☉江蘇省淮州中學(xué) 楊 帆

筆者最近做過(guò)一道習(xí)題，然后，從審題與解法角度、數(shù)學(xué)的運(yùn)算方式與運(yùn)算技巧的角度進(jìn)行了一些深入思考，對(duì)習(xí)題做了條件拓寬、結(jié)論推廣和類比聯(lián)想，現(xiàn)分享給各位讀者，希望能對(duì)各位讀者有所啟發(fā).

一、習(xí)題及其解法

（一）習(xí)題再現(xiàn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

圖1

（二）分析與解

由P的橫坐標(biāo)可得P的坐標(biāo)，帶入橢圓方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0得到a，b關(guān)系，進(jìn)一步求得a，b的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求.下面著重分析問(wèn)題（2）.

分析1：設(shè)直線AB方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求得k，m的關(guān)系，求出原點(diǎn)O到直線AB的距離，把△AOB的面積化為含有k的函數(shù)，然后利用換元法求得最值.

解法1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，聯(lián)立（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-3）=0.

綜合上述，△AOB的面積的最大值為3.

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）小問(wèn)的解法思路比較直觀，體現(xiàn)函數(shù)思想.但是計(jì)算特別煩瑣，尤其換元更不容易想到，一般難以完成.

分析2：此題第（2）問(wèn)是求最值類的問(wèn)題，而求最值類的問(wèn)題有時(shí)便捷的方法是利用基本不等式求解.

解法2：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，

又Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-3）=16（12k2+3-m2）＞0，得m2＜12k2+3.

綜合上述，△AOB的面積的最大值為3.

分析3：處理解析幾何計(jì)算時(shí)，可以采用“設(shè)而不求”法，為了簡(jiǎn)便計(jì)算，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式.解題過(guò)程如下：

解法3：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線OB：x2y-y2x=0，

二、解后反思

思考（一） 解法與審題思考

題目怎么做，用什么方法做？關(guān)鍵取決于如何審題，從什么角度審題，將問(wèn)題歸結(jié)為什么題型，進(jìn)而選擇不同的解題方法.審題的角度很多，但是最常見審題角度之一就是從題目的問(wèn)分析，將問(wèn)題歸類，也會(huì)從所考查的知識(shí)角度分析，將問(wèn)題歸類.每一類題型可能還有多種方法，可以結(jié)合每個(gè)具體題目條件的特殊性而選擇不同的解法解題.

這個(gè)題目的第（2）問(wèn)，解法1就是從問(wèn)的角度審題是求最值類問(wèn)題，而求最值類問(wèn)題最常用的方法是函數(shù)法.解法2又注意到求最值有一種比較重要簡(jiǎn)潔的方法是基本不等式法，進(jìn)而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.從所考查的知識(shí)角度分析看這個(gè)題目研究的是直線與圓錐曲線問(wèn)題，處理這類問(wèn)題常見有“Δ”法和“設(shè)而不求”兩種方法，解法1和解法2是用“Δ”法，解法3是用“設(shè)而不求”法.

思考（二） 把題干條件適當(dāng)放寬，結(jié)論仍然成立

由思考（二）知，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，△AOB面積取最大值時(shí)，

思考（三） 把問(wèn)題推廣為一般形式

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，

得（b2+a2k2）x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0，

Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（m2a2-a2b2）=4a2b（2k2a2+b2-m2）.

當(dāng)m2=b2+a2k2-m2，即m2=時(shí)，等號(hào)成立.

命題1：點(diǎn)A、B為橢圓C：=1（a＞b＞0）上兩動(dòng)

命題2：四邊形ABCD為橢圓C：內(nèi)接平行四邊形，則平行四邊形ABCD面積的最大值為2ab（.仿照思考二或思考四可以證明）

證明：設(shè)A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），仿解法3知，△AOB的面積時(shí)，△AOB的面積的最大值此時(shí)A、B兩點(diǎn)的離心

又平行四邊形ABCD的面積S=4S△OAB，所以平行四邊形ABCD的面積的最大值為2ab.

思考（五） 對(duì)問(wèn)題的變式思考

圖2

（2）當(dāng)c

思考（六） 對(duì)上述結(jié)論類比聯(lián)想

將上面橢圓問(wèn)題改為圓，則有下面的結(jié)論：

1.若長(zhǎng)度為（tt∈（0，2R））的線段AB是半徑為R的圓O上兩點(diǎn)，則△AOB的面積S為定值

2.點(diǎn)A、B是半徑為R的圓O上兩動(dòng)點(diǎn)，則△AOB的面積S的最大值為（此時(shí)，△AOB為等腰直角三角形）.

3.若ABCD半徑為R的圓O的內(nèi)接四邊形，則四邊形ABCD的面積的最大值為R（2此時(shí)，矩形ABCD為正方形）.

高中數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算能力要求很高，不僅是解析幾何問(wèn)題，如果能注意審題，選擇合適運(yùn)算方式與運(yùn)算技巧可能會(huì)減少計(jì)算量.當(dāng)然也要學(xué)會(huì)對(duì)遇到的問(wèn)題作深入思考和類比推廣聯(lián)想，這樣，不僅可以加深對(duì)所學(xué)習(xí)的知識(shí)理解與掌握，更能提升思維訓(xùn)練的深度和廣度，培養(yǎng)創(chuàng)新性的思維.J