浙江省湖州市雙林中學(xué)

李建潮 (郵編：313012)

條件最值問(wèn)題已知實(shí)數(shù)x、y滿足ax2+bxy+cy2=d(其中a、c、d均為正常數(shù)，b為實(shí)常數(shù)，且△=b2-4ac<0)，求z=mx+ny(m、n為實(shí)常數(shù))的最值.

這是眾多期刊探究的一類熱點(diǎn)問(wèn)題.例如，近期文[1]就以下問(wèn)題專門(mén)探研了其解法.

文[1]問(wèn)題 已知x2-xy+y2=3，求2x+y的最大值.

考慮到文[1]問(wèn)題的解法1就把題中的x、y這個(gè)“實(shí)數(shù)”條件錯(cuò)誤地當(dāng)成了“正數(shù)”條件，故而很有必要再述文[1]問(wèn)題解法之研究. 本文旨在立足高中數(shù)學(xué)給出四種有別于文[1]的求解方法，供大家參考.

解法1(減元，導(dǎo)數(shù)法)從x2-xy+y2=3中，解出y：

所以

(1)

因此，當(dāng)

注1事實(shí)上，結(jié)合二維柯西(Cauchy)不等式：

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

(2)

(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時(shí)，取“=”號(hào))，解法1可優(yōu)化為：

由(1)得

由注1，自然萌生了下述不等式法：

解法2(不等式法)將題設(shè)x2-xy+y2=3配方，化為

(3)

即(x+y)2+3(x-y)2=12，

所以，由Cauchy不等式(2)，立得

當(dāng)且僅當(dāng)

注2作為文[1]問(wèn)題的第一個(gè)變形“不妨把問(wèn)題改為：已知x2-xy+y2=3，求y-x的最大值”，由解法2的(3)式便可得

3(x-y)2≤(x+y)2+3(x-y)2=12，即-2≤y-x≤2.

另，由解法2脫胎而來(lái)的當(dāng)是將文[1]問(wèn)題化歸為以下線性規(guī)劃問(wèn)題：

解法3(換元，線性規(guī)劃法)在(3)式中，令

(4)

最后，我們?cè)O(shè)想：由文[1]問(wèn)題題設(shè)中的代數(shù)式x2-xy+y2與題斷(代數(shù))式2x+y可否構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x、y的二元二次齊次式的完全平方式來(lái)？于是就有了以下解法：

解法4(構(gòu)造法配完全平方)可令

(2x+y)2+m(x2-xy+y2)=(4+m)x2+(4-m)xy+(1+m)y2

(5)

(其中m為待定系數(shù))為完全平方式，其充要條件是

需要提及的是：以上四種解法是解文[1]問(wèn)題的通法、通解(問(wèn)題千變?nèi)f化，方法“一成不變”)，所涉知識(shí)完全是高中數(shù)學(xué)必學(xué)內(nèi)容.

1 孔德宏，賀政剛. 揭示解題方法的教學(xué)本質(zhì) 改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017(8)