趙　璇，　李寶根，　喻祖國

(湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105 )

在傳統(tǒng)的生物數學中，傳染病模型有易感者-染病者-易感者 (SIS) 模型和易感者-染病者-恢復者 (SIR) 模型，研究的主要思想是 Kermack和Mckendrick在 1927 年提出的“倉室”模型[1].這些隨機混合模型總是假設同質均勻混合，即人群中的所有個體相互接觸的可能性是一樣的，但這在現(xiàn)實中幾乎是不存在的.近年來有很多研究去克服這種不足，其中一個努力的方向就是引入網絡模型[2-9].許多的研究人員相繼提出了一些相關模型，研究了疾病在特定網絡上傳播的統(tǒng)計和動力學特征，并給出了相應傳染病的傳播閾值R0[2-5]，即基本再生數.R0是指在傳染病發(fā)病初期，在一個全部是易感者的人群中，進入一個染病者，在其病程內傳染的平均人數.后來 Li 等人也多次研究了經典的易感者-潛伏者-染病者-恢復者 (SEIR)模型[6,10-11].而復雜網絡上的 SEIR 模型卻很少.2003年，Grabowski 與 Kosinski研究了分層結構的 SEIR 傳染病模型[7].2006年，Gama 與 Nunes 研究了小世界網絡上的 SEIR 傳染病模型[8].2008年,Fu 等人[12]研究了無標度網絡[13-15]上具有分段線性傳染性及免疫的 SIS模型的傳染病動力學.2012年,Zhu等人研究了復雜網絡上具有非線性感染率的 SIS模型的全局吸引性[16].2014年,Li 等人研究了異質網絡上 SEIR 模型的流行病動力學行為[17].2017年,Wang 等人研究了隨機網絡上基于邊的 SEIR 模型的流行病動力學行為[18].最近,Yan等人給出了接觸網絡上基于邊的 SIR模型的性病動力學研究[19].本文中我們基于節(jié)點研究了潛伏期患者不具備傳染能力的易感者-潛伏者-染病者-易感者 (SEIS) 模型[20]與 SEIR 模型在無標度網絡[13-15]和動態(tài)小世界網絡[3]上的性質.

以下字母表示的含義除特殊說明外，全文通用：網絡中的總節(jié)點數目N；易感者S，即未染病但有可能被傳染的個體；潛伏者E，即已染病但不具有傳染能力的個體；染病者I，即已染病并具有傳染能力的個體；恢復者R，即未染病且具有免疫力的個體；感染率系數β，即易感者與染病者接觸，被感染的比例；轉移率系數α，即潛伏者成為染病者的比例；恢復率系數γ，即染病者恢復的比例；易感者比例s(t),e(t),i(t),r(t)，分別表示在t時刻易感者、潛伏者、感染者和恢復者節(jié)點數占總節(jié)點數的比例；F(t)，即t時刻墻域的個數.

1　無標度網絡上的SEIS及SEIR模型

1.1　無標度網絡上的SEIS模型

對于任意網絡，在t時刻，S、E和I三類節(jié)點占度為k的節(jié)點數組中的比例分別為sk(t),ek(t),ik(t).考慮節(jié)點間度的差異，我們建立網絡上的SEIS模型的微分方程為：

(1)

(2)

在無標度網絡情況下，由于無標度網絡具有很大的異質性，當N→時，會導致→，從而R0→.這與[21],[22]中發(fā)現(xiàn)在無標度網絡上適當參數下不存在閾值的結果類似.由此可見，在無標度網絡上，即使傳染率β非常小，在SEIS模型下疾病也可以擴散(R0>1).

1.2　無標度網絡上的SEIR模型

SEIR模型適用于感染個體被治愈獲得免疫而不會再被感染，同時可以避免感染或者染病后死亡的情況.對任意網絡，假設t時刻，S、E、I和R這四類節(jié)點占度為k的節(jié)點數組中比例分別為sk(t),ek(t),ik(t),rk(t)，且sk(t)+ek(t)+ik(t)+rk(t)=1.令Θ(t)=∑kP(k)ik(t)/k，可建立

(3)

αφ-γφ=0，1-∑kP(k)〈k〉-1e-β kφ-αφ=0,

式中φ由此可以得到將φ=0帶入上式，等號顯然成立，故φ=0是上述自相關方程的一個平凡解.令f(φ)=γ-1(1-∑kP(k)/〈k〉e-βkφ)，則0

在無標度網絡情況下，由于無標度網絡具有很大的異質性，當N→時，會導致〈k2〉→，從而R0→.故在無標度網絡上，即使傳染率β非常小，SEIR模型下疾病也可以擴散(R0>1).

2　動態(tài)小世界網絡上的SEIS及SEIR模型

已有研究表明嚴重急性呼吸系統(tǒng)綜合癥(SARS)的傳播(尤其是2003年在香港)表現(xiàn)出的特點具有典型的小世界特性[12].為了能更好地反映真實社交結構對流行病的影響，Saram?ki和Kaski提出了動態(tài)小世界網絡[3].(1) 從規(guī)則圖開始：生成一個含N個節(jié)點的最近鄰耦合網絡.每個節(jié)點都與其最近鄰的K個節(jié)點連邊.(2) 長程隨機加邊：以概率p隨機選取兩個節(jié)點，并連接.其中節(jié)點不可以自成環(huán)，而且不同的兩個節(jié)點之間只能有一條邊.SARS疾病傳播的特點就是將每一次的隨機加邊看作是人和人之間的一次遠距離接觸，即疾病的長程傳播過程.

