薛長森，戚志東，單 梁，唐鵬亮

(南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇，南京，210094)

0 引 言

對于一些非線性、多變量、強耦合的控制對象，一般的控制方法無法滿足高性能控制的需要。研究人員引入MRAC等較為先進的控制算法，并結(jié)合模糊控制實現(xiàn)參數(shù)實時整定取得了不錯的效果[1]。隨著工程實際對控制性能要求的進一步提高，學(xué)者也嘗試將分數(shù)階微積分理論引入到MRAC控制律的設(shè)計中。文獻[2,3]在基于局部參數(shù)最優(yōu)化律(MIT)設(shè)計MRAC時，均采用對目標函數(shù)進行分數(shù)階的微分以得到分數(shù)階控制律的方法。前者還給出了具有分數(shù)階參考模型時的MRAC設(shè)計方法，仿真實例表明，具有分數(shù)階自適應(yīng)律的MRAC較整數(shù)階有明顯優(yōu)勢；后者也特別定性地分析了參數(shù)選定與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，但這種方法沒有從根本上解決控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[4-6]在保證整個控制系統(tǒng)穩(wěn)定性方面更進一步，他們利用分數(shù)階微積分的知識推廣了Lyapunov第二法，并根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)計了分數(shù)階的自適應(yīng)控制律，這樣不僅提高了MRAC的控制性能，也保證了整體的穩(wěn)定性，但基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計的自適應(yīng)控制器優(yōu)劣取決于設(shè)計者的經(jīng)驗和技巧，且自適應(yīng)控制律往往含有誤差的積分，參數(shù)調(diào)整緩慢[7]，同樣的問題依然存在于分數(shù)階MRAC的設(shè)計中，使其在實際應(yīng)用中有相當?shù)木窒扌浴?/p>

本文以分數(shù)階微積分的性質(zhì)為基礎(chǔ)，并結(jié)合Po-pov超穩(wěn)定性理論，提出了一種新的分數(shù)階MRAC設(shè)計方法。該方法在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的同時，控制律選取靈活，設(shè)計過程規(guī)范以便于實際應(yīng)用。同時，以超聲波電機的轉(zhuǎn)速控制為仿真實例，結(jié)果表明，相比整數(shù)階MRAC，通過選取適當?shù)姆謹?shù)階積分階次，分數(shù)階MRAC可提高系統(tǒng)輸出的收斂速度，減小超調(diào)量，并表現(xiàn)出更優(yōu)的魯棒性。

1 分數(shù)階微積分及其數(shù)值解法

1.1 分數(shù)階微積分基礎(chǔ)

分數(shù)階微積分通用表達式如下[8]：

(1)

在分數(shù)階微積分理論的研究進程中，由整數(shù)階微積分直接推廣得到的分數(shù)階微積分定義，其形式有所不同[9]。其中，Riemann-Liouville(RL)定義為：若f(t)在(0,+∞)上逐段連續(xù)，并且在[0,+∞)區(qū)間上可積，對于t>0,Re(ν)>0，則：

(2)

函數(shù)f(t)的ν階RL積分，其中Γ(ν)為伽馬函數(shù)：

(3)

1.2 分數(shù)階微積分的數(shù)值算法

本文采用Oustaloup濾波器算法作為分數(shù)階微積分的數(shù)值求解方法，其實現(xiàn)方式簡單且在近似頻段內(nèi)效果良好[10]。具體實現(xiàn)過程如下：

(4)

其中，γ為任意實數(shù)。為獲得較高的近似精度，在選定的擬合頻率段(ωb,ωh)內(nèi)用一個分數(shù)階傳遞函數(shù)F(s)來近似分數(shù)階微分算子sγ，F(xiàn)(s)如下所示。

(5)

對上式進行一階泰勒公式展開，可得：

(6)

