北京市通州區(qū)潞河中學

白志峰 (郵編：101149)

高考圓錐曲線試題思想方法交匯強，能力要求高.試題通過解題策略的選擇、解題障礙的突破區(qū)分不同層次的考生，是拉開考生分數(shù)檔次的關鍵題目之一.

綜觀各套高考試題，多以直線與橢圓為載體.試題入口低、觀點高，突出考查解析幾何的基本知識、基本思想，兼顧對數(shù)學思想和數(shù)學能力的考查.試題從學科的知識交匯與思想體系去認識、把握解析幾何的核心思想——用代數(shù)的方法解決幾何問題.其核心的解題方法是坐標法.

所謂坐標法，就是建立坐標系，把幾何對象轉化為代數(shù)對象，把幾何問題轉化為代數(shù)問題，利用代數(shù)工具、方法研究并獲得結論，然后再解釋幾何對象.

圓錐曲線的解題教學方面存在兩個不良傾向：

其一，刻意地把幾何條件的轉化當作所謂的“亮點”.有的教師選擇一些幾何條件復雜、不易轉化利用的題目，竭力分析如何巧妙轉化，這樣只能增加教師授課的吸引力，但沖談了解析幾何基本思想的落實.有的教師從幾何條件的分析轉化出發(fā)，列出多種方法，剩下的運算留待學生完成.事實上，幾何條件的轉化是為坐標法的順利實施提供支持的.綜觀各套高考試題，考生在讀懂題意方面沒有較大障礙，能夠盡快厘清條件信息，找到解題思路.其中，幾何條件的轉化并不復雜.

其二，過分的模式化訓練.好多教師習慣于題型歸類、方法總結.比如有的教師從易到難劃分題型：位置關系問題、最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性探索性問題，等等，并且加以解題訓練.通過各類題目總結許多“解題模式”，這樣會給學生帶來負面的“條件反射”.事實上，不管何種題型、不論如何變化，說到底只有一種方法——坐標法.

那么，如何才能落實好坐標法呢？筆者根據(jù)自己的教學實踐覺得要把握好如下兩個問題：

第一，要善于促成學生形成可行的解題思路和有效的變通

解題思路的形成是解題者根據(jù)題目條件提供的信息和結論的目標指向，結合大腦儲存的數(shù)學知識、思想、方法，共同作用的結果.條件是基礎，結論是方向，變通是關鍵.教學實踐表明，學生在解答圓錐曲線綜合題時不是沒有思路，而是存在以下兩個問題：一是解題思路不可行，二是思路可行但變通不暢.找準了問題的關鍵，也就找到了教學的著力點.所以教學中教師既要善于促成學生形成可行的解題思路，又要善于促成學生形成有效的變換與溝通.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M、N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

(Ⅰ)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1).

(Ⅱ)第一步：分析題意，形成思路.

可用條件：①P在橢圓x2+3y2=4(x≠±1)上；②直線AP和BP分別與x=3交于點M、N；③S△PAB=S△PMN.

目標指向：P點坐標(若存在).

這里必須明確何為P點存在？何為P點不存在？

設P(x0,y0)，若關于x0(或y0)的方程有解，且x0∈[-2,2]時，則P點存在，否則P點不存在.于是就需要建立關于x0的方程，那么如何建立呢？考慮條件③，面積相等是幾何條件，其代數(shù)表達如何？思路由此展開.

因為S△PAB=S△PMN，則

④

⑤

接下來，需將④、⑤坐標化.設點M、N的坐標分別為(3,yM)，(3,yN)，

④?2|x0+y0|=|yM-yN|(3-x0)

⑥

⑤?|PM|×|PN|=|PA|×|PB|

⑦

第二步：合理轉化，有效變通.

⑥的問題是字母過多,如何減少,這就是變通的問題了.條件②的本質是三點共線,可實現(xiàn)用P點坐標表示M、N的坐標：

法一：利用直線AP與直線x=3求交點M，直線BP與直線x=3求交點N；

法二：利用kAP=kAM，kBP=kBN；

對于⑦， 學生容易列出四個“兩點間距離”，進而陷入窘境，停滯不前.此時必須進行有效的轉化，方可進行下去.這個教學環(huán)節(jié)正是培養(yǎng)學生形成敢于碰硬、不服輸?shù)囊庵酒焚|的有利時機.結合圖形仔細分析，轉化為射影之比：

第三步：規(guī)范書寫，完成解答.

