湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)

李紅春 (郵編：430312)

函數(shù)的零點問題是函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容交匯處的一個十分活躍的知識點，也是高考中的一個熱點題型，隨著高考對函數(shù)零點問題考查的日漸深入，其題型也顯得愈加靈活多變．近幾年，形如“h(x)=f(t)-c”的“嵌套型函數(shù)”問題出現(xiàn)在各類考卷中已不是什么新鮮的事.通常情況下，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)h(x)=f(t)-c的函數(shù)y=f(x)與y=g(x)都是諸如“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”等性質(zhì)熟知的初等函數(shù)，這類問題又有新的動向，即將一些圖象性質(zhì)不完全清楚的函數(shù)結(jié)合在一起，必須先借助導(dǎo)數(shù)工具研究清楚函數(shù)的的性質(zhì)．現(xiàn)擷取精彩試題幾例，展示其解答過程，揭示解法規(guī)律，希望能拓展大家的視野．

圖1

例2設(shè)f(x)=(x-2)2ex+ae-x，g(x)=2a|x-2|(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)有且僅有6個不同的零點，則a的取值范圍是______．

解由h(x)=0,得f(x)=g(x),即(x-2)2ex+ae-x=2a|x-2|，即(x-2)2e2x+a=2aex|x-2|，設(shè)t=ex|x-2|，則t2-2at+a=0，畫出h(x)=ex|x-2|的草圖，如圖2所示，h(x)max=h(1)=e，由圖形可知：關(guān)于t的方程t2-2at+a=0在區(qū)間(0,e)有兩個不等的實根，由根的分布知識可知

圖2

點評本題的精妙之處在于先將所得方程(x-2)2ex+ae-x=2a|x-2|等價變形為(x-2)2e2x+a=2aex|x-2|，然后再換元拆分．借助導(dǎo)數(shù)畫出h(x)=ex|x-2|的圖象是解題的關(guān)鍵．

例3設(shè)定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x)，對于任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-log2x]=3，若方程f(x)+f′(x)=a有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

處理“嵌套型函數(shù)”y=f[g(x)]的思路是：先“換元”以“解套”：令h(x)=0，則c=f(t)，這樣即可將一個復(fù)合函數(shù)的零點問題拆解為兩個相對簡單的函數(shù)t=f(x)=x3-3x的零點問題進行處理．導(dǎo)數(shù)的引入，讓嵌套型函數(shù)問題的命題變得更加寬廣.