汪 健，李庾南，袁亞良

（1.江蘇省南通市啟秀中學；2.江蘇省南通市教育科學研究院）

一、內容和內容解析

1.內容

角的概念、角的表示、角的大小比較、角的和差、角平分線.

2.內容解析

角的概念、角的表示、角的大小比較、角的和差，以及角平分線是本章重要的基礎知識，也是后續(xù)學習圖形與幾何必備的知識基礎.

對于角的概念，學生在小學的時候已經有了粗淺的認識.初中階段開始對角進行嚴格的定義，規(guī)范角的表示，準確度量角的大小和比較角的大小.高中階段還要將角推廣到任意角，進而學習孤度制和三角函數(shù)，學生對于角的認識層次在不斷地螺旋式上升.因此，“角”這一節(jié)課的知識內容起到了承上啟下的作用.

角的大小比較方法有兩種——度量法和疊合法.其中，疊合法是重要的方法.疊合時使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊落在重合一邊的同旁，保證了可比性；在度量法中，量角器起到了一個移角的作用，其實質是將兩個角移動后疊合在一起.比較兩角的大小是本節(jié)知識產生、發(fā)展的起點.無論是圖形，還是數(shù)量，除了角的大小外，自然會產生角的和差問題，將角的和差特殊化，即產生等分（角平分線）問題.

與線段的比較、線段的和與差、線段的中點一樣，對于角的比較、角的和差、角平分線，也是從數(shù)和形兩方面來進行研究的.研究方法有兩個方面：一是數(shù)形結合，即把幾何意義與度數(shù)的數(shù)量關系結合起來；二是類比學習.按知識內容：線段的比較、線段的和與差、線段的中點，與角的比較、角的和與差、角平分線是類比性知識；按敘述方式：都采用圖形語言、文字語言和符號語言綜合描述所研究的對象；按學習過程：都注意從具體到抽象，同時也重視反向的訓練.

基于以上分析可以看出，對角的概念的核心闡述將是這節(jié)課的重點.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）理解角的定義、角的表示法；會比較角的大小，理解角的和與差，以及角平分線的意義；會用文字語言、圖形語言、符號語言對其進行描述.

（2）類比線段學習的相關經驗，研究角的定義、角的表示方法、角的度量、角的大小比較、角的和差，以及角平分線，體會類比的思想.

2.目標解析

（1）能從角的靜態(tài)和動態(tài)定義理解角，根據(jù)實際情況，會用一個大寫字母、三個大寫字母、數(shù)字、希臘字母表示角.

（2）會用度量法和疊合法比較角的大?。荒軓膸缀螆D形和數(shù)量關系兩個方面認識角的和與差，以及角平分線；知道兩個角的和或差仍然是一個角；能結合角的大小、角的和與差、角平分線的直觀圖形，用文字語言、符號語言對其進行描述.反過來，能將用文字語言或符號語言所描述的圖形及關系，用直觀圖形表示出來.

（3）在學習過程中，能在回顧線段的定義、表示方法、大小、和與差、中點內容的同時，想象本課所要學習的內容，從而將線段學習過程中的研究方法和基本套路遷移到角的相關問題的研究中，形成良好的認知結構.

三、教學問題診斷分析

類比線段的學習研究方法，生成角的相關內容與學習方法，學生在對學習方法和學習內容的理解上不會有太大的困難.學生的學習困難主要存在于以下兩個方面：一是角的動態(tài)定義，由原來兩條射線的靜態(tài)，到一條射線的動態(tài)，理解上有障礙；二是相關學習內容的文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉換，學生在理解與轉換上有困難.

對于角的旋轉定義，要使學生明確不能只是將角看作是有公共端點的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個重要元素，即兩條射線間的相對位置關系，這是角與有公共端點的兩條射線的重要區(qū)別.因此，宜抓住角的概念的核心為：（1）組成角的要素，即頂點和兩條射線；（2）兩條射線間的相對位置關系.

七年級的學生初次使用數(shù)學符號語言對角的相關知識進行表示，其需要一個感知、體會、辨析和運用的過程，對于幾何中的文字語言、圖形語言、符號語言，學生需要經歷從直觀到抽象的往復過程.要讓學生從數(shù)與形的聯(lián)系上去理解，從讀圖與畫圖的實踐中去感悟，從具體、直觀，到抽象的雙向訓練中去提高認識.

本節(jié)課的教學難點為角的動態(tài)定義，以及用三種不同語言描述角的大小、角的和差和角平分線.

四、教學支持條件分析

借助ppt動態(tài)演示角的形成過程，幫助學生理解角的動態(tài)定義.借助多媒體課件、學生動手操作學具等直觀展示，讓學生在觀察、操作、想象、互助交流等活動中認識圖形.

