解永春,王云鵬

(1.北京控制工程研究所·北京·100194;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·北京·100190;3.天津市微低重力環(huán)境模擬技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·天津·300301)

0 引 言

自從1956年第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射以來(lái),全球已經(jīng)執(zhí)行過(guò)4000多次空間發(fā)射任務(wù)。這導(dǎo)致了大量的太空垃圾,包含失效衛(wèi)星、衛(wèi)星碎片、航天員丟失的設(shè)備等。對(duì)于所有的空間航天器來(lái)說(shuō),快速增長(zhǎng)的空間碎片數(shù)量,甚至?xí)?dǎo)致凱斯勒現(xiàn)象[1]。為了防止此類現(xiàn)象發(fā)生,必須采用在軌服務(wù)技術(shù)對(duì)空間垃圾進(jìn)行清理,對(duì)失效衛(wèi)星進(jìn)行修復(fù),以減小太空垃圾的危害。技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星七號(hào)(EST-VII)[2]和軌道快車(chē)等試驗(yàn)衛(wèi)星[3]的成功經(jīng)驗(yàn),進(jìn)一步證明了在軌服務(wù)的可行性。

在軌抓捕是很多在軌服務(wù)的基礎(chǔ),而空間機(jī)械臂控制是在軌抓捕的核心技術(shù)。因此本文重點(diǎn)研究了空間機(jī)械臂的控制問(wèn)題。根據(jù)服務(wù)航天器基座的控制策略,服務(wù)航天器可以工作在三種模式下:1)自由漂浮模式 (基座處于非控狀態(tài));2)自由飛行模式 (基座處于完全控制狀態(tài));3)姿態(tài)控制模式 (基座姿態(tài)處于受控狀態(tài)、位置自由移動(dòng))[4]。自由漂浮模式可以節(jié)省衛(wèi)星燃料,但是機(jī)械臂的工作空間受限;相反地,自由飛行模式具有更大的工作空間,但會(huì)消耗更多能量。對(duì)于很多在軌抓捕任務(wù),服務(wù)航天器需要實(shí)時(shí)調(diào)整基座位姿,以保持和目

標(biāo)航天器較為穩(wěn)定的相對(duì)位姿。本文主要研究在自由飛行模式下的服務(wù)航天器的控制。

在實(shí)際應(yīng)用中,空間服務(wù)航天器控制面對(duì)的一個(gè)重要問(wèn)題是其參數(shù)的未知。由于自適應(yīng)控制方法具有處理參數(shù)未知的能力,因此目前已經(jīng)有大量的自適應(yīng)控制方法,例如機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)等價(jià)法[5]、增廣規(guī)范型法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7-8]、綜合自適應(yīng)方法[9]等。這些方法的一大劣勢(shì)是計(jì)算效率較低,很大程度上限制了其實(shí)際應(yīng)用范圍。為了提高計(jì)算效率,文獻(xiàn)[10]為自由漂浮機(jī)械臂,提出了一種遞歸自適應(yīng)控制方法。本文旨在為裝有多個(gè)機(jī)械臂的空間機(jī)器人提供一種遞歸自適應(yīng)控制方法。本文結(jié)合直接路徑法和空間向量,建立了裝有多空間機(jī)械臂的空間服務(wù)機(jī)器人的牛頓-歐拉遞歸動(dòng)力學(xué)模型。文中,假設(shè)空間服務(wù)機(jī)器人的精確模型參數(shù)未知(質(zhì)量、慣量、質(zhì)心等),提出了一種自適應(yīng)控制器,并證明了采用該控制器時(shí)空間服務(wù)航天器可以跟蹤其理想軌跡。為便于編程實(shí)現(xiàn),受文獻(xiàn) [10]啟發(fā),給出了控制器的遞歸形式。最后文中對(duì)一個(gè)裝有2個(gè)機(jī)械臂的空間服務(wù)航天器進(jìn)行了仿真試驗(yàn),證明了控制器的正確性和有效性。

