中山大學(xué)附屬中學(xué)

于君榮 (郵編：510275)

在一次“高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的培訓(xùn)中，數(shù)學(xué)教育專家白濤教授給我們講課時(shí)，提到過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：“每節(jié)課結(jié)束時(shí)，老師們是不是會(huì)向同學(xué)問(wèn)一句：‘本節(jié)課學(xué)到了什么？’之類的問(wèn)題．那么，大家回憶一下，學(xué)生的回答大多是什么？”

一時(shí)間，筆者陷入了沉思：每上完一節(jié)數(shù)學(xué)課后，我們確實(shí)是常常這樣總結(jié)性地問(wèn)過(guò)學(xué)生類似的問(wèn)題，而得到的答案大多是：“本節(jié)課我學(xué)到了什么什么知識(shí)……”如此等等，很少有同學(xué)提及到，他們或感悟或體會(huì)或掌握到了什么樣的數(shù)學(xué)思想方法與思維規(guī)律．

我們不妨結(jié)合高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，思考一下這個(gè)問(wèn)題.在數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高考復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，該如何滲透適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法與思維方式？如何充分利用課堂，緊抓一兩個(gè)典型例題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行得當(dāng)?shù)目v深、拓展和遷移，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程？

下面就筆者的一堂市級(jí)公開(kāi)課，從具體的操作過(guò)程著筆來(lái)談?wù)劚竟?jié)課是否注意到了這點(diǎn)，望各位行家予以斧正．

授課班級(jí)：高三理科實(shí)驗(yàn)班4班；課型：第一輪復(fù)習(xí)；課題：函數(shù)的綜合(3)——函數(shù)在給定區(qū)間上的極值、最值問(wèn)題．

一開(kāi)始用了約五分鐘的時(shí)間對(duì)本節(jié)課所需知識(shí)進(jìn)行了鋪墊之后，再緊扣著一個(gè)典型例題予以展開(kāi)．

這是最基本的方法，當(dāng)然要求同學(xué)們必須掌握．但做為核心素養(yǎng)的思維訓(xùn)練，僅限于此，顯然是不夠的．

與同學(xué)們共同完善了這種做法后，筆者有意地停頓了一會(huì)兒，并微笑審視著大家．

師：同學(xué)們還有沒(méi)有什么別的想法？

短暫的思索，集聚了大家的思維指向，全體同學(xué)都陷入了思考與討論之中．幾分鐘后，同學(xué)A站了起來(lái)．

生A：老師，我感覺(jué)還有更好的方法．

師：??？你說(shuō)說(shuō)看？

該同學(xué)的思維過(guò)程如下：

最后，他很自信地說(shuō)：“這樣做就避免了前面常規(guī)解法中繁瑣的討論，而只考慮a>0的情況了”.

妙?。∪喽紙?bào)以了掌聲．

規(guī)范化這種解法后，望著全班同學(xué)，筆者再次發(fā)出略帶引發(fā)性的語(yǔ)言：“同學(xué)們，這種解法應(yīng)該就是最理想的了吧？”

沉默了幾秒后，孩子們又紛紛拿起筆開(kāi)始了思考．很明顯，大家都處于憤悱的情緒之中．抓住時(shí)機(jī)，巡視一圈后，見(jiàn)同學(xué)們沒(méi)有什么理想的頭緒，筆者繼續(xù)引發(fā)．

師：要使函數(shù)f(x)取得最大值2，也就是對(duì)函數(shù)值有什么要求？

生A：函數(shù)值小于或等于2．

師(同時(shí)也在反問(wèn)大家)：只要小于或等于2就行了嗎？

很多同學(xué)頻頻點(diǎn)頭．

師：我舉一個(gè)例子，大家類比一下：要使我們班同學(xué)身高的最大值為2米，只須大家的身高小于或等于2米就可以了，對(duì)嗎？

同學(xué)異口同聲說(shuō)：那不行，如果沒(méi)有2米高的，就不算．哈，我們班也沒(méi)有2米或2米以上的同學(xué)呀．

對(duì)！要的就是這句話．此時(shí)，部分同學(xué)有所感悟．

生B：對(duì)對(duì)對(duì)，應(yīng)該說(shuō)是值域?yàn)?—∞，2]，也就是f(x)的函數(shù)值要能取到2才行．

其他同學(xué)恍然大悟，頻頻點(diǎn)頭．

短暫時(shí)間后，生C站了起來(lái)．

轉(zhuǎn)化成了恒成立問(wèn)題，妙！

生C：之后在(0,e]內(nèi)分別求出左邊的最大值及右邊的最小值，并使得左邊的最大值小于或等于右邊的最小值就可以了．

師：非常好！那么，如何分別求出左右兩邊的最大、最小值？

約兩分鐘后，有的同學(xué)感覺(jué)到了麻煩．

生D：左邊的最大值好求，因是增函數(shù)，但右邊的最小值不好求，得就a的正負(fù)討論才行，這樣又麻煩起來(lái)了．更何況所給x的范圍的左邊是開(kāi)區(qū)間．

