（北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校）

角的平分線的性質，即“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等”和“角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”，是初中平面幾何教學中比較特殊的兩個定理，之所以這樣說，源自于學生的兩個疑惑：（1）學習這兩個定理似乎是為了避開全等三角形的證明；（2）如果一個真猜想是性質定理，那么這個猜想的逆定理在一般情形下應該是判定定理.但是這兩個定理為什么都稱為性質定理呢？這兩個疑惑也引起了我們的思考，以下是筆者對于“角的平分線的性質”一課的教學設計.

一、指導思想和理論依據

著名數學家波利亞認為，學習任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現，因為這種發(fā)現理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質和聯系.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中也指出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.本課是一節(jié)圖形性質的探究課，知識的綜合性較強，思維含量較大，結合波利亞和《標準》的理念，教師發(fā)揮主導作用，設置一系列問題串，引發(fā)學生的數學思考，啟發(fā)學生的思維.

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論認為，教學必須考慮到兒童已達到的水平并走在兒童發(fā)展的前面.教學可以說是“創(chuàng)造”著學生的發(fā)展，決定著學生發(fā)展的水平、速度和內容.在本節(jié)課的探究過程中，筆者始終圍繞學生的最近發(fā)展區(qū)設置問題，以思考和相互交流的形式分析并解決問題，學生通過動手操作、觀察、實驗、探究來解決問題，從而完成對知識的自我建構.

二、教學背景分析

教學內容：本節(jié)課是人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“全等三角形”第3課時的內容，是對全等三角形知識的運用和延續(xù).

“角的平分線的性質”一課是一節(jié)性質探究課，是初中階段幾何學習的重要內容，為以后研究圖形的性質提供了重要的思路和方法，學生可以類比角的平分線的性質的研究方法，探究線段的垂直平分線的性質.學生能夠從本節(jié)課的探究過程中，逐步感受一個圖形與所有滿足特征條件的點之間的關系，從不同的角度認識角平分線，體會其中的集合思想.學生初次探究這類問題，缺少認知基礎和活動經驗，筆者通過創(chuàng)設實際情境，使學生逐步掌握探究方法，在探究的過程中逐步體會這種集合思想，以及條件的充分性和必要性.

猜想證明是初中幾何的重要組成部分，是培養(yǎng)學生思維嚴謹的重要載體.文字語言、圖形語言、符號語言三種表述方式之間的轉化是猜想證明過程中的重要環(huán)節(jié)，在本節(jié)課中，筆者設計了一系列學生活動，幫助學生突破這一難點.

學生情況：為了因材施教和有的放矢，筆者在課前進行了學習情況調研.數據顯示，七、八年級的學生欠缺探究一個圖形性質的方法和經驗；九年級學生雖然學習過這部分內容，但是對證明幾何猜想的完整規(guī)范的表述仍有一定不足.

教學方式：探究式教學.

三、教學目標及教學重、難點

教學目標：（1）從航線的具體情境中，抽象出幾何模型，初步感悟具有某條件的點的特征.

（2）類比平行線，探索并證明角的平分線的性質.

（3）在探索活動中，體會合情推理的作用，理解模型思想、集合思想.

（4）通過對定理證明的一般步驟的梳理，體會數學的嚴謹性，發(fā)展邏輯推理能力.

教學重點：理解角的平分線的性質.

教學難點：發(fā)現并證明角的平分線的性質.

四、教學流程

借助情境，發(fā)現問題—問題變式，類比探究—證明猜想，歸納小結—拓展探究，提高能力—課后反思，提升認識.

五、教學過程

1.借助情境，發(fā)現問題

情境1：端午節(jié)是我們國家的傳統節(jié)日，人們吃粽子，劃龍舟來慶祝.在龍舟比賽中，為了明確船航行的方向，通常在河面上放置一些浮標（如圖1）.

圖1

若河的兩岸互相平行，最中間一排浮標的位置是如何確定的（如圖2）？

圖2

師生活動：學生觀看視頻后，從實際情境中抽象出數學問題，畫出圖形，并確定浮標的位置.教師適當追問，引導學生分析“中間的線”與到兩平行線距離相等的點之間的關系，明確應從兩個角度去探究問題.