記號(hào):1n=(1,…,1)∈Rn,0n=(0,…,0)∈Rn,E n表示n×n單位矩陣;0m×n∈Rm×n表示m×n零矩陣。

對(duì)于一個(gè)三維向量v=(v1,v2,v3)T,叉乘計(jì)算符×定義為

對(duì)于2個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系F A和F B,將三維向量從F A旋轉(zhuǎn)到F B的旋轉(zhuǎn)矩陣記為B R A;對(duì)于空間向量從F A轉(zhuǎn)移到F B的位移轉(zhuǎn)移矩陣記為

其中,r是從F A的原點(diǎn)指向F B原點(diǎn)的位置向量。對(duì)應(yīng)的力轉(zhuǎn)移矩陣為

1 問(wèn)題描述及公式化

1.1 問(wèn)題描述

考慮如圖1所示的在軌服務(wù)場(chǎng)景:一個(gè)裝有機(jī)械臂的服務(wù)航天器抓捕一個(gè)非合作目標(biāo)航天器,例如失效衛(wèi)星、航天器碎片等。服務(wù)航天器裝有機(jī)械臂是一個(gè)空間服務(wù)機(jī)器人,可以對(duì)目標(biāo)航天器實(shí)施抓捕。服務(wù)航天器基座裝有相對(duì)位姿測(cè)量敏感器,可以測(cè)量服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器之間的相對(duì)位姿。機(jī)械臂末端裝有手眼相機(jī)可以測(cè)量機(jī)械臂末端與抓捕點(diǎn)之間的相對(duì)位姿。

圖1 服務(wù)航天器在軌服務(wù)

整個(gè)抓捕任務(wù)可以分為4個(gè)階段[11]:1)接近段;2)機(jī)械臂接近段;3)抓捕段;4)抓捕后段。本文主要關(guān)注第二階段,此階段的控制目標(biāo)為使機(jī)械臂末端與抓捕點(diǎn)相對(duì)位姿減少到零。這個(gè)控制目標(biāo)可以由以下三步實(shí)現(xiàn):1)為機(jī)械臂末端設(shè)計(jì)理想軌跡 (位置和姿態(tài));2)根據(jù)機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算出機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的理想軌跡,以及基座位姿的理想軌跡;3)設(shè)計(jì)航天器控制器,使基座和機(jī)械臂分別跟蹤其理想軌跡。因此本文研究的問(wèn)題本質(zhì)上就轉(zhuǎn)換為跟蹤控制問(wèn)題。上述第二步中的理想關(guān)節(jié)軌跡,可以通過(guò)采用阻尼最小二乘法[12]、CCD(cyclic coordinate decent,循環(huán)坐標(biāo)下降法法)[13-14]等逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法得到,由于不是本文的研究重點(diǎn),這里不再做詳細(xì)介紹。

服務(wù)航天器有三種工作模式:自由漂浮模式、基座姿態(tài)受控模式和自由飛行模式。自由漂浮模式是指在抓捕過(guò)程中,只控制機(jī)械臂,而服務(wù)航天器基座處于非控狀態(tài);基座姿態(tài)受控模式是指只控制基座姿態(tài),對(duì)其位置不予控制;自由飛行模式是指同時(shí)控制基座和機(jī)械臂。顯然自由飛行模式具有更大的工作空間,因此本文只討論自由飛行模式下的服務(wù)航天器控制。

1.2 問(wèn)題公式化

假設(shè)服務(wù)航天器裝有N個(gè)鏈?zhǔn)綑C(jī)械臂,第n個(gè)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)數(shù)為L(zhǎng) n,那么服務(wù)航天器的總自由度為(包含基座的6個(gè)自由度)。

第n個(gè)機(jī)械臂的第i個(gè)關(guān)節(jié)記為關(guān)節(jié)n i,其關(guān)節(jié)角為,其理想關(guān)節(jié)角記為?；奈恢孟蛄坑洖閜 b∈R3,基座的姿態(tài)四元數(shù)為q b∈R4;基座的理想位置和理想姿態(tài)為p bd∈R3和q bd∈R4。本文的控制目標(biāo)數(shù)學(xué)描述如下