師：分析得非常到位！現(xiàn)在看來(lái)，右邊的最小值不好求，那我們可不可以換個(gè)角度去思考？

到此，所有同學(xué)也沉默了下來(lái)，不知道該如何進(jìn)行下去……

生E(急不可待)：右邊的圖象是直線．對(duì)了，可以分別做出左右兩邊的圖形，結(jié)合圖形來(lái)考慮呀！

哈哈，一語(yǔ)道破，且思維還超前了一步．大家頓悟，紛紛畫(huà)起了圖形來(lái)．

師：對(duì)了，即使作出了左右兩邊函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖形，又能怎樣？

生F：只要在(0，e]這個(gè)范圍內(nèi)，左邊對(duì)應(yīng)的圖形在右邊對(duì)應(yīng)圖形的下方就行．

師：好！那大家動(dòng)手作圖吧．

圖1

師：很多同學(xué)作的圖形，其右邊的直線作得不準(zhǔn)確．大家能觀察到，右邊是一條什么樣的直線？

生G：是一條斜率不定的直線．

師：對(duì)．不過(guò)哈，大家也知道，動(dòng)的東西，也

一定有定的因素！那么這條動(dòng)直線有定的因素嗎？

生H：對(duì)了，它恒過(guò)定點(diǎn)(0，2)！

妙！學(xué)生H上來(lái)黑板作出了如圖1所示的圖形，并作出了如下陳述．

圖2

師(環(huán)視全體)：有這個(gè)圖，就行了嗎？

生I：還要強(qiáng)調(diào)，在(0，e]內(nèi)等號(hào)能夠成立才行，直線必過(guò)點(diǎn)P(e，1)，不能上也不能下．

I同學(xué)上來(lái)將圖1改成了圖2所示的圖象．

筆者充分贊揚(yáng)了I同學(xué)，也規(guī)范化這種處理方法，并強(qiáng)調(diào)性地說(shuō)明了圖形對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要性．

經(jīng)過(guò)如此強(qiáng)烈的思維過(guò)程后，很多同學(xué)都感覺(jué)有些累，同時(shí)也感受到了共同探索、積極思考所帶來(lái)的驚喜．

而正當(dāng)全體同學(xué)都有些疲憊也興奮地在筆記本上記錄上述思維過(guò)程時(shí)，又一位同學(xué)站了起來(lái)．

生J：老師，您看這樣是不是可以．．．(還有些靦腆)先令導(dǎo)數(shù)等于0，就只有一個(gè)解x=-a， 所以在區(qū)間(0,e]上函數(shù)要有最大值為2，只可能在x=-a或在x= e處取得．如果 在x=-a處取得，-a必在(0,e]內(nèi)，之后就能得出結(jié)論．

足足有兩分鐘之久，全班再次陷入沉思之中，很多同學(xué)都還沒(méi)有反應(yīng)過(guò)來(lái)．課堂的思維氛圍又一次緊張起來(lái)！筆者的大腦也快速地運(yùn)轉(zhuǎn)了起來(lái)——畢竟，這是始料未及的事情．

師(對(duì)全體同學(xué))：哈，同學(xué)J的思路是什么？你們聽(tīng)明白了嗎？

部分同學(xué)：沒(méi)有！

師：好，那請(qǐng)同學(xué)J上來(lái)給我們板書(shū)一下吧．

同學(xué)J的板書(shū)如下：

又x∈(0,e]時(shí)，f(x)要取得最大值為2，則只可能在x=-a或在x= e時(shí)取得．若在x=-a處取得最大值，-a必在(0,e]內(nèi)．

所以a∈φ，綜上可知a=e．

太妙了！這樣簡(jiǎn)潔明晰的思維，整個(gè)教室都再次響起雷鳴般的掌聲…

本節(jié)課的最后，筆者也問(wèn)了同樣一個(gè)小結(jié)性的問(wèn)題：本節(jié)課學(xué)到了什么？

好些同學(xué)紛紛暢談到了自己在本節(jié)課中的收獲：不僅僅是復(fù)習(xí)回顧了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法與思維方式的得失，有的還提及到了能充分利用圖象來(lái)處理的這一類題型的結(jié)構(gòu)特征與思維規(guī)律．

現(xiàn)在，回想起前面說(shuō)到的數(shù)學(xué)教育專家白濤教授提出的問(wèn)題，本人的這堂高三復(fù)習(xí)公開(kāi)課的具體授課過(guò)程，應(yīng)該說(shuō)也是或多或少地給以回答了吧？同時(shí)，也深感專家的這一問(wèn)題，深蘊(yùn)著多么深層的內(nèi)涵！

我們的數(shù)學(xué)課堂，特別是高三的復(fù)習(xí)課堂，不只是一個(gè)傳授知識(shí)的過(guò)程，更重要的是一個(gè)充分暴露知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展、滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以及拓展學(xué)生思維的過(guò)程——這應(yīng)該就是我們所說(shuō)的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的基本過(guò)程吧．