2 基于Popov超穩(wěn)定性理論的分數(shù)階MRAC設(shè)計方法

2.1 Popov超穩(wěn)定性理論

超穩(wěn)定性問題是Popov在20世紀60年代對絕對穩(wěn)定性研究過程中，作為絕對穩(wěn)定性問題的一個推廣而提出的，其理論是MRAC設(shè)計的主要理論基礎(chǔ)之一[11]。

圖1 一類非線性控制系統(tǒng)

如圖1所示的一類非線性控制系統(tǒng)，系統(tǒng)由一個前向通道和一個反饋通道組成，其前向通道是線性時不變的，而反饋通道一般是非線性時變的，系統(tǒng)描述為

(7)

式中，x∈Rn；ω,v∈Rp；A∈Rn×n；B∈Rn×p；C∈Rp×n；D∈Rp×p；f(t,τ,σ)表示σ→ω的映射，一般為一個泛函。

超穩(wěn)定性定理 針對式(7)描述的反饋系統(tǒng)，如果反饋通道滿足Popov不等式，即有

(8)

其(漸進)超穩(wěn)定的充要條件是，前向通道的傳遞函數(shù)矩陣是(嚴格)正實的[12]。

2.2 分數(shù)階MRAC設(shè)計方法

若控制系統(tǒng)的狀態(tài)可測，可利用其狀態(tài)變量來設(shè)計分數(shù)階MRAC?？紤]如下自適應(yīng)控制系統(tǒng)：

前向通道線性變換量：v=De；

自適應(yīng)控制參數(shù)：

分數(shù)階MRAC系統(tǒng)的設(shè)計目標為：尋找D、Φ1(v,t,τ)、Φ2(v,t)、Ψ1(v,t,τ)、Ψ2(v,t)，使得對于任意初始條件(As(0)，Bs(0))、任意初始系統(tǒng)參數(shù)(xm(0)，xp(0))和分段連續(xù)的輸入量r，自適應(yīng)控制系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，并且自適應(yīng)參數(shù)是收斂的[13]。

圖2 等價反饋系統(tǒng)

基于狀態(tài)變量的分數(shù)階MRAC設(shè)計過程如下：

a) 將原系統(tǒng)描述為一個如圖2的等價反饋系統(tǒng)。

其中，前向方框為：

(9)

反饋方框為：

(10)

b) 決定可調(diào)參數(shù)Φ1(v,t)、Φ2(v,t)、Ψ1(v,t)、Ψ2(v,t)，使反饋通道滿足Popov不等式，即：

(11)

結(jié)合式(10)可得：

η(0,t1)=

(12)

其中，A0=As(0)-Am，B0=Bs(0)-Bm，α1<0，α2<0?？傻茫?/p>

(13)

若取Φ1(v,t,τ)=KA(t-τ)v(τ)xT(τ)，則

ηΦ1(0,t1)=

(14)

(15)

證明 根據(jù)Riemann-Liouville(R-L)定義，分數(shù)階積分可表示為

(16)

式(16)中

(17)

運用上述性質(zhì)，在可調(diào)參數(shù)選取方案不變的情況下，只是將整數(shù)階積分全部替換為分數(shù)階積分，容易得出：

(18)

同理可得：

(19)

c) 決定前向方框中D，使得等效反饋系統(tǒng)滿足Popov超穩(wěn)定定理。

為滿足前向通道正實性的要求，可取D=P>0使得：

(20)

當參考模型是漸近穩(wěn)定時，式(20)有唯一解。

3 仿真實例

以文獻[14]中建立的ShinseiUSR60型兩相行波超聲波電機的階躍響應(yīng)模型為例。

(s2+632.6935002s+α0)n=βNref

(21)

式中，α0，β為電機運行時受自身或外界干擾時變的參數(shù)。

期望的性能指標為：在階躍信號作用下，電機的轉(zhuǎn)速響應(yīng)時間在0.3秒內(nèi)且無超調(diào)，故將參考模型[15]設(shè)置為：

(s2+632.6935002s+25000)n=25000Nref

(22)

