安徽省肥西縣上派初級中學(xué)，合肥市中學(xué)特級教師工作站

衛(wèi)德彬 (郵編：638400)

隨著新課改的推進(jìn)，數(shù)學(xué)開放型問題已經(jīng)成為一個新熱點(diǎn).而圍繞這個熱點(diǎn)開展的活動也可以說是如火如荼了.數(shù)學(xué)開放型問題的教學(xué)研究確實(shí)為教師改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供了新的可能性，也為學(xué)生理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與外延提供了新的視角．本文結(jié)合新課改后的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，試就數(shù)學(xué)開放型問題的概念、特點(diǎn)、類型及教學(xué)實(shí)踐作初步探討，以期拋磚引玉，讓更多熱愛這個話題的同仁就這個新熱點(diǎn)展開研討，進(jìn)而推動數(shù)學(xué)課堂的創(chuàng)新教學(xué).如有不妥之處，敬請斧正.

1 概念的界定

在“何為數(shù)學(xué)開放型問題”的討論中，筆者通過梳理數(shù)學(xué)界諸多學(xué)者對此問題的回答，現(xiàn)總結(jié)為以下四點(diǎn)：

(1)指條件不是特別完備，且當(dāng)條件多時需選擇、當(dāng)條件少需補(bǔ)充的題；

(2)指一個問題有多種解法的題；

(3)指正確答案不唯一的問題；

(4)指可以是有解的問題，也可以是無解的問題.

從上面的四點(diǎn)中，我們可以看到數(shù)學(xué)開放型問題需要的條件有：不完備；且條件多時需選擇、條件缺時需補(bǔ)充，等等.而開放題的答案需要的條件有：有多種；不固定；不確定；可無解；等等.

綜上所述，雖然對數(shù)學(xué)開放型問題需要條件的說法多種多樣，但對數(shù)學(xué)開放型問題答案所需條件的說法就相對來說比較一致了.筆者認(rèn)為：

(1)問題的“結(jié)論”是相對于問題的“條件”而存在的，而問題的“答案”是相對于整個問題而存在的；可以說它們之間是一種包含關(guān)系，但絕不能將問題的“結(jié)論”與問題的“答案”混為一談.

(2)對于問題的條件不能作過多的局限，對于問題的答案也必須是多樣的，這也正是“開放”這個詞所在的意義.

筆者鑒于以上兩點(diǎn)總結(jié)：答案不唯一的問題稱為開放型問題.它最為顯著的特征是：多樣化的答案.

2 類型及教學(xué)實(shí)踐

一個數(shù)學(xué)開放題，若其未知要素是題設(shè)，則為條件開放題；未知要素是推理，則為策略開放題；未知要素為題斷，則為結(jié)論開放題；只給出一定的情境，要想解決它所必不可少的相關(guān)條件都需要解題者在解題過程中自主設(shè)定、尋找與建構(gòu)的問題，叫做綜合開放題．

2.1 條件開放型

在這類題目中，一般結(jié)論明確但條件不充分，需要探求未知條件,要求學(xué)生在掌握基本知識的基礎(chǔ)上能夠進(jìn)行逆向思維，即“執(zhí)果索因”.解題思路往往根據(jù)結(jié)論以及相關(guān)的公式、定理，挑選出最佳方法.

例1計(jì)算

(1)(+1)+(-3)；(2)3x-(2x+1)；(3)(m2n3)4.

這是3道答案唯一的封閉題：(1)-2；(2)x-1；(3)m8n12.現(xiàn)在提出一個逆問題：試寫出一個算式，使其運(yùn)算結(jié)果為：(1)-2；(2)x-1；(3)m8n12.這個題就成為一組條件開放題.學(xué)生在解答中，可以寫無數(shù)個算式，教師可基于學(xué)生水平、智力程度的差異和教學(xué)階段的不同，啟發(fā)學(xué)生從2個數(shù)、3個數(shù)……；從整數(shù)到分?jǐn)?shù)；從有理式到無理式等各個層面，寫出具備不同風(fēng)格的算式，這樣不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生的數(shù)學(xué)能力都能得到充分發(fā)揮．同時在無形的比賽中也使學(xué)生的非智力因素得到調(diào)動．

2.2 策略開放型

策略開放型問題是要求學(xué)生能夠根據(jù)題干設(shè)定的條件，采用已學(xué)知識和方法挑選出最貼合實(shí)際的解決問題的策略的一類題，但最終得到的結(jié)論往往是唯一.

