江蘇省新沂市第一中學(xué)

苗慶碩 (郵編：221400)

圓是一種非常完美的圖形，具有很強(qiáng)的對稱性和很優(yōu)美的一些性質(zhì).因此，若能借助圓的一些性質(zhì)進(jìn)行解題，往往能達(dá)到化難為易的效果.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，有很多表面上看起來與圓無關(guān)的問題，若能通過細(xì)致的觀察，實施一定的策略轉(zhuǎn)化為圓的問題，往往能達(dá)到意想不到的效果，能突破解題的瓶頸.通過構(gòu)造隱形的圓并轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與化歸的核心數(shù)學(xué)思想，是實數(shù)變式教學(xué)的重要途徑與手段.下面結(jié)合近幾年來的各類試題，談?wù)勅绾螛?gòu)造隱圓解題這個問題，現(xiàn)分析如下，供大家參考.

1 雙變量問題

解析令

其中a≥0，b≥0，則x=y+(x-y)=a2+b2.

圖1

評注 本題含有兩個變量與根式，通過觀察，發(fā)現(xiàn)兩個根式的平方和即為所求.通過實施換元策略，轉(zhuǎn)化為常見的點與圓的最值問題，從而降低了解題的難度.

2 函數(shù)最值問題

圖2

解析f(x)=

評注本題借助平面向量，構(gòu)造隱圓，轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的向量數(shù)量積問題，令人耳目一新.

3 解三角形問題

例3(2008年高考江蘇卷)滿足條件

的三角形ABC的面積的最大值是______.

圖3

解析以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則可設(shè)C(x,y)，A(-1,0)，B(1,0).

評注本題若用解三角形的方法求解，要復(fù)雜得多.通過建系，發(fā)現(xiàn)點C在圓上運(yùn)動，此圓是非常著名的阿波羅尼斯圓，是源于課本的一道經(jīng)典考題.

4 平面向量問題

例4(2011年高考大綱全國卷)設(shè)向量a、b、c滿足

〈a-c,b-c〉=60°，則|c|的最大值等于( )

圖4

則

評注注意到向量具有數(shù)與形的特征，故可結(jié)合圖形思考，不難發(fā)現(xiàn)O、A、C、B四點共圓，然后利用圓的性質(zhì)和三角形全等的判定知識，實現(xiàn)問題的解決.

5 解析幾何問題

例5(湖北省荊門、荊州、襄陽、宜昌2017年七校聯(lián)考)已知圓O:x2+y2=4，點P為直線x+2y-9=0上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA、PB、A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點( )

C.(2,0) D.(9,0)

圖5

①

又圓O的方程為x2+y2=4

②

②減去①得兩圓的公共弦AB所在直線的方程為2mx+2ny=4

③

因為點P(2m,2n)在直線x+2y-9=0上，所以2m+4n-9=0，即2m=9-4n.

所以③可化為(9-4n)x+2ny-4=0，即2n(y-2x)+(9x-4)=0，

評注通過觀察，發(fā)現(xiàn)，A、O、B、P四點共圓，同時可求出此圓的方程.于是AB即為兩圓的公共弦方程，兩圓方程相減，即可快速得到直線AB的方程.這是源于課本的重要方法，應(yīng)引起足夠的重視.

通過以上的問題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造隱圓解決數(shù)學(xué)問題是一種廣泛運(yùn)用于解題的方法.這種方法具有一定的可操作性，關(guān)鍵是通過認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)隱形的圓，使之為自己的解題服務(wù).有些問題具有一定的數(shù)學(xué)文化背景，如例3，有些問題根植于課本而高于課本，如例5，有些問題打通了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，如例2.通過構(gòu)造隱圓解決問題，不僅能開闊學(xué)生的思維與視野，提高解決問題的能力，還能使之體會到數(shù)學(xué)之美并學(xué)生的提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).