王劉彭,　易年余

(湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院，科學工程計算與數(shù)值仿真湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411105)

有限元方法是求解偏微分方程的一種行之有效的數(shù)值方法，廣泛應用于科學與工程計算的各領(lǐng)域.它的基本思想是分片函數(shù)(多項式)逼近與變分原理.隨著泛函分析在偏微分方程逼近理論中的成熟應用，有限元方法與偏微分方程逼近完美結(jié)合，有限元方法的數(shù)學理論得到了蓬勃發(fā)展.自20世紀60年代開始，逐漸建立了有限元方法的先驗誤差估計理論[1-3]和后驗誤差估計理論[4-7].

有限元誤差估計理論主要是基于誤差方程和Galerkin正交性.設Th是區(qū)域Ω的一個正則剖分，Vh是定義在Th上的有限元空間.在能量范數(shù)意義下，注意到有限元解是有限元空間Vh中偏微分方程解的最佳逼近，即

特別地，取vh為u在Vh上的插值uI，可將有限元誤差能量范數(shù)估計轉(zhuǎn)化為插值誤差估計

‖u-uh‖E≤‖u-uI‖E.

關(guān)于有限元誤差的L2范數(shù)估計，一般是通過引入對偶問題，利用Aubin-Nitsche技巧將誤差的L2范數(shù)轉(zhuǎn)化為誤差的能量范數(shù)控制，進而得到有限元誤差L2范數(shù)的一個上界

‖u-uh‖≤Ch‖u-uh‖E≤Ch‖u-uI‖E.

設Ω?Rd(d=1,2,3)為d維空間中的一有界區(qū)域，其邊界?Ω是Lipschitz連續(xù)的.記Th為區(qū)域Ω上的一正則剖分，Vh?H1(Ω)是定義在網(wǎng)格Th上的連續(xù)分片線性有限元空間.

對任意的函數(shù)u∈L2(Ω)，其在有限元空間Vh上的L2投影記為Pu∈Vh，滿足：

(u-Pu,vh)=0,?vh∈Vh.

(1)

對于投影Pu,有

‖u‖2=‖Pu‖2+‖u-Pu‖2,?u∈L2(Ω).

(2)

易知

‖Pu‖≤‖u‖,?u∈L2(Ω),

(3)

當且僅當u∈Vh時，等式成立.

基于估計式(2),可以合理假設：存在常數(shù)0<θ<1，使得

‖Pu‖≤θ‖u‖,?u?Vh.

(4)

顯然，在L2范數(shù)意義下，Pu是u在有限元空間Vh中的最佳逼近，即

(5)

因此，投影誤差可由誤差‖u-vh‖來估計.下面定理給出投影誤差‖u-Pu‖與誤差‖u-vh‖的比較結(jié)果.

定理1設u∈L2(Ω),Pu∈Vh為u的L2投影且滿足假設(4)，則對任一vh∈Vh，

(6)

從而有

(7)

證明由三角不等式和(4)，對任意的vh∈Vh，有

‖u-vh‖≤‖u-Pu‖+‖Pu-vh‖=‖u-Pu‖+‖P(u-vh)‖≤

‖u-Pu‖+θ‖u-vh‖.

因此，(1-θ)‖u-vh‖≤‖u-Pu‖.即得(6).再結(jié)合(5)可得(7).

將定理1的結(jié)果應用到有限元的誤差估計中，分別得到有限元誤差L2范數(shù)和H1范數(shù)的估計.基于估計式(7)，可以得到有限元誤差與插值誤差在L2范數(shù)下的等價性，進一步基于插值誤差的漸近展開式和Hessian重構(gòu)方法，構(gòu)造了一個后驗誤差估計子.

考慮如下模型問題：

(8)

(9)

a(uh,vh)=f(vh),?vh∈Vh.

(10)

記uI∈Vh為u的分片線性插值，在定理1中分別取vh=uh和vh=uI可得

由上述兩式，得到有限元誤差‖u-uh‖和插值誤差‖u-uI‖的等價性

‖u-uh‖≈‖u-uI‖.

(11)

因此，

(12)

可作為有限元誤差L2范數(shù)的一個可靠且有效的誤差指示子.對于問題(8)，定義能量范數(shù)如下：

c|u-uh|1≤‖u-uh‖E≤‖u-Pu‖E≤C|u-Pu|1.

(13)

由三角不等式，Vh空間上的逆估計以及‖u-uh‖與‖u-Pu‖的等價性，有

再利用對偶論證可得‖u-uh‖≤Ch|u-uh|1.結(jié)合上述兩式，有|u-Pu|1≤C|u-uh|1,即得

‖u-Pu‖E≤C‖u-uh‖E.

(14)

由(13)和(14)，即得有限元誤差‖u-uh‖E與投影誤差‖u-Pu‖E的等價性：

‖u-uh‖E≈‖u-Pu‖E.

(15)

由插值誤差估計理論，我們有

(16)

其中，(ξi,ηi),1≤i≤3介于點(x,y)和點 (xi,yi)所成線段上，φi(x,y)為頂點(xi,yi)對應的線性元基函數(shù).

基于誤差展開式(16)，可以得到單元誤差估計的一個近似

其中，Hh(uh)表示由有限元解uh得到的Hessian重構(gòu)，是D2u的分片常數(shù)近似.

(p(zi)-uh(zi))2.

則單元τ上重構(gòu)的Hessian定義為

Hτ(uh):=2pτ.

基于以上的Hessian重構(gòu)，我們可以構(gòu)造相應的重構(gòu)型后驗誤差估計子ητ

(17)

它是關(guān)于有限元誤差的L2范數(shù)的一個可靠且有效的后驗誤差估計子.

我們測試了大量的數(shù)值算例來檢驗有限元L2范數(shù)誤差的重構(gòu)型誤差估計子(17)的有效性.考慮如下橢圓偏微分方程

(18)

其中，?Ω=ΓD∪ΓN，n為邊界上的單位外法向量.我們應用自適應有限元方法求解上述偏微分方程，其中誤差估計子采用(17)，網(wǎng)格加密方法分別考慮了二分法[15]和CfCVDT[16]方法.所選取的算例主要來自[17]，包括解含有大梯度問題，區(qū)域幾何形狀引起的奇性問題，界面奇性問題等.限于篇幅，我們僅列出了一個例子的結(jié)果.

例1考慮問題(18)，其中A=I是一個2×2的單位陣，b=0,Ω=(0,1)2,ΓD=?Ω,真解

圖1畫出了解的圖形，這個解是光滑的，但是有一個陡峭的內(nèi)層，其中參數(shù)S反應內(nèi)層斜坡的陡峭程度，本例中取S=60.圖2畫出了自適應網(wǎng)格，誤差‖u-uh‖及誤差估計子η，誤差有效因子η/‖u-uh‖ 等圖形.可以看到，誤差估計子能夠引導網(wǎng)格在內(nèi)層處加密，且誤差估計子是漸近準確的，誤差‖u-uh‖=O(N-1)，達到了最優(yōu)下降速度.

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