☉陜西省西安市華山中學(xué) 張永全

眾所周知，課程改革已歷經(jīng)數(shù)輪，但是課堂教學(xué)的效果卻并沒有顯著提升.這種教學(xué)理念和教學(xué)實踐的相差是有一定的原因的.從應(yīng)試的層面來說，大量的題型教學(xué)占用了教學(xué)時間，缺乏思考的教學(xué)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)教學(xué)總是循環(huán)在“趕時間”的過程中；從知識的理解層面來說，灌輸式教學(xué)依舊在課堂教學(xué)中是主體的情形下，很多學(xué)生對于自己為什么錯一知半解，造成其聽懂教師的講解，而后續(xù)依舊在錯誤的道路上愈走愈遠(yuǎn).要解決這樣的懂而不會，我們的課堂教學(xué)要做如何的轉(zhuǎn)變呢？

第一，首先是理念的轉(zhuǎn)變，要研究教學(xué)導(dǎo)向和考試大綱，教學(xué)陷入無窮無盡的題海恰恰是教師對考試方向迷茫的一種表現(xiàn)；第二，要轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)理念，教師滿堂灌的效果其實是低下的，大量心理學(xué)研究表明，學(xué)生在四十五分鐘的課堂教學(xué)中注意力集中階段不過二十五分鐘，因此滿堂灌的教學(xué)早已經(jīng)不適合當(dāng)下教學(xué)，亟需教師想方設(shè)法改變課堂教學(xué).

一、從討論中解決錯誤

學(xué)生懂而不會是高中數(shù)學(xué)一個非常普遍的現(xiàn)象，不少文獻(xiàn)資料都有大量的研究.但是從根本上來說，這些研究并沒有解決最核心的問題，學(xué)生懂而不會如何去解決？其實是一個很簡單的道理：學(xué)生沒有從自身的錯誤中獲取錯誤的原因，因此也沒有能夠接受更好的解題方法帶來的新視角，或者換一個角度說，學(xué)生頭腦中的直覺思維影響著其解題的基本步驟和途徑，如何扭轉(zhuǎn)這種下意識的的操作，正是需要從這種下意識的操作中去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而從內(nèi)心深處獲得新方法的重要性認(rèn)知才是關(guān)鍵.

例1已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

（1）+（2），得0≤2a≤4，即0≤4a≤8.

（2）×（-1），得-1≤c-a≤1. （3）

（1）+（3），得0≤2c≤4，故而代入f（2）=4a+2c，得0≤f（2）≤12.

分析：上述的錯解是初學(xué)者易出錯的主要方法，不少學(xué)生在糊里糊涂中被告知不能使用這樣的方式求解，但是后續(xù)遇到類似的問題其依舊使用這樣的方法，錯誤依舊不斷.主要原因是：第一，學(xué)生沒有從錯誤中獲得錯誤的原因所在，這導(dǎo)致其腦海中遇到類似問題依舊是下意識的錯誤處理；第二，沒有足夠的理解自然沒有足夠的思考，沒有足夠的思考是因為教學(xué)是灌輸式的，若以討論為手段，自然能讓更多的學(xué)生理解錯誤所在，從而解決更多學(xué)生不犯類似的錯誤.

師：錯誤的原因在哪里？請同學(xué)們想一想.

生1：我反過來進(jìn)行了檢驗，發(fā)現(xiàn)還真的是不對的，0≤4a≤8以及0≤2c≤4，可得f（2）=4a+2c的范圍是0≤f（2）≤12，但是a和c同時取零顯然不滿足題意，a和c同時取2也顯然不滿足題意，從結(jié)果上來說已經(jīng)有錯誤了，但這個錯解的過程我還沒有發(fā)現(xiàn)為什么有問題.

師：很好，問題的原因是什么？

生2：應(yīng)該是不等價的轉(zhuǎn)化！

師：請詳細(xì)說明.

生2：這個問題讓我想起了函數(shù)與方程中的一個問題，我們知道兩根都大于0的充要條件，即兩根都大于1的充要條件，并不是，舉個特例，很1顯然滿足不等式組根并非都大于1！

師：例子舉得非常到位，這說明什么？

生3：這說明只有是等價的變化才是恰當(dāng)?shù)模糯蟮淖兓匀徊豢赡軐?yīng)正確的解集.

