江蘇省泰州市海陵區(qū)森南新村15棟103室

于志洪 (郵編：225300)

本文以部分高中數(shù)學競賽題為例，介紹三角換元法在求最大值和最小值問題中的應用，供高中師生教與學時參考.

例1(2016年河北省高中數(shù)學競賽高二年級組第7題)已知實數(shù)x、y滿足x2+y2+xy=3，求x2+y2的最大值和最小值.

評注這是一道二元最值問題，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角換元，結合正弦函數(shù)的有界性求得結果.真可謂匠心獨具，別有洞天.

例2(2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預選賽高一試題)已知實數(shù)x、y滿足x2+y2-6x+4y+4=0，記u=x2+y2+2x-4y的最大值為M，最小值為m，計算M+m.

解由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2，

由于u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的兩個根，故由韋達定理可求得M+m=72.還可求得Mm=144.

評注上述解法從已知條件入手，先將題設式進行配方，結合三角換元，將條件三角化后代入目標函數(shù)，從而溝通了題設與結論的關系，實現(xiàn)了將代數(shù)最值問題化歸為三解函數(shù)最值問題來處理，最后根據(jù)韋達定理，巧妙求得最大值和最小值之和.上述解法，不僅減少了計算量，而且豐富了學生的解題思路，提高了解題速度，其構思巧妙精彩，今人耳目一新.

評注三角換元的目的是去根號.本題中，巧妙使用特定的三角換元一舉消除了兩個根號，其解法簡捷流暢，令人贊嘆!

例6(2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇省預賽試題)若實數(shù)a、b、c滿足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值

評注此題設計精巧，可以從多角度研究，思維分析切口較寬，解法也較多.然而，根據(jù)題中條件的結構特征，利用三角換元思想解題可謂別具一格.

①

(i)當x=0時，①成立.

例8(2011年第60屆捷克和斯洛伐克數(shù)學奧林匹克決賽試題)若實數(shù)x、y、z滿足：x+y+z=12,x2+y2+z2=54，分別求xy、yz、zx的最大值和最小值.

評注本題構思巧，方法妙，由于智用了三角換元，從而提高了解題效率，降低了題目的難度.

綜上所述可知：上述例1、例2、例4、5的解1及例6、和例8都是利用兩個變量.(sinθ,cosθ)或(sin2θ,cos2θ)來換元的，而例3和例5解2則是利用一個變量來換元的.他們的共同優(yōu)點可將已知條件中的一個或多個變量代換為同一個角的三角函數(shù)來表示，這樣就便于我們運用熟知的三角公式進行化簡，利于迅速求得其解.

上述幾道高中數(shù)學競賽題都是比較典型的三角代換題目，考題結構簡潔，原生形態(tài)，看似平常，實乃新奇，構思精巧，意境高遠，有著良好的考查檢測工能與較強的命題導向功效，很值得我們一同來鑒賞與探尋.這種解法的優(yōu)點在于可以將已知條件中的一個或多個變量代換為同一個角的某個三角函數(shù)來表示，從而利于我們運用熟知的三角公式進行化簡，直至問題的解決，這種代換思想符合新課程改革的理念精神，利于學生融會貫通課本知識，利于激發(fā)學生學習的積極性，利于發(fā)展學生的數(shù)學才能，利于拓寬學生視野、啟迪思維，利于提高教學質(zhì)量，利于提高學生分析問題和解決實際問題的能力.故筆者認為：在今后的教學過程中，教師應注重引導學生對這類最值問題的結構特征認真分析，要發(fā)展學生的認識力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，這對學生的全面發(fā)展將大有益處.

附練習題

(2)實數(shù)x、y滿足x2+y2+xy=3求x2+y2的最大值和最小值.(2016年全國數(shù)學聯(lián)賽河北賽區(qū)預選賽高二試題)答案：最大值為6，最小值為2.

(3)設實數(shù)x、y滿足x2-4x+y2+3=0，則x2+y2的最大值與最小值之差是______.(2013年全國數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽試題)答案：8.

1 于志洪.應用三角換元法解高考最值問題[J].數(shù)學通訊(下半月)，2014(1)

2 于志洪.應用三角換元法解競賽最值問題[J].數(shù)學通訊(上半月)，2015(4)

3 于志洪.代換法求最值十二曲[J].中學生理科應試.2013(4)