☉甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

新課標修訂組認為：數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質與關鍵能力.高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.在數(shù)學課堂教學中，落實學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是每位教師都必須面對的問題.筆者以“定積分在幾何中的應用”的教學為依托，談一下如何在課堂教學中落實核心素養(yǎng).

一、教學設計意圖

定積分在幾何中的應用是高中數(shù)學教材中的典型內容，涉及數(shù)學抽象、類比、數(shù)學運算、數(shù)形結合等重要的數(shù)學思想，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的好契機.

（一）教材分析和學情分析

定積分在幾何中的應用出現(xiàn)在人教A版選修2-2教材第一章導數(shù)及其應用的第七節(jié)定積分的簡單應用.在前面幾節(jié)學生認識了導數(shù)與積分的概念、計算、幾何意義的基礎上，本節(jié)課學習的內容就是掌握用定積分計算圖形的面積.

（二）教學任務

本節(jié)課的核心教學任務是引導學生根據(jù)圖形抽象出利用定積分求平面圖形面積的幾種類型，再利用這些知識來解決相應的題目.

教學目標：（1）應用定積分解決平面圖形的面積問題.

（2）能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法，強化數(shù)形結合和化歸思想的思維意識.

（3）培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)學生勇于探索和實踐的精神.

教學重點：應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體驗定積分的價值.

教學難點：如何恰當選擇積分變量和確定被積函數(shù).

二、教學過程設計

（一）新課引入

問題1：（1）定積分的幾何意義是什么？（2）微積分基本定理的內容是什么？

（2）微積分基本定理：如果（f x）是區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，且F（′x）=（fx），那么學生活動：依次提問兩名學生.

設計意圖：定積分的幾何意義和微積分基本定理是本節(jié)課學習的基礎.

（二）探究新知：利用定積分求平面圖形的面積

問題2：觀察下列幾種平面圖形，它們的面積和定積分有什么關系？由此，你能得到求平面圖形面積的一般方法嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

新知1：幾種典型的平面圖形的面積的計算.

（1）由一條曲線y=f（x）和直線x=a，x=b（a＜b）及y=0圍成的平面圖形的面積S.

（2）由兩條曲線y=f（x）與y=g（x），直線x=a，x=b（a＜b）圍成的平面圖形的面積S.

學生活動：先后提問5名學生.

設計意圖：引導學生從以上五個平面圖形中抽象出數(shù)學式子，從圖形與圖形的關系中抽象出數(shù)學公式，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).同時，五個圖形，對應求平面圖形面積的五種常見題型，屬于將數(shù)學問題建立模型，求解結論，以期最終解決更廣泛的問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模的數(shù)學核心素養(yǎng).

圖6

（三）典型例題

例1 計算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的面積.

解：略.

師生活動：教師講解并板書演示.

設計意圖：從上述題目所給的圖形可以看出，所求平面圖形的面積可以轉化為兩個曲邊梯形面積的差，體現(xiàn)了化歸與轉化思想.學好數(shù)學離不開解題，利用前面建立的模型，解決求平面圖形面積的具體問題，提升了學生的數(shù)學應用能力.在計算題目的過程中，培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算能力，體現(xiàn)了數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).

問題3：利用定積分求曲線所圍成平面圖形的面積的步驟有哪些？

新知2：（1）作出示意圖（弄清相對位置關系）；（2）求交點坐標（確定積分的上限和下限）；

（3）確定積分變量及被積函數(shù)；

（4）列式求解.

設計意圖：羅增儒說：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”在數(shù)學例習題教學中，不能停留在解出題目上，解題后應該多反思，多總結解題方法和解題步驟.以上例1教學之后，對這類題目適時地進行了解題步驟的總結，以期達到“解一題，通一類，會一片”的教學效果.

解：略.

師生活動：教師講解

問題4：本題還有其他解法嗎？如果有，請寫出你的解法，并比較一下這些解法.

師生活動：教師講思路，叫兩位學生上黑板板書演示解答過程.

思路一：將所求平面圖形的面積看成一個曲邊梯形與一個三角形的面積之差.

圖7

設計意圖：本例運用了三種解法，拓寬了學生的數(shù)學視野，體現(xiàn)出了一題多解的數(shù)學思想.特別是解法二中類比以x為積分變量的定積分的幾何意義，運用了以y為積分變量的定積分的幾何意義解題，體現(xiàn)出了類比推理的思想，體現(xiàn)出了邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).

（四）課堂練習

練習 求下列曲線所圍成的圖形的面積：

（1）y=x2，y=2x+3；（2）y=ex，y=e，x=0.

學生活動：兩位同學分別板書演示練習（1）、（2）.

設計意圖：通過做練習，便于學生掌握利用定積分求曲線所圍成平面圖形的面積的步驟，訓練規(guī)范化解題，發(fā)現(xiàn)學生學習中存在計算結果錯誤的問題.

（五）課堂小結

本節(jié)課我們主要學習了什么？

學生活動：先個別學生做小結，然后師生一起總結.

本節(jié)課主要學習了：

（1）求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟；

（2）思想方法：數(shù)形結合和化歸與轉化的思想.

（六）布置作業(yè)（略）

三、教學反思

（1）本例教學中，關注了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).本節(jié)課的教學立足于核心素養(yǎng)理念指引下，思考如何以知識教學、方法教學為載體，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)添磚加瓦.

（2）數(shù)學家希爾伯特說：“數(shù)學問題是數(shù)學的靈魂.”本例教學中設計了多個問題，有利于在課堂教學中激發(fā)學生的問題意識，體現(xiàn)出問題驅動教學的原則，同時也注重了數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程.

（3）通過課堂練習，發(fā)現(xiàn)了學生的數(shù)學運算能力欠缺.暴露出部分學生在平時的學習中養(yǎng)成連基本的加減法都用計算器算，而運用計算器代替筆算，不利于學生對算理的理解.這造成了在考試答卷中反映出的問題之一是考生運算能力差，是最頭疼的事，有的同學想的很好，但運算過不了關，一道長題一開始就錯，而自己沒有自查能力，一直錯到底，多么可怕呀.高考閱卷規(guī)則要求從錯誤解答考試以后的分值不能超過對應分數(shù)的一半，而出錯的原因往往很簡單，就是諸如一個負號的問題，太可惜.筆者認為數(shù)學運算能力的培養(yǎng)不僅僅是高三復習的事，應該貫穿于高中數(shù)學教學的始終.在高中數(shù)學定積分的教學中，要著力以定積分在幾何中的應用為載體，培養(yǎng)學生的運算求解能力.

（4）在例2的教學中，打破了畫地為牢，運用了三種不同的解法解答.本例教學中，重視了多解思維的訓練，引導學生從多角度分析問題，探究多解的過程，溝通了知識之間的聯(lián)系，形成了廣闊的審題視角，既能從縱向上追溯教材知識體系的認知與梳理，也能在橫向上加強知識之間的聯(lián)系，著力培養(yǎng)了學生思維的靈活性.

參考文獻：

1.人民教育出版社，課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書（A版）：數(shù)學2-2（選修）（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2006.F