五、教學過程設計

1.創(chuàng)設情境

問題1：大家回憶一下，對線段這樣一個圖形，我們研究了哪些方面的內容？

在學生充分表達自己對線段的認識的基礎上，師生共同概括出線段學習的基本結構.

【設計意圖】溫故知新，復習線段的相關知識，為研究角的相關知識提供思路和方法.

2.類比遷移，研究角的定義、表示法、度量、大小比較、和與差

問題2：今天這節(jié)課，我們研究另外一種基本的幾何圖形——角（揭示課題）.它和線段一樣，也是可度量、有大小的，根據(jù)前面的學習經驗，你覺得應該從哪些方面研究角？

可以研究角的定義、表示法、度量、大小比較、和與差……

【設計意圖】引導學生自主遷移線段的研究方法，構建角的知識框架.

追問：在這些知識里，你覺得首先應該研究什么？

角的定義.

歸納：研究一個幾何圖形，首先應該研究它的定義.

問題3：你知道角是由哪些要素組成的嗎？

靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊.

角的構成要素：頂點、邊.

【設計意圖】引導學生回顧小學里學過的角的靜態(tài)定義，并進一步的調整，使之完善.

問題4：你身邊有哪些文具給我們以角的形象？

圓規(guī)等.

追問1：閉合的圓規(guī)可以抽象為什么圖形？

射線.

追問2：從圓規(guī)形成角的過程想一想，一條射線可以如何運動形成角？

動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置時所形成的圖形叫做角.

如圖1，其中，射線的端點叫做角的頂點.射線原來的位置OA叫做始邊，旋轉后的位置OB叫做終邊，角的始邊和終邊統(tǒng)稱為角的邊.從始邊旋轉到終邊所掃過的區(qū)域叫做角的內部，沒有掃過的區(qū)域叫做角的外部.

圖1

【設計意圖】以圓規(guī)為例，在動態(tài)演示角的形成的過程中，引導學生抽象出角的動態(tài)定義.

問題5：（動畫演示一條射線繞著端點旋轉形成角的過程）在動畫中，形成了哪些特殊的角？

平角、周角.

追問1：平角的兩邊有怎樣的位置關系？周角呢？

追問2：形成平角和周角時，射線繞著端點分別旋轉了幾周？平角和周角哪個旋轉量大？周角和平角哪個角大？

周角的旋轉量大；周角比平角大.

追問3：角的大小由什么決定？

旋轉量的大小決定角的大小.

【設計意圖】研究動態(tài)形成的特殊角，引導學生分析角的大小的決定因素，為后面研究角的大小比較做好準備.

問題6：接下來要研究的有關角的內容，哪些是在小學已經學習過的？先獨立思考，再小組交流.

此時課堂完全開放，由學生自主研究相關知識.

（1）角的表示法.

追問1：小學已經學過哪些角的表示方法？還有哪些新的表示方法？

①如圖2（1），角通常用三個大寫字母及符號“∠”表示為∠AOB，或∠BOA.

②如圖2（1），用頂點字母表示為∠O.

③如圖2（2）、2（3），用一個數(shù)字或希臘字母表示為∠1，∠α，……

圖2

追問2：如圖3，能將∠α記作∠O嗎？為什么？∠α還可以怎么表示呢？

（2）角的度量.

追問1：角是怎么度量的？角的度量工具是什么？

追問2：角的度量單位有哪些？1°的角有多大呢？有沒有比度更小的單位？

圖3

（3）大小的比較.

追問1：關于研究角的大小比較的方法，你聯(lián)想到前面學過什么知識？

線段的大小比較.

追問2：你能類比線段大小比較的方法，找到比較如圖4所示的兩個角大小的方法嗎？

圖4

比較的方法：①度量法：用量角器來比較（對中、重合、讀數(shù)）.

②疊合法：重合（兩角的頂點及一邊重合），同旁（另一邊落在第一條邊的同旁）.

比較的結果：兩個角的大小關系有幾種？你能用圖形和符號表示嗎？

表示方式如圖5所示.

圖5

（4）角的和與差、角平分線的意義及數(shù)量關系.

追問1：如圖6，圖中共有幾個角？它們如何表示？它們之間有什么等量關系？

追問2：你能類比線段的和與差，用符號表示這些角之間的關系嗎？

追問3：線段中有中點的概念，類似的，角中具有相似概念嗎？

角平分線定義：以一個角的頂點為端點的射線，如果把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

進一步分析角平分線定義具備的性質與判定的雙重作用.