2.1　動態(tài)小世界網絡上的SEIS模型

動態(tài)小世界網絡上的SEIS的數學模型：最初，在模型中有I0個節(jié)點處于感染狀態(tài)，則N-I0個節(jié)點處于易感狀態(tài)，且滿足I0?N.t時刻，I(t)為I類節(jié)點的數目，E(t)為E類節(jié)點的數目.定義輔助變量F(t)=[SI][3]：表示t時刻一端頂點為S類節(jié)點、另一端頂點是I類節(jié)點的邊的數目，即可能發(fā)生短程傳播的邊的數目.稱F(t)為“墻域”的個數.借助F(t)，可得

(4)

在疾病傳播早期階段，假設N足夠大，忽略兩條墻域相遇的情形，那么墻域的變化分為兩種情況.情形一： (1) 長程傳播中(即[SIS])，感染節(jié)點感染其鄰居節(jié)點后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即βpF(t)；感染節(jié)點未感染其鄰居節(jié)點就恢復成易感狀態(tài)，造成墻域減少，即 (1-β)γpF(t)，其中p為長程傳播出現(xiàn)的概率. (2) 短程傳播中(即[IIS])，感染節(jié)點感染其鄰居節(jié)點后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即β(1-p)F(t).情形二：(1) 長程傳播中(即[SIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域雙倍增加，即增量為 2αpE；(2) 短程傳播中(即[IIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域增加，即增量為α(1-p)E.綜上得：

(5)

將(5)代入(4)得：

(6)

類似于[3]，通過對方程式(6)的特征根分析可以知道，疾病傳播的閾值條件為β>γ/(1+γ).

2.2　動態(tài)小世界網絡上的 SEIR 模型

類似前面動態(tài)小世界網絡上 SEIS 模型的建立過程，在疾病傳播早期階段，假設N足夠大，忽略兩條墻域相遇的情形，那么墻域的變化分為以下兩種情況.情形一：感染節(jié)點感染其鄰居節(jié)點后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即βF(t)； 感染節(jié)點未感染其鄰居節(jié)點就恢復成免疫狀態(tài)，造成墻域減少，即 (1-β)γF(t).情形二： (1) 長程傳播中(即[SIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域雙倍增加，即增量為 2αpE； (2) 短程傳播中(即[IIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域增加，即增量為α(1-p)E.綜上并化簡得：

(7)

類似于[3]，通過對上述方程特征根的分析可以知道，疾病傳播的閾值條件為p>(1-β)γ/β.

3　結　論

[1]KERMARK M, MCKENDRICK A. Contributions to the mathematical theory of epidemics. Part I[C]//Proc R soc A， 1927, 115(5): 700-721.

[2]KUPERMAN M, ABRAMSON G. Small world effect in an epidemiological model[J]. Physical Review Letters, 2001, 86(13): 2909-2912.

[3]SARAM?KI J, KASKI K. Modelling development of epidemics with dynamic small-world networks[J]. Journal of Theoretical Biology, 2005, 234(3): 413-421.

[4]KLECZKOWSKI A, OLES K, GUDOWSKA-NOWAK E, et al. Searching for the most cost-effective strategy for controlling epidemics spreading on regular and small-world networks[J]. Journal of the Royal Society Interface, 2012，9(66):158-169.

[5]ZEKRI N, CLERC J P. Statistical and dynamical study of disease propagation in a small world network[J]. Physical Review E, 2001, 64(5): 056115.

[6]D’ONOFRIO A. Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J]. Mathematical Biosciences, 2002, 179(1): 57-72.

[7]GRABOWSKI A, KOSIńSKI R A. Epidemic spreading in a hierarchical social network[J]. Physical Review E, 2004, 70(3): 031908.

[8]DA GAMA M M T, NUNES A. Epidemics in small world networks[J]. The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems, 2006, 50(1-2): 205-208.

[9]PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A. Epidemics and immunization in scale-free networks[DB]. arXiv preprint cond-mat/0205260, 2002.

[10]LI M Y, MULDOWNEY J S. Global stability for the SEIR model in epidemiology[J]. Mathematical Biosciences, 1995, 125(2): 155-164.

[11]LI M Y, GRAEF J R, WANG L, et al. Global dynamics of a SEIR model with varying total population size[J]. Mathematical Biosciences, 1999, 160(2): 191-213.

[12]FU X, SMALL M, WALKER D M, et al. Epidemic dynamics on scale-free networks with piecewise linear infectivity and immunization[J]. Physical Review E, 2008, 77(3): 036113.

[13]SMALL M, TSE C K. Small world and scale free model of transmission of SARS[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005, 15(05): 1745-1755.

[14]SMALL M, WALKER D M, TSE C K. Scale-free distribution of avian influenza outbreaks[J]. Physical Review Letters, 2007, 99(18): 188702.

[15]汪小帆, 李翔, 陳關榮. 復雜網絡理論及其應用[M]. 北京：清華大學出版社, 2006.

[16]ZHU G, FU X, CHEN G. Global attractivity of a network-based epidemic SIS model with nonlinear infectivity[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(6): 2588-2594.

[17]LI C H, TSAI C C, YANG S Y. Analysis of epidemic spreading of an SIRS model in complex heterogeneous networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(4): 1042-1054.

[18]WANG Y, CAO J, ALSAEDI A, et al. Edge-based SEIR dynamics with or without infectious force in latent period on random networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017, 45: 35-54.

[19]YAN S, ZHANG Y, MA J, et al. An edge-based SIR model for sexually transmitted diseases on the contact network[J]. Journal of Theoretical Biology, 2018, 439: 216-225.

[20]ROBERT M.Epidemic modelling: an introduction[J]. Mathematical Gazette,1999,83(498):213-569.

[21]PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A. Epidemic spreading in scale-free networks[J]. Phys Rev Lett, 2001, 86: 3200-3203.

[22]LIU J, ZHANG T. Epidemic spreading of an SEIRS model in scale-free networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(8):3375-3384.