根據(jù)以上分析，不難形成多種解題方法，這里略.

只有第一、第二兩步處理的合理到位，才能形成有效的解題思路，教師的引導作用的重點應該在第二步，第一步和第三步只要留足一定的時間和空間，學生是能夠獨立完成的.

有效的解題策略、思路、方法，不是教師告訴學生的，而是學生自己生成的.教師要回避“告訴式”的教學方式.教師的作用是引導學生找到一種正確的可行的思路，并且經(jīng)過一段時間的訓練成為學生的自發(fā)行為.

教學時應該圍繞坐標法展開，從不同角度切入，用多種方法解答.既要重視一題多解，又要重視多題一解.通過一題多解開拓思路，通過多題一解把握本質.

第二，不可回避運算，要讓學生想得出來、算得出來

數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到運算障礙而調(diào)整運算的能力.解析幾何試題承載著高考對運算能力的考查要求，試題對于運算量的大小、運算長度的設置、運算障礙的設置都是經(jīng)過慎重考慮的，在整個試卷里是合理配套的，因而也是考生應該具備的，不可回避的.

教師要有如上的認識.不能一味引導學生規(guī)避運算，要鼓勵學生敢于運算、善于運算，提高克服障礙的勇氣和信心，這也是考試說明中的數(shù)學“個性品質要求”.

例2已知拋物線y2=4x，點R(1,2)，過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同兩點A、B，若直線AR、BR分別交直線l：y=2x+2于點M、N，求|MN|最小時直線AB的方程[2].

教學時，發(fā)現(xiàn)一學生給出如下解法片段：

⑧

同理直線BR的方程為

⑨

⑩

至此停滯不前，怎么辦？學生的解題思路何嘗不是立足根本，正規(guī)正矩的解法呢！而且極具代表性.該生能算到這一步確實不易，說明他的運算很準確，值得肯定與表揚.所以教師不要急于拋出自己的想法，或急于展示其他學生的成功解法.應該順應該生思路，引導學生共同分析、評價，找出問題，找出方法，讓學生在比對與評價中學會怎樣處理問題.

停滯不前的原因顯然是變量過多.如何減少變量呢？肯定還有一些條件未利用.這個原因一經(jīng)提出，眾生發(fā)現(xiàn)：

代入⑩，即可繼續(xù)化簡.

師：好！“點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程”，反之呢？

生：“點的坐標滿足曲線的方程，則該點在曲線上”.

師：這正是解析幾何的基本思想之一.只所以停滯不前，是因為這種意識不強烈.

教師要抓住這一有利時機，幫助學生強化“點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程；反之，點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程”，這一解析幾何基本思想的理解和認識.此時此刻，學生的思維是活躍的.又有不少學生發(fā)現(xiàn)將代入⑧⑨先化簡，再解交點更簡單.

教師肯定與表揚之后，留出時間讓學生做下去，看誰做得又對又快！在最后處理目標函數(shù)最值時，又是一個節(jié)點，本文不再贅述.

課堂上留足時間、空間讓學生想出來、做出來，并進行“策略選擇、運算方法、障礙調(diào)整”等方面的反思、提煉.通過這樣的過程可以讓學生體驗成功的樂趣，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，培養(yǎng)鍥而不舍的意志品質.

結束語：新一輪課改后的高考改革已見端倪.解析幾何綜合題依然是高考的熱點和重點，必將?？汲Ｐ?，所以難免由陌生之感而產(chǎn)生難度.但無論如何，都不會離開解析幾何的學科本質.解題教學的重點是有效的解題思路的形成和運算的順利進行.說到底就是要：明確一種思想——用代數(shù)的方法解決幾何問題；強化一種方法——坐標法；樹立一種態(tài)度——解決問題；培養(yǎng)一種品質——不服輸.

1 劉勝林. 一道周測試題的解法探析與教學反思[J]. 數(shù)學通訊,2017(3)：38