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 坐標(biāo)系

文中采用修正的Denavit-Hartenberg參數(shù)對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行建模[15]。如圖2所示,每個(gè)連桿都固連一個(gè)由連桿次序命名的坐標(biāo)系,例如坐標(biāo)系F ni固連在連桿n i上。坐標(biāo)系F ni的x、y和z軸分別記為x ni、y ni和z ni。坐標(biāo)系F ni由以下4條原則確定:

圖2 空間機(jī)械臂坐標(biāo)系

1)原點(diǎn)O ni在關(guān)節(jié)n i的中軸線和關(guān)節(jié)n i+1的中軸線的公垂線與關(guān)節(jié)n i的中軸線的交點(diǎn)處;

2)坐標(biāo)系z(mì) ni與關(guān)節(jié)n i軸線方向相同;

3)坐標(biāo)系x ni沿著關(guān)節(jié)n i的中軸線和關(guān)節(jié)n i+1的中軸線的公垂線指向關(guān)節(jié)n i+1;

4)坐標(biāo)系y ni由右手定則確定。

圖2中,αn i為關(guān)節(jié)n i的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,θni為關(guān)節(jié)n i的關(guān)節(jié)角。那么由坐標(biāo)系F n i到坐標(biāo)系F n i+1的旋轉(zhuǎn)矩陣為

2.2 空間向量

空間向量為研究空間剛體動(dòng)力學(xué)提供一種簡(jiǎn)單有效的工具,本節(jié)將簡(jiǎn)要介紹一下空間向量,更多知識(shí)請(qǐng)參考文獻(xiàn) [16]。一個(gè)剛體的空間速度定義為

其中,v∈R3和ω∈R3分別為線速度和角速度。對(duì)于連桿n i在點(diǎn)O ni的空間速度為

對(duì)應(yīng)的空間加速度為

作用在剛體上空間力定義為

其中,f∈R3和m∈R3分別為作用在剛體上的力和力矩。連桿n i的受力分析如圖3所示,其中f ni和m ni為連桿n i-1對(duì)連桿n i的力和力矩。那么連桿n i-1對(duì)連桿n i的空間力為

圖3 連桿受力分析

由坐標(biāo)系F ni到坐標(biāo)系F ni+1的空間轉(zhuǎn)移矩陣為

連桿n i相對(duì)于F n i的空間慣量矩陣為

其中,m ni為連桿n i的質(zhì)量。由文獻(xiàn)[10]可知慣量矩陣可以參數(shù)化為,其中P l和γnil(i=1,…,10)的定義在文獻(xiàn) [10]中給出。

2.3 動(dòng)力學(xué)模型

利用空間向量和直接路徑法,多機(jī)械臂空間機(jī)器人的遞歸動(dòng)力學(xué)可寫(xiě)為

定義如下2個(gè)廣義向量:

那么多機(jī)械臂空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)可寫(xiě)為如下的閉環(huán)形式

其中,M∈RN a×Na和C∈RNa×Na分別為慣量矩陣和科里奧利矩陣。上述閉環(huán)動(dòng)力學(xué)假設(shè)具有以下性質(zhì):

1)慣性矩陣M是對(duì)稱正定矩陣,即M＞h E N,其中h＞0。

2)M-2C是斜對(duì)稱矩陣。

3 自適應(yīng)控制器

3.1 控制器設(shè)計(jì)

首先來(lái)看空間機(jī)器人的理想軌跡。將追蹤器基座的理想位置和理想姿態(tài)記為和,理想速度和角速度記為,機(jī)械臂關(guān)節(jié)n i理想關(guān)節(jié)角記為θndi,基座的理想的空間速度記為

為機(jī)械臂n和基座設(shè)計(jì)空間參考速度如下

其中

基于上述參考速度,定義2個(gè)滑模變量如下

參考文獻(xiàn) [18-19]中提出自適應(yīng)控制,空間機(jī)械臂的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)如下