問題1：最中間的直線滿足什么條件？問題2：到兩平行線的距離相等的點有什么規(guī)律？問題3：你能提出關于兩平行線間的“中間的線”的哪些猜想？

猜想1：兩平行線間“中間的線”上的點到兩平行線的距離相等.

猜想2：到兩平行線距離相等的點在兩平行線間“中間的線”上.

活動：在圖3中畫出兩平行線間的“中間的線”，并簡要記錄畫圖步驟.

圖3

【設計意圖】通過中國傳統文化賽龍舟，設計浮標這一實際情境引入，激發(fā)了學生的學習興趣.借助情境，讓學生經歷了將實際問題抽象為數學問題的過程，從更易于理解的平行線間“中間的線”開始探究，逐步分析出兩個猜想，既要探究直線上所有的點都滿足一定條件，還要探究滿足特定條件的所有的點都在直線上，既為下一個環(huán)節(jié)探究角的平分線的性質做了鋪墊，又讓學生獲得了一定的研究經驗.

2.問題變式，類比探究

情境2：如果河的兩岸不平行，則抽象成一個角（如圖4），這時你還能找到中間的線么？

圖4

問題1：當兩直線不平行時，“中間的線”還存在嗎？它有名字嗎？

問題2：角的平分線有與“中間的線”相類似的性質嗎？

活動：提出關于角的平分線的猜想.

類比兩平行線間“中間的線”的猜想，提出關于角的平分線的兩個猜想.

猜想1：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

猜想2：角的內部到角的兩邊距離相等點在角的平分線上.

【設計意圖】情境由兩條平行的直線變?yōu)橐粋€角，學生能夠在這種特殊到一般的變化中，主動運用類比的方法，較為順利地提出有關角的平分線的性質的兩條猜想.

3.證明猜想，歸納小結

活動1：將猜想1改寫成符號語言.

分析猜想1的條件和結論，明確猜想1的研究對象是線上的點.借助量角器，畫出角的平分線，再將猜想的條件、結論分別用符號語言表述出來.教師展示學生的作圖，并讓一位學生簡要描述自己的作圖步驟，師生共同辨析得出大家都認可的一種恰當的表述.

【設計意圖】使學生經歷“猜想—畫圖—改寫—證明”這一系列的探究過程，初步獲得研究幾何問題的方法和步驟.

在將猜想的文字表述轉化成符號語言的過程中，學生可能會出現不同的理解.

預設1：已知，如圖5，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.求證：PD=PE.

預設2：已知，如圖5，∠AOC=∠BOC，點P在OC上.求證：PD=PE.

圖5

預設3：已知，如圖5，射線OC平分∠AOB，點P在射線OC上.求證：點P到OA，OB的距離相等.

學生在將文字改寫成符號語言時，對于如何描述距離會出現不同的理解，教師引導學生分析幾位同學的改寫，確定預設1是最為恰當的表述.

活動2：完成猜想1的證明過程.

學生獨立完成猜想1的證明過程，在黑板上板演證明的完整過程.

活動3：師生共同歸納證明一個幾何猜想的一般步驟：閱讀猜想—分析條件和結論—畫出圖形—寫成符號語言—完成證明.

【設計意圖】學生通過辨析猜想的條件和結論，先獨立完成猜想的改寫，再與教師共同辨析，得到最為恰當的表述.在這一過程中，一方面，可以增強學生對角的平分線的性質的猜想條件和結論的理解；另一方面，可以歸納證明一個幾何猜想的一般步驟，感受數學的嚴謹性.

活動4：獨立完成猜想2的證明.

在完成猜想1的證明過程的基礎上，學生獨立改寫猜想2的已知部分，但是在求證的表述上可能會存在不同的想法.

預設1：已知，如圖5，點P在射線OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，PD=PE.求證：∠AOC=∠BOC.

預設2：已知，如圖6，點P在∠AOB的內部，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.

圖6

師生互動：師生共同分析，辨析猜想的條件和結論，不斷調整對于已知和求證的書寫.