根據(jù)分數(shù)階MRAC的設(shè)計方法，將α0，β作為控制律中的可調(diào)因子，可得：

(23)

a) 啟動階段

圖3 不同階次控制律作用下的電機階躍響應(yīng)

圖4 不同階次控制律作用下的電機階躍響應(yīng)差值

在電機啟動階段，設(shè)置目標轉(zhuǎn)速為100 r/s的階躍信號，圖3、圖4分別為不同階次控制律作用下的電機階躍響應(yīng)曲線以及它們與參考模型的響應(yīng)誤差。從圖3中可以看出，理想?yún)⒖寄Ｐ偷碾A躍響應(yīng)在0.15 s達到穩(wěn)態(tài)值100 r/s，傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC可使電機轉(zhuǎn)速在0.25 s達到穩(wěn)態(tài)，圖4顯示其在0.25～0.3 s內(nèi)有2 r/s的穩(wěn)態(tài)誤差。本文所設(shè)計的分數(shù)階MRAC，引入了可調(diào)因子——分數(shù)階積分階次α，從上面兩圖可以看出，當α減小到0.1時，穩(wěn)定時間約為0.15 s，且無明顯穩(wěn)態(tài)誤差。在其他因素一定的情況下，相比傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC，通過降低積分階次可加快電機轉(zhuǎn)速的收斂速度，同時減小穩(wěn)態(tài)誤差。

b) 負載突變階段

圖5 負載變化時的電機響應(yīng)情況

負載突變可以更好地測試所設(shè)計的分數(shù)階控制策略的抗干擾能力，因此在1 s和1.1 s模擬電機負載突變的情況，在原階躍響應(yīng)的基礎(chǔ)上分別給予±5 r/s 的轉(zhuǎn)速突變。如圖5所示，由于整數(shù)階MRAC和α=0.5時的分數(shù)階MRAC在之前時刻與參考模型的輸出存在明顯誤差，但設(shè)計方法決定了隨著時間的積累，誤差終要歸零，這就使得在1～1.2 s內(nèi)，它們的響應(yīng)誤差曲線整體漸近于零，并且出現(xiàn)轉(zhuǎn)速突變大于5 r/s現(xiàn)象。同時，隨著積分階次的下降，電機的轉(zhuǎn)速能更加快速的穩(wěn)定在期望的目標，表現(xiàn)出更加良好的魯棒性。

4 結(jié)束語

本文基于Popov超穩(wěn)定性理論和分數(shù)階知識，提出了一種分數(shù)階MRAC的設(shè)計方法，從設(shè)計過程來看，該分數(shù)階MRAC在滿足整體系統(tǒng)(漸近)超穩(wěn)定的同時，設(shè)計流程更加規(guī)范以便于工程時間人員的掌握，控制策略的選擇也更加靈活，相比基于MIT法和Lyapunov第二法的分數(shù)階MRAC設(shè)計具有明顯優(yōu)勢；另一方面，分數(shù)階MRAC相對于傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC，每一個可調(diào)參數(shù)都引入了可調(diào)因子——分數(shù)階積分階次，通過兩相行波超聲波電機的仿真實例可以看出，通過降低分數(shù)階積分階次，可以提高控制對象的響應(yīng)速度，降低穩(wěn)態(tài)誤差并提高系統(tǒng)的魯棒性，與整數(shù)階MRAC相比優(yōu)勢明顯。

[1] 李曉慶,高春能,紀志成. 基于MRFAC的感應(yīng)電機控制器設(shè)計[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2005 (S1): 91-95.

Li Xiaoqing, Gao Chunneng, Ji Zhicheng. Design of Speed Controller of Induction Motor Based on MRFAC [J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2005 (S1): 91-95.

[2] Vinagre B M, Petrá? I, Podlubny I, et al. Using Fractional Order Adjustment Rules and Fractional Order Reference Models in Model-Reference Adaptive Control [J]. Nonlinear Dynamics, 2002, 29(1): 269-279.