師：請給出合理的正解.

生4：f（2）=4a+2c=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.

師：為什么這樣的解答就行得通呢？

生4：因為避開了單個量a和c的求解，就不存在將變量范圍私自擴(kuò)大的可能性，以整體性介入，避免了單量的錯誤，從而正確解決問題.

生5：這樣的描述顯得比較抽象，我認(rèn)為可以從圖形的角度來進(jìn)一步幫助理解：不等式組的可行域如圖1所示，不等式組，的可行域如圖2所示.錯解就是用到的是圖2，而變量的范圍是相互約束的，其本質(zhì)是圖1.

圖1

圖2

師：最后一位同學(xué)闡述的理由最清晰，讓人信服.從圖形的角度直觀地讓大家感受了錯誤的主要因素，即兩個變量之間是有相互制約的，切勿割裂變量來求單個變量的范圍，從而導(dǎo)致解的范圍的擴(kuò)大.大家通過積極的討論、深入的思考，相信以后不會再犯類似的錯誤.

二、從討論中尋求多解

數(shù)學(xué)問題解決能力的提高自然不是一朝一夕的，是從不斷的解題中去提升的，若是單一的思考，這種解題的思維是無法發(fā)散性地培養(yǎng)的.往往在教學(xué)中，一題多解是必不可少的提煉.筆者以為，課堂教學(xué)中對多解性問題的討論，而且是學(xué)生思維的多解，結(jié)合教師指導(dǎo)的多解，在相互探討中勢必能激發(fā)學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，而且教師在此過程中，不宜表現(xiàn)得過于“聰明”，相反適可而止、鼓勵學(xué)生討論才是課堂教學(xué)的主旋律.

例2 若實數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為______.

分析1：分類討論視角.

師：目標(biāo)函數(shù)x2+y2≤1是什么樣的區(qū)域？

生1：顯然是單位圓及其內(nèi)部.

師：目標(biāo)函數(shù)z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何思考？

生2：需要分類討論.當(dāng)x2+y2≤1時，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，可以按2x+y-2＞0與2x+y-2≤0，把問題轉(zhuǎn)化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如圖3，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

圖3

（1）當(dāng)2x+y-2＞0時，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4在陰影區(qū)域及其邊界的最小值，由線性規(guī)劃知識可求得F＞3.

（2）當(dāng)2x+y-2≤0時，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=-3x-4y+8在直線l下方與單位圓面所圍區(qū)域（包括邊界）的最小值，由線性規(guī)劃知識可求得F在點A時取得最小值3.

師：不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x2+y2≤1時，|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，只需按照2x+y-2＞0與2x+y-2≤0分類即可.這是大家擅長的方式，但是對于小題而言稍顯煩瑣，再思考其他可行的方式.提示一下，目標(biāo)函數(shù)z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何用幾何意義思量？

師：那我們可以從解析幾何的視角，用幾何的方式尋求思路.

生4：如圖4，直線l1、l2的斜率分別為兩直線間的夾角記為θ，則.令點P（x，y）是x2+y2≤1所表示區(qū)域上的一點，PN⊥l1，

圖4

說明：試題的解決不僅僅限于常規(guī)思路，分類討論的確是不錯，但是幾何的方式也是獨樹一幟有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性，課堂討論匯總學(xué)生還給出了不少其他的思路，限于篇幅筆者不能一一展開贅述，有興趣的讀者可以嘗試三角不等式等方式.

課堂教學(xué)最好的方式始終是以生為本的設(shè)計和嘗試，今天的課堂教學(xué)在解題方法和試題訓(xùn)練上做足了文章，缺乏對學(xué)生思維的關(guān)愛和錯誤的考量，這種方式亟需改善，否則再多的教學(xué)時間也不能換來高效的教學(xué)效率，“講不如做、做更要思、思還需論”，可見討論在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中重要性，其關(guān)注了學(xué)習(xí)為何犯錯的因素，也提高了學(xué)習(xí)時間的注意力，是有效的手段.

參考文獻(xiàn)：

1.石志群.高考數(shù)學(xué)命題思路分析及復(fù)習(xí)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（11）.

2.渠東劍.探究方法比探究結(jié)果更重要［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2013（4）.

3.沈恒.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月考，2014（5）.

4.熊小平.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論與教學(xué)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（5）.J