李仲慶

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

假設(shè)Ω是RN中的有界域, ?Ω是區(qū)域Ω的光滑邊界?？紤]如下p-Laplace 方程

(1)

其中,p>1為常數(shù), -Δp是p-Laplace 算子, -Δpu=-div(|▽u|p-2▽u)。關(guān)于問(wèn)題(1), 有下面更進(jìn)一步的假設(shè)：

(H) 函數(shù)a(x),f(x)∈L1(Ω), 并且存在Q>0, 使得對(duì)幾乎處處的x∈Ω, 有

|f(x)|≤Qp-1a(x)

(2)

本文研究的問(wèn)題(1)的源項(xiàng)f僅僅在L1, 此時(shí)方程右端項(xiàng)的可積性很低, 可能根本就不存在弱解(往往應(yīng)該從renormalized解或entropy解角度考慮[5-6])。主要原因在于L1(Ω)不一定在W-1,p′(Ω)中。

受文[7]的啟發(fā), 結(jié)合文[8]的思想, 我們給出條件(2)。它實(shí)質(zhì)上表示方程低階項(xiàng)系數(shù)與右端項(xiàng)的關(guān)系, 并促進(jìn)了方程弱解的存在性。

現(xiàn)在給出本文的主要結(jié)果。

▽u|p-2▽u·▽?duì)誨x+

為了清晰起見, 我們把證明過(guò)程分成以下3步。

1 逼近問(wèn)題

首先給出問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)的一個(gè)逼近方程

(3)

其中,

(4)

(5)

|fn(x)|≤Qp-1an(x)

(6)

2 一致最大模估計(jì)和能量估計(jì)

2.1 一致最大模估計(jì)

證明記truncation 函數(shù)[10-11]

Tk(s)=max{-k,min{k,s}}

并且

Gk(s)=s-Tk(s)

受文[7]啟發(fā), 選取GQ(un)作為問(wèn)題(3)的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù), 得到

(7)

接下來(lái)的工作是去處理式(7)的(L1)和(L2)項(xiàng)。

(i) 在集合{x∈Ω:|un(x)|>Q}上,un和GQ(un)的符號(hào)相同, 因此

(8)

(ii) 運(yùn)用式(6)可得

(9)

綜合式(7)-(9)，得

▽GQ(un)|pdx+

(10)

注意到Gk(s)也可以寫成

Gk(s)=(|s|-k)+sign(s)

則式(10)蘊(yùn)含著

[|un|p-1-Qp-1][|un|-Q]dx≤0

從而表明了

meas{x∈Ω:|un(x)|>Q}=0

這樣就得到了: 對(duì)幾乎處處的x∈Ω和所有的n, 有

|un(x)|≤Q

2.2 能量估計(jì)

選取un作為問(wèn)題(3)的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù),得到

(11)

去掉上式第二個(gè)非負(fù)積分項(xiàng), 利用un的L∞一致有界性可以得到

▽un|pdx≤Q‖f‖L1(Ω)

3 梯度的強(qiáng)收斂與極限過(guò)程

(12)

(13)

(14)

(15)

證明受到文 [8] 啟發(fā), 選取un-u作為問(wèn)題(3)的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù), 那么就有

▽un|p-2▽un·(▽un-▽u)dx+

(16)

式(16)可以寫成

(17)

其中

Δ(un,u)=(|▽un|p-2▽un-|▽u|p-2▽u)·

(▽un-▽u)

不難發(fā)現(xiàn)，式(17)右端3個(gè)積分項(xiàng)為n→∞時(shí)的無(wú)窮小量。這樣就有

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