[3] 陳寧,陳南,王乃洲.基于分數(shù)階參考模型的車輛懸架自適應(yīng)控制[J].南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版, 2009, 33(3): 116-120.

Chen Ning, Chen Nan, Wang Naizhou. Adaptive Control of Vehicle Suspension using Fractional Order Reference Models [J].Natural Science Journal of Nanjing Forestry University, 2009, 33 (3):116-120.

[4] Takamatsu T, Ohmori H. Design of Model Reference Adaptive Control Systems with Fractional Order Adaptive Law and Its Lyapunov Stability [A]. Chinese Control Conference[C]. Piscataway, NJ: IEEE, 2014: 8853-8858.

[5] 白珍龍.分數(shù)階模型參考自適應(yīng)控制的研究及其在重堿煅燒中的應(yīng)用[D].山東: 青島科技大學(xué), 2008.

Bai Zhenlong.Research on Fractional Order Model Reference Adaptive Control Systems and Its application To Heave Soda Steam Calcaneal on Process [D]. Shandong: Qingdao University of Science & Technology, 2008.

[6] 劉思銘. 分數(shù)階模型參考自適應(yīng)控制研究[D].黑龍江:黑龍江大學(xué),2012.

Liu Siming. Fractional Model Reference Adaptive Control [D]. Heilongjiang: Heilongjiang University, 2012.

[7] 韓正之，陳彭年，陳樹中.自適應(yīng)控制[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011:37-40.

Han Zhengzhi, Chen Pengnian, Chen Shuzhong.Adaptive Control [M]. Beijing: Tsinghua University press, 2011:37-40.

[8] 李遠祿. 分數(shù)階微積分濾波原理、應(yīng)用及分數(shù)階系統(tǒng)辨識[D].南京航空航天大學(xué),2007.

Li Yuanlu.Principle and Application of Fractional Calculus Filter and Fractional Order System Identification [D]. Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2007.

[9] 薛定宇,陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2013:437-440.

Xue Dingyu,Chen Yangquan. The MATLAB solution of higher applied mathematics [M]. Beijing: Tsinghua University press, 2013:437-440.

[10] 白珍龍. 分數(shù)階模型參考自適應(yīng)控制的Matlab設(shè)計[J].工業(yè)儀表與自動化裝置,2016(1):30-34.

Bai Zhenlong. Design of Fractional Order Model Reference Adaptive Control by Matlab [J].Industrial Instrumentation and Automation, 2016 (1): 30-34.

[11] 柴天佑,岳恒. 自適應(yīng)控制[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2016: 150.

Tianyou Chai, Yue Heng.Adaptive control [M]. Beijing: Tsinghua University press, 2016:150.

[12] 劉小河,管萍,劉麗華.自適應(yīng)控制理論及應(yīng)用[M].北京: 科學(xué)出版社,2011:9-13.

Liu Xiaohe, Guan Ping, Liu Lihua.Adaptive Control Theory and Application [M]. Beijing: Science Press, 2011:9-13.

[13] 徐國凱,趙秀春,宋鵬.一種簡化的多變量MRAC系統(tǒng)設(shè)計[J].大連民族學(xué)院學(xué)報,2006,8(3):1-4.

Xu Guokai, Zhao Xiuchun, Song Peng. A Simplified Multivariable MRAC System Design [J].Journal of Dalian Nationalities University, 2006,8 (3): 1-4.

[14] 史敬灼.超聲波電機運動控制理論與技術(shù)[M].北京: 科學(xué)出版社, 2011:29-85.

Shi Jing.Ultrasonic Motor Motion Control Theory and Technology [M]. Beijing: Science Press, 2011:29-85.

[15] 沈曉茜. 基于波波夫超穩(wěn)定理論的超聲波電機MRAC控制研究[D]. 河南: 河南科技大學(xué), 2014.

Shen Xiaoqian.Study on MRAC Control Of Ultrasonic Motor Based On The Theory Of Super Stability [D]. Henan: Henan University of Science and Technology, 2014.