邱 亮

(河南省駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室 463000)

無(wú)論對(duì)于教師還是學(xué)生，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都是有規(guī)律可循的.很多學(xué)生抱怨數(shù)學(xué)難學(xué)，尤其是幾何部分，不知如何進(jìn)行學(xué)習(xí).作為老師，就要正確引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有規(guī)律可循，所以探索、掌握和運(yùn)用規(guī)律是每一位數(shù)學(xué)老師應(yīng)該積極參與、認(rèn)真對(duì)待的.初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，存在大量的規(guī)律、技巧，在這里只提到兩個(gè)方面：一是有關(guān)線段的和、差、倍、分的問(wèn)題中輔助線的作法；二是雙垂直定理.通過(guò)探索這兩類(lèi)題目的解題規(guī)律，總結(jié)出適合學(xué)生的解題技巧，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

一、有關(guān)線段的和、差、倍、分的問(wèn)題，輔助線的作法

幾何題中凡是涉及到線段的和、差、倍、分的問(wèn)題，通常需要添加輔助線.輔助線的添加方法簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是——截長(zhǎng)補(bǔ)短、加倍折半.

例1 如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上任一點(diǎn)，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，BE⊥AC于E.

求證：BE=DF+DG.

分析通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)此題屬于線段的和的問(wèn)題，因此按照我們說(shuō)的規(guī)律，就必須添加輔助線，如果不添加輔助線很難做出或無(wú)法做出，而輔助線的添法也是有規(guī)律可循的.

圖1 圖2

方法一：截長(zhǎng)

在線段BE上截取，BE屬于三條線段BE、DF、DG中的最長(zhǎng)的一條.

具體操作：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BE于M，通過(guò)證明BM=DG，EM=DF，從而證明BE=DF+DG.

方法二：補(bǔ)短

線段DF和DG屬于三條線段中的較短的兩條，在線段DF的反向延長(zhǎng)線上補(bǔ)出DM.

具體操作：過(guò)B作BM⊥DF，交DF的反向延長(zhǎng)線于M，通過(guò)證明DM=DG，BE=MF，從而證明BE=DF+DG.

圖3 圖4

方法三：利用面積

連接AD，利用有關(guān)面積的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.這種方法小學(xué)數(shù)學(xué)就可以解決.

解由S△ABC=S△ABD+S△ACD得

所以AC×BE=AB×DG+AC×DF.

因?yàn)锳B=AC,

所以AC×BE=AC×DG+AC×DF=AC×(DG+DF),

所以BE=DF+DG.

例2 已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB>AC.

分析通過(guò)觀察，此題亦屬于線段的和差的問(wèn)題，所以馬上想到需要添加輔助線.

圖5 圖6

方法一:延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE.

在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系定理得CE-AC

我們可證明AB=CE，所以AB-AC

所以AB-AC<2AD

圖7

方法二:延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD,連接BE.證明方法同上.

例3 已知：在正方形ABCD中，如圖8，∠EAF=45°,點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD邊上.

求證：EF=BE+DF.

分析通過(guò)觀察，我們馬上發(fā)現(xiàn)，在本題的結(jié)論中存在線段的和的問(wèn)題，猛一看不知道從哪里下手，感覺(jué)很難，尤其是第一次看到這樣的題目，更是感覺(jué)難以招架，左思右想不得其解.當(dāng)然這是正?，F(xiàn)象,因?yàn)闆](méi)有發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更沒(méi)有掌握和運(yùn)用規(guī)律.但如果知道并掌握了我們講的規(guī)律，馬上就可以找到解題的突破口了.

方法一：延長(zhǎng)EB至G，使BG=DF，連接AG.

圖8 圖9

圖10

易證∠BAG=∠DAF，AG=AF，所以∠BAG+∠BAE=45°.

易證：△AEF?△AEG，EF=EG.

而EG=BE+BG=BE+DF

所以EF=BE+DF.

方法二：如圖10,延長(zhǎng)FD到M，使DM=BE，連接AM，下略.

例4 如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為BC邊上任一點(diǎn)(可與B、C重合)，分別過(guò)點(diǎn)B、C、D作直線AP的垂線，垂足分別是B′，C′，D′，則BB′+CC′+DD′的最小值為 ，最大值為 .

