誤的比例式，導(dǎo)致選錯(cuò).

【答題指導(dǎo)】相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，而全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，因此相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系比全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系更抽象，解題時(shí)容易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系錯(cuò)亂的現(xiàn)象.本題是根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等”來(lái)說(shuō)明兩個(gè)三角形相似的，所以通過(guò)對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)來(lái)確定對(duì)應(yīng)關(guān)系不失為明智之舉.由∠CDB=∠DBA得頂點(diǎn)D與B對(duì)應(yīng)；由∠C=∠BDA=90°得頂點(diǎn)C與D對(duì)應(yīng)；所以第三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為剩下的點(diǎn)B與點(diǎn)A.這樣易得△CDB∽△DBA，所以比例式的得出便不再困難.

三、判斷失誤，導(dǎo)致錯(cuò)用性質(zhì)

例3 如圖2，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O.若△ABC的面積為6，則△COE的面積為_(kāi)_____.

圖2

【錯(cuò)因】答題者在△COE與△CDA不具備相似條件的情況下，使用了“相似三角形的面積比等于相似比的平方”.這屬于無(wú)視定理使用條件，錯(cuò)誤發(fā)生在所難免.

【答題指導(dǎo)】在解答相似三角形面積方面的問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們首先想到的是“相似三角形的面積比等于相似比的平方”.這是合理的思維，但一定要在具備相似條件的情況下運(yùn)用.當(dāng)不具備相似條件時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)變思路尋求其他方法，“同高不同底，面積為底比”就是值得嘗試的方法.如圖3，連接DE，易得DE∥BC且，所以△DOE∽△COB，所以，根據(jù)三角形面積公式易得，即，由點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)得6=3，所以S△COE=1.

圖3

四、理解不透，引起結(jié)果漏解

例4 如圖4，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問(wèn)幾秒時(shí)△APQ與△BCP相似？

圖4

【錯(cuò)解】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BP=2t，AP=8-2t，AQ=t.因?yàn)椤鰽PQ與△BCP相似，所以，解得，所以 時(shí)△APQ與△BCP相似.

【錯(cuò)因】由于答題者沒(méi)有正確理解“相似”與“∽”的區(qū)別，將“△APQ與△BCP相似”的對(duì)應(yīng)關(guān)系單一化處理，導(dǎo)致答案漏解.

【答題指導(dǎo)】正確理解“相似”與“∽”的區(qū)別是避免漏解的前提條件.“△APQ∽△BCP”有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而“△APQ與△BCP相似”中的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，需要分類(lèi)討論.許多同學(xué)在解答類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，思維容易受到題目中已有圖形的影響，就圖答題，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.因此，同學(xué)們解題時(shí)既要借助已有圖形理清題意，又要超越已有圖形，發(fā)散思維，窮盡所有可能.當(dāng)△APQ∽△BCP時(shí)當(dāng)△APQ∽△BPC時(shí)，有解得 t=-3± 33.又因?yàn)?0＜t≤4，所以或（ 33-3）s時(shí)，△APQ與△BCP相似.

錯(cuò)必有因，凡遇出錯(cuò)，我們不能總是以“粗心”為借口，只有找到錯(cuò)誤的深層原因并加以糾正，才能避免同樣的錯(cuò)誤重復(fù)發(fā)生.知“錯(cuò)”善改，方得始終.愿同學(xué)們善待錯(cuò)誤，在糾“錯(cuò)”中一路前行！