例2我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有一題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞、兔各幾何？

這是一個采用再通俗不過的語言描述的策略開放型問題，取材于學(xué)生熟悉的實(shí)際生活中“雞兔同籠”問題，學(xué)生的解答過程也必定是多種多樣的．

方法一“孫子解法”.讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只腳站立著，那么地上的總腳數(shù)只是原來的一半，即47只腳.雞的腳數(shù)與頭數(shù)相同，而兔的腳數(shù)是兔的頭數(shù)的2倍，因此從47里減去頭數(shù)35，剩下來的就是兔的頭數(shù)12只，則雞有23只.這個問題及解法記錄于大約一千五百年前的《孫子算經(jīng)》中.

方法二“吹哨法”.假設(shè)雞和兔接受過特種部隊(duì)訓(xùn)練，吹一聲哨，它們抬起一只腳，還有59只腿在站著，再吹一聲哨，它們又抬起一只腳，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳立著.這時還有24只腿在站著，而這24只腿全部是兔子的，所以兔子有12只，雞有23只.

方法三“假設(shè)法”.假設(shè)全部是雞，則有70條腿，比實(shí)際少24條腿，一只雞變成一只兔子腿增加2條，24÷2=12只，所以需要12只雞變成兔子，即兔子為12只，雞為23只.同樣，可以假設(shè)全部是兔子.

方法四列一元一次方程求解.

方法五列二元一次方程組求解.

前面的三種解法與后面的列方程(組)求解，其本質(zhì)都是一致的.以“孫子解法”與列二元一次方程組求解為例進(jìn)行對比.第一步讓“讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只腳站立著”相當(dāng)于將方程②的兩邊同時除以2，得到方程x+y=47③，第二步“從47里減去頭數(shù)35，剩下來的就是兔的頭數(shù)12只”相當(dāng)于用方程③減去方程①，得到y(tǒng)=12.我們能感受到，方法五是方法一的抽象表達(dá).同樣，我們也可以對比方法四與方法五，感悟列一元一次方程求解與列二元一次方程組求解的內(nèi)在聯(lián)系.

通過這樣的故事引導(dǎo)，一方面能夠讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，通過多策略的問題解決方式，發(fā)展學(xué)生抽象思維，增強(qiáng)學(xué)生建模能力，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的智慧之美，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長足發(fā)展.

2.3 結(jié)論開放型

結(jié)論開放型問題通常是給出條件，但最終結(jié)果往往不是唯一的結(jié)論.其目的是讓學(xué)生根據(jù)題目所提供的各種信息 “執(zhí)因索果”，解決這類問題的思路是利用已知條件和圖形性質(zhì)進(jìn)一步發(fā)散思維，大膽猜想、透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié).

例3求使下列兩個二次三項(xiàng)式在整數(shù)范圍內(nèi)能夠分解因式的整數(shù)m、n值．

(1)y2-my-18；(2)x2+7x+n.

這是一個結(jié)論開放題，學(xué)生通過試驗(yàn)、討論、交流，得到

(1)因?yàn)?18=1×(-18)=(-1)×18=2×(-9)=(-2)×9=3×(-6)=(-3)×6，

所以m=±17，±7，±3．

(2) 因?yàn)?=2+5=1+6=-1+8=-2+9=……

所以n可以取10，6，-8；-18，……無限多個．

通過討論、交流，學(xué)生的思維充分展開，靈活性得到培養(yǎng)，并且學(xué)會了全方位考慮問題，最重要的是培養(yǎng)了學(xué)生由特殊的數(shù)去尋找隱藏的一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法．

2.4 綜合開放型

在綜合開放問題中只給出一些抽象的情境，要求學(xué)生在這些抽象的情境中自主設(shè)定條件，確定適合解題的相應(yīng)策略，得出相應(yīng)的結(jié)論.

例4已知A、B兩處的距離為360km，杰瑞以72km/h的速度從A處出發(fā)，湯姆以48km/h的速度從B處出發(fā).請你添加適當(dāng)?shù)臈l件，并盡可能多的提出問題，列出相應(yīng)的方程.