【設計意圖】學生在不斷調整已知、求證的書寫的過程中，提升對猜想的理解，強化幾何猜想證明的一般步驟，體會數學的嚴謹性，突破本節(jié)課的教學難點.

4.拓展探究，提高能力

活動1：探究角平分線的畫法.

預設1：依據角的平分線的定義，利用量角器進行度量，畫出角平分線.

預設2：如圖7，第1步：在射線OB上任取一點M，過點M作射線OB的垂線.在這條垂線上，且在角的內部任取一點H，過點H作射線OB的平行線l1；

第2步：在射線OA上任取一點N，過點N作射線OA的垂線.在這條垂線上截取NG=HM，且點G在角的內部，過點G作射線OA的平行線l2，交直線l1于點P；

第3步：點P即為所求.

圖7

圖8

預設3：如圖8，第1步：以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點M，N；

第2步：分別過點M和點N，作射線OA，OB的垂線，兩垂線交于點P.

第3步：點P即為所求.

活動2：拓展作業(yè).能否用尺規(guī)作一個角的平分線？

【設計意圖】多種畫圖方法，體現了學生思維的多樣性和靈活性，提高了學生解決問題的能力，也進一步加深了學生對角平分線性質的理解.在此基礎上，將“能否用尺規(guī)作一個角的平分線”布置為課后探究作業(yè)，使學生的思維層層深入，學習的過程形成體系.

5.課后反思，提升認識

通過對本節(jié)課的學習，你有哪些收獲和體會？

【設計意圖】通過小結環(huán)節(jié)，不僅使學生能夠在知識上有所收獲，更重要的，是能夠從探究過程和思想方法的角度來提升對本節(jié)課的認識.

六、教學特點及教學反思

本節(jié)課的教學重點是角平分線的性質定理的探究及證明，角平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點組成的集合，這個集合可以看作是動點的軌跡，這是角平分線的軌跡定義.我們知道，點的軌跡具有以下兩個基本屬性：（1）圖形上的每個點都符合某條件；（2）符合某條件的所有點都在圖形上.本節(jié)課所講的兩個定理正是從軌跡的角度刻畫角的平分線，是學生第一次接觸到軌跡的兩個屬性，后續(xù)的線段的垂直平分線和圓的定義也是典型的例子.如何在沒有界定運動、點集、軌跡這些名詞的情況下，讓學生體會到軌跡思想，是這節(jié)課最大的挑戰(zhàn).

筆者在授課前，對初中三個年級的學生進行了充分的調研和學情分析，發(fā)現原有的探究活動過于生硬，學生只是在完成規(guī)定的操作，而缺少對發(fā)現問題的思考.同時，學習過此部分知識的學生對定理證明的掌握情況也不是太好.因此，筆者設計了充分的教學活動，力爭有所突破.

筆者首先選擇了賽龍舟這一中國傳統活動進行引入，既弘揚了中華傳統文化，又激發(fā)了學生的興趣，更重要的是從中抽象出的平行線相關的數學模型是易于學生理解的.學生不難發(fā)現到兩平行線距離相等的所有點組成在兩條平行線“中間”且與兩直線平行的直線，接著提出互為逆猜想的兩個猜想，再畫圖說明.這樣就使學生獲得了一些繼續(xù)探究的經驗.

進而將平行線改為相交線，通過類比“中間的線”的研究思路，學生很容易想到去探究點到角的兩邊的距離，并對角平分線的性質提出猜想.這種設計思路非常新穎，學生的思維活動順暢自然，成為發(fā)現問題、提出問題的主導者，也就使得角平分線的性質的探究活動不再生硬.

接下來筆者引導學生多角度探究畫圖方法，充分展示了學生思維的多樣性，在發(fā)展學生畫圖技能的同時，也培養(yǎng)了學生的分析推理能力，兩條定理的證明也就水到渠成了.在經歷了閱讀、翻譯、畫圖，寫出已知、求證、證明這一完整的過程后，學生對定理證明的一般過程也有了更清晰的理解.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［3］傅種孫.幾何基礎研究［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.