北京豐臺(tái)二中

甘志國 (郵編：6100071)

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2017年第9期第36-38頁發(fā)表了沈曉凱、胡典順老師的文章《從一道高考模擬題的解答談起——兼談如何提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)》，該文也被中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2017年第12期第57-59頁全文轉(zhuǎn)載.

該文先介紹了一道高考模擬題及其參考答案，并指出了參考答案的不嚴(yán)謹(jǐn)，接下來還給出了其嚴(yán)謹(jǐn)解答.但該嚴(yán)謹(jǐn)解答過多的依賴于數(shù)形結(jié)合，且分類討論較繁、篇幅冗長.本文將給出其簡潔的嚴(yán)謹(jǐn)解答.

圖1

高考模擬題 如圖1所示，在△ABC中，邊BC的中點(diǎn)為D，若∠BAD+∠C≥90°，求證：sin2B≥sin2C.

原參考答案由∠BAD+∠C≥90°，可得

∠BAD≥90°-∠C

①

sin∠BAD≥sin(90°-∠C)=cosC

②

csin∠BAD≥ccosC,

由(∠BAD+∠C)+(∠CAD+∠B)=180°,∠BAD+∠C≥90°，可得

∠CAD+∠B≤90°,

∠CAD≤90°-∠B

③

sin∠CAD≤sin(90°-∠B)=cosB

④

bsin∠CAD≤bcosB

由邊BC的中點(diǎn)為D，可得S△ABD=S△ACD，即

csin∠BAD=bsin∠CAD,

所以bcosB≥ccosC,

再由正弦定理，可得

sinBcosB≥sinCcosC,

sin2B≥sin2C.

而由①得不出-90°≤90°-∠C≤∠BAD≤90°(事實(shí)上，∠BAD可以是鈍角)，所以由以上解答得出結(jié)論②欠嚴(yán)謹(jǐn).

實(shí)際上，筆者在著作《數(shù)學(xué)高考真題解密》(清華大學(xué)出版社，2015)第56-59頁也指出了這種不嚴(yán)謹(jǐn)：2009年高考江西卷理科第19題及2014年高考浙江卷理科第18題的解答均有類似的不嚴(yán)謹(jǐn)，而普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)(下簡稱《必修5》)第10頁的最后一題的解答(見與該教科書配套使用的《教師教學(xué)用書》第10頁)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

筆者的嚴(yán)謹(jǐn)解答 如圖1所示，設(shè)BC=a,CA=b,AB=c.

(1)當(dāng)∠BAD≤90°時(shí)，由原參考答案，可得sin2B≥sin2C.

(2)當(dāng)∠C≥90°時(shí)，可得180°≤2C<360°,sin2C≤0.

還可得0°<∠B<90°,0°<2∠B<180°,0

(3)當(dāng)∠C<90°<∠BAD時(shí).

在△ABD、△ACD中，由正弦定理，可得

所以

若b≤c，可得sin(180°-∠BAD)=sin∠BAD≤sin∠CAD.

由∠BAD>90°，可得180°-∠BAD,∠CAD都是銳角，所以180°-∠BAD≤∠CAD,∠BAC=∠BAD+∠CAD≥180°，這不可能！所以b>c.

由∠BAC>∠BAD>90°及余弦定理，可得b2+c2

而sin2B≥sin2C?bcosB≥ccosC

?(b2-c2)(b2+c2-a2)≤0.

因而此時(shí)也有sin2B≥sin2C.

在△ABD中，由余弦定理可求得

由∠BAD>90°，可得b2+3c2

b2+3c2

b>c.

還可得b2+c2

而sin2B≥sin2C?bcosB≥ccosC

?(b2-c2)(b2+c2-a2)≤0,

因而此時(shí)也有sin2B≥sin2C.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

解答這道高考模擬題確實(shí)難度不小，可把它改編為下面的題目，考生可以分步得分.

改編題如圖1所示，在△ABC中，邊BC的中點(diǎn)為D，已知∠BAD+∠C≥90°.

(1)若∠BAD≤90°，求證：sin2B≥sin2C；

(2)對于一般的情形，結(jié)論sin2B≥sin2C是否還成立？若成立，請給出證明；若成立，請舉出反例.