圖12

分析本題會(huì)讓有的同學(xué)一看就蒙了，感覺(jué)很難處理，但稍加觀察發(fā)現(xiàn)，這也是屬于線段的和的問(wèn)題，不論結(jié)果如何，只須按照規(guī)律上講的，這樣的問(wèn)題需要添加輔助線，眼前馬上一亮，開(kāi)始行動(dòng)，嘗試添加輔助線.本題中涉及到三條線段BB′，CC′，DD′，從所畫(huà)的圖形中可以明顯地看到線段DD′最長(zhǎng)，我們馬上就應(yīng)該想到截長(zhǎng)或補(bǔ)短.如圖15,圖16.

圖15 圖16

二、雙垂直定理(624定理)

什么是雙垂直呢？想必大家都很熟悉，這個(gè)圖形在我們北師大版七年級(jí)課本上就有.

圖17

如圖17,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.這個(gè)圖形中有兩個(gè)垂直，所以我把它叫做“雙垂直”.

筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)“雙垂直”在初中數(shù)學(xué)里占著舉足輕重的地位，它涉及的有七、八、九三個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)的始終.知識(shí)點(diǎn)有：互余的角、勾股定理、相似三角形，題型有計(jì)算題和證明題.圖中共有6條線段，我發(fā)現(xiàn)，已知其中的任何兩條線段一定能求出其余四條中的任何一條，我也把雙垂直定理叫做“624定理”.結(jié)果如下：

(1)角等 ：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；

(3)射影定理：①CD2=AD·BD;②AC2=AD·AB;③BC2=BD·AB.

例5 已知：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AC=3，AB=5,求CD的長(zhǎng).

分析用“624定理”可以輕松解決.

圖18 圖19

例6 已知：如圖19，⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于E.若AE=2，則AC= .

分析這個(gè)題要利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，從而想到添加輔助線——連接BC，則∠ACB=90°.這樣就構(gòu)成了雙垂直圖形了，即可用624定理：

AC2=AE·AB=2×10=20，

圖20

例6 如圖，將一塊含30°角的直角三角板和半圓形量角器，按圖20的方式擺放，使斜邊與半圓相切，若半徑OA=2，則圖中陰影部分的面積為 .

欲求陰影部分的面積，只需要求出圓心角為120°的扇形的面積和△OBC的面積.

圖21

例7 如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，線段AB為半⊙O的直徑，將直角△ABC沿射線AB方向平移，既得到△DEF，使DF過(guò)BC與半圓的交點(diǎn)H.

(1)求BE的長(zhǎng)；

(2)求直角△ABC和△DEF重疊(陰影)部分的面積.

圖22

分析此題只需要添加輔助線，連接AH.利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”可以得到：∠AHB=90°，進(jìn)而得到雙垂直圖形，就可以利用我們所講的“雙垂直定理”(624定理)，要連續(xù)三次運(yùn)用“624定理”.

第一次：在直角△ABC中，求出AH的長(zhǎng).

第二次：在直角△AHB中，求出AD，進(jìn)而求出BD、BE的長(zhǎng).

第三次：在直角△AHB中，求出DH的長(zhǎng).

由DH2=AD×BD，得

綜上所述：我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)類(lèi)似以上提到的數(shù)學(xué)方面的問(wèn)題時(shí)是有規(guī)律可循的.通常分三步走：第一步：觀察分析(動(dòng)眼)；第二步：認(rèn)知?dú)w納(動(dòng)腦)；第三步：采取行動(dòng)(動(dòng)手).比如：看到一個(gè)幾何題，先用眼睛觀察，第二步動(dòng)腦想一想，這是我們學(xué)過(guò)的老師講過(guò)的哪一類(lèi)問(wèn)題呢？哦，我想起來(lái)了，是雙垂直問(wèn)題，也就是624定理，就三條：(1)角等；(2)面積等；(3)射影定理.接下來(lái)該動(dòng)手了,動(dòng)手試試，算算，該添加輔助線的要?jiǎng)邮肿鞒鰜?lái)，看看有什么結(jié)論得出，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

最后祝教師同行們，在教學(xué)中多探索規(guī)律，越教越自如！祝親愛(ài)的同學(xué)們，在學(xué)習(xí)中，多運(yùn)用規(guī)律，越學(xué)越輕松！

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭祎夢(mèng),周巖.“雙垂直”用處大[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2010(07).

[2]宋桂珂.初中數(shù)學(xué)輔助線技巧淺略[J].學(xué)周刊,2015(02).

[3]陳玲.輔助線在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科普童話,2016(07).