【設計意圖】引導學生充分挖掘對角的已有認識，結合線段的研究方式，自主完善角的相關知識，建構完整的知識結構和研究方法體系.

圖6

3.小結

回顧本堂課的學習，我們研究了有關角的哪些知識？我們是怎樣研究這些知識的呢？你還有什么疑問嗎？

【設計意圖】回顧反思，整體建構角的知識結構，總結研究方法，加深對類比這一數(shù)學思想方法的體會，歸納出研究幾何圖形的一般方法.

4.課外作業(yè)

完成課后練習題.

六、教學反思

“角”是湘教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章第三節(jié)第1課時的內容，原標題是“角與角的大小比較”.學生在小學階段已經學習過角的相關知識，初中階段是學生第三次研究角這個圖形.

從教材體系看，線段和角既是平面幾何圖形中并列的兩個基本元素，但是它們又是相關聯(lián)的.角與線段具有內容的同構性，作為一個平面幾何的基本元素，線段包含如圖7所示的內容.

圖7

這與另一個基本元素——角，完全類同.因此，學生已有的線段認知是獲得對角的認知結構的基礎，我們以對線段的認知結構的回顧，自覺進行遷移，探究新知角的知識體系.

根據(jù)學生的認知基礎，我們確定了研究重點：角的定義（動態(tài)、靜態(tài)定義）、角的表示方法、角的度量、角的大小比較、角的和差、角平分線.在這些知識中，有些是學生在小學階段已有基礎，但是需要進一步規(guī)范和補充完善的.例如，對于角的定義，小學階段已經給出過角的靜態(tài)定義，但是不夠嚴謹，初中階段給出了角的嚴格的靜態(tài)定義，同時為了與高中銜接，又引入了角的動態(tài)定義，這是對小學已有知識的補充.對于一些知識，雖然小學已經研究得比較全面，但是要加深學生思維的深度，提高學生的學力，為此教師就有必要引導學生對問題的本質進行思考.例如，在角的度量中，學生已經熟練掌握了用量角器度量、比較角的大小.因此，這部分知識不是本節(jié)課的重點.但是在探究用度量法、疊合法比較角的大小后，我們應該引導學生對原有認知進行更深入的反思：為什么度量的度數(shù)越大，角就越大？通過分析度量法與疊合法的本質聯(lián)系，使學生理解度量法比較大小的實質是用量角器這個工具實現(xiàn)角之間間接的疊合，當角的度數(shù)越大時，形成這個角所需要旋轉的量也就越大，從中體會到數(shù)與形的統(tǒng)一.這是學生思維的一次升華，即從研究“是什么”上升到研究“為什么”.

數(shù)學的核心是思維，失去思維，數(shù)學知識本身也會變得沒有靈魂.在這節(jié)課中，學生不僅學習了角的相關知識，更重要的是在研究角的過程中，逐步掌握了研究幾何圖形的一般方法：先從圖形形狀特征出發(fā)抽象出圖形定義，再研究圖形表示法、性質、判定等相關知識.這揭示了原有的知識與方法和新學的知識與方法之間的聯(lián)系或邏輯關系，使學生既獲得了結構性的知識和方法，也提高了學習幾何圖形的興趣和自信.

角這個圖形源自射線，它是由具有特殊位置關系的兩條射線組成的圖形，由圖形特征抽象出定義，由兩條射線的相對位置或由始邊旋轉量的大小推出角的大小概念.因此，要度量角的大小，必須有度量工具和度量單位，這樣便生成了量角器（構造原理）和刻畫量的大小的單位.因此，周角的大小為360°，隨之平角180°，平角之半為直角.進而兩個角也就有了大小的比較，需要研究兩個角大小的比較方法、比較結果和數(shù)學表示方法.在此基礎上進行拓展，研究角的和與差，互余、互補，以及角平分線等概念，這樣便逐漸形成了關于角的知識體系.當把角的這一體系作為一個整體知識后，它又成為了構成幾何圖形的一個基本元素.例如，角是構成三角形的元素之一，而三角形又是一個知識體系，這樣由角、三角形，以及其他一些相關知識，便形成了較大的數(shù)學知識體系.我們在教學時，要讓學生學習到結構性的數(shù)學知識，這個結構可以是大的章節(jié)結構，也可以是小的單元結構.只有這樣，學生對于知識的理解才能夠更加深入和完整，才能有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的提高.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］章建躍.章建躍數(shù)學教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［4］李庾南.數(shù)學自學·議論·引導教學法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

［5］李榮娟，王興武，董彥生.初中數(shù)學教材整合的原則與方法［J］.山東教育，2009（32）:37-38.