在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生提出以下8個問題：

(1)兩人相向而行，且同時出發(fā)，經(jīng)過多久相遇？

(2)湯姆比杰瑞先出發(fā)25min，湯姆出發(fā)多久后兩人在AB間相遇？

(3)兩人相向且同時出發(fā)，相遇時杰瑞離A處多遠(yuǎn)？離B處多遠(yuǎn)？

(4)兩人相向且同時出發(fā)，相遇后湯姆再用多久能夠到達(dá)A處？

(5)兩人背向且同時出發(fā)，多久后兩人相距720km？

(6)兩人背向而行，但湯姆先出發(fā)2h，湯姆出發(fā)多久后兩人之間的距離為720km?

(7)兩人背向而行，杰瑞先出發(fā)2h, 湯姆出發(fā)多久后兩人距離為720km?

(8)兩人背向而行，湯姆先出發(fā)2h,杰瑞出發(fā)多久后兩人相距720km?

學(xué)生提出問題后，問題(1)列出的解法就有以下幾種：

設(shè)兩人相向且同時出發(fā)，過了xh后兩人相遇.則

設(shè)兩人相向而行，且同時出發(fā)，過了xh后兩人相遇.則

解法148x+72x=360；

解法248x=360-360；

解法372x=360-48x；

解法9(360-72x):(360-48x)=48:72；

通過這道開放題的教學(xué)，不僅使學(xué)生發(fā)散思維的能力得到了充分的培養(yǎng)，而且隨著這些問題逐步深化，不斷掀起數(shù)學(xué)教學(xué)上的高潮，學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的高峰體驗(yàn)，并通過交流，把各種智力體驗(yàn)變成了大家共同的財(cái)富，學(xué)生的聯(lián)想、化歸、轉(zhuǎn)換、分析問題和解決問題的能力得到提高.

3 實(shí)踐意義與思考

3.1 實(shí)踐意義

(1)由于開放型問題的條件基本不會直接給出，這就需要通過創(chuàng)設(shè)來獲得.其解題的策略與方法也是多渠道、多角度的，而結(jié)論往往是不確定的、多樣的.這也充分拓展了學(xué)生思維的空間，同時也打破了學(xué)生在解題中生搬硬套的習(xí)慣，使思維定勢帶來的負(fù)面影響減到最弱.

(2)開放型問題的教學(xué)使學(xué)生非智力因素得到了充分調(diào)動.同時激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)揚(yáng)了獨(dú)立思考與探索的精神.在解答開放型問題過程中，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)審美觀，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟.

(3)充分的體現(xiàn)“教師主導(dǎo),學(xué)生主體”.教師不再一味的填塞、硬灌,而是讓學(xué)生在各自的最近發(fā)展區(qū)學(xué)習(xí)，使他們的潛在智力得到最大限度地開發(fā)，從而成為分析、解決問題的主體.

3.2 思考體會

筆者在進(jìn)行數(shù)學(xué)開放型問題的教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)研究時，不斷汲取教訓(xùn)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而有了自己的一些思考.這里主要提兩點(diǎn)思考與體會，以資研討.

(1)要注重教學(xué)過程.由于開放型問題存在多種解題策略和不同的答案，所以讓學(xué)生的思維活起來，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，使它們能夠成為學(xué)生的一種思維習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力這是作為教師的首要任務(wù).

(2)要重視歸納總結(jié).開放型問題有助于學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)揮，教師必須做好歸納總結(jié).當(dāng)解出一道開放型問題的多種策略都得以運(yùn)用，且各種結(jié)論都推斷出來時，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起進(jìn)行歸納總結(jié)，尋找各個結(jié)論間存在的層次性和規(guī)律性，這更是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié).

總之，數(shù)學(xué)開放型問題使水平各不相同的學(xué)生的思維都能得到不同程度的訓(xùn)練.古人說：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”我們觀察事物的立足點(diǎn)、立場不同，就會得到不同的結(jié)論.在這個多元化的時代，我們應(yīng)該摒棄掉一些陳舊的、傳統(tǒng)的、定勢的思維，努力培養(yǎng)學(xué)生多元化的創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)實(shí)踐與研究可以說是順應(yīng)了時代的發(fā)展.筆者在這里希望各位一線的教師能積極參加到這個領(lǐng)域的研究中，運(yùn)用數(shù)學(xué)開放型問題這一載體，培養(yǎng)出大批具有多元化思維的創(chuàng)新型人才.

1 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011

2 范黎明. 淺談數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的課堂文化[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，1998(5)：3-5

3 何光峰.關(guān)于數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)的幾個問題[J].教育科學(xué)研究，2001(7)：44-46

4 俞求是．中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的開放題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999(4)：1-3