3.2 收斂分析

對(duì)于控制器,有以下定理。

定理1 如果理想軌跡及其速度和加速度都一致有界,那么采用控制器 (2)時(shí),由動(dòng)力學(xué) (1)描述的服務(wù)空間機(jī)器人可以跟蹤上理想軌跡,即

其中,n=1,2,…,N,i=1,2,…,L n。

定義一個(gè)類李雅普諾夫函數(shù)

此外可以證明s是一致有界的,從而導(dǎo)出?V是一致連的,這結(jié)合Barbalat引理就證明了,這就證明了。進(jìn)一步可以證明

4 控制器的遞歸形式

雖然控制器式 (2)在理論上可以解決相應(yīng)的追蹤問(wèn)題,但是控制中用到了極其復(fù)雜的回歸矩陣,在實(shí)際應(yīng)用中往往難以求取。為了解決這個(gè)問(wèn)題,本節(jié)給出了控制器對(duì)應(yīng)的遞歸形式如下

控制器:

其中

5 仿真算例

考慮如圖4所示的裝有2個(gè)機(jī)械臂的空間服務(wù)航天器,機(jī)械臂一有8自由度,機(jī)械臂二有6自由度。2個(gè)機(jī)械臂的參數(shù)如表1和表2所示。機(jī)械臂的理想位姿軌跡如下:

圖4 裝有2個(gè)機(jī)械臂的空間服務(wù)航天器

1)機(jī)械臂一:

理想位置

理想姿態(tài)

2)機(jī)械臂二:

理想位置

理想姿態(tài)

表1 機(jī)械臂一物理參數(shù)

表2 機(jī)械臂二物理參數(shù)

本仿真試驗(yàn)采用DLS(Damped Least Squar-es,阻尼最小二乘法)計(jì)算關(guān)節(jié)空間理想軌跡,限于篇幅這里不仔細(xì)介紹,細(xì)節(jié)請(qǐng)參考文獻(xiàn) [12]。采用控制器 (3),仿真結(jié)果如圖5～圖11所示?；蛔饲€如圖5和圖6所示,可以看出,基座的位姿可以跟蹤理想基座位姿曲線。2個(gè)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)曲線和關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線如圖7和圖8所示,可以看出,2個(gè)機(jī)械臂都可以跟蹤上理想的關(guān)節(jié)曲線。理

圖5 基座姿態(tài)歐拉角 (度)

圖6 基座位置曲線

論上只要基座和機(jī)械臂都跟蹤上了理想曲線,那么空間機(jī)械臂就可以跟蹤上理想的末端位姿曲線。圖11給出了仿真全過(guò)程概況,其中末端灰色曲線為位置理想軌跡,灰色坐標(biāo)系表示理想姿態(tài);彩色曲線軌跡表示實(shí)際軌跡,彩色坐標(biāo)系為實(shí)際姿態(tài)。末端位姿跟蹤誤差如圖9和圖10所示,可以看出,空間服務(wù)機(jī)器人可以很好地跟跟蹤理想軌跡。仿真全過(guò)程的動(dòng)畫(huà)上視頻參見(jiàn)文獻(xiàn) [20]。

圖7 機(jī)械臂關(guān)節(jié)曲線 (度)

圖8 機(jī)械臂關(guān)節(jié)跟蹤誤差 (度)

圖9 機(jī)械臂末端歐拉角 (度)誤差

圖10 機(jī)械臂末端位置跟蹤誤差

圖11 仿真全過(guò)程

6 結(jié) 論

本文研究了裝有多個(gè)機(jī)械臂的空間服務(wù)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題。提出了一種遞歸自適應(yīng)控制器,并證明了采用該控制器時(shí),空間服務(wù)航天器可以跟蹤上理想軌跡。最后給出了一個(gè)仿真算例驗(yàn)證了控制器的正確性和有效性。