高翠芳　張　朔　殷　萍　沈莞薔

(江南大學(xué)理學(xué)院，無(wú)錫，214122)

引　　言

聚類(lèi)分析是數(shù)據(jù)處理的一種重要方法與手段，傳統(tǒng)的硬聚類(lèi)算法對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)的類(lèi)別歸屬進(jìn)行嚴(yán)格的劃分，使得每個(gè)樣本點(diǎn)都具有非此即彼的性質(zhì)。由于現(xiàn)實(shí)中數(shù)據(jù)樣本的特性和類(lèi)屬總是存在一定程度的中間性，于是將模糊理論與聚類(lèi)算法相結(jié)合，出現(xiàn)了模糊聚類(lèi)算法[1-4]。模糊C均值聚類(lèi)算法(Fuzzy C-means algorithm, FCM)算法是目前研究和應(yīng)用較為廣泛的模糊聚類(lèi)算法之一[5-7]，它在目標(biāo)函數(shù)中建立對(duì)樣本類(lèi)屬的模糊描述，并采用模糊隸屬度衡量每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于不同類(lèi)別的程度。模糊協(xié)同聚類(lèi)[8-11]在算法處理獨(dú)立數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)上，建立了一種針對(duì)不同數(shù)據(jù)子集之間協(xié)同合作關(guān)系的綜合優(yōu)化模型，能用一個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)處理多個(gè)既互相聯(lián)系又各自獨(dú)立的特征子集。其聚類(lèi)思想主要是通過(guò)計(jì)算和調(diào)整各數(shù)據(jù)子集之間的隸屬度差異，實(shí)現(xiàn)各子集之間的綜合聚類(lèi)，是一種頗有應(yīng)用潛力的新算法。

但是，無(wú)論是使用整體數(shù)據(jù)集的FCM算法還是綜合使用各個(gè)數(shù)據(jù)子集的協(xié)同聚類(lèi)算法，都是用一個(gè)中心點(diǎn)代表一類(lèi)(每一維)，相比于多中心點(diǎn)的模糊聚類(lèi)算法[12]和基于中心區(qū)域的聚類(lèi)算法[13]，其單一的類(lèi)中心點(diǎn)和隸屬度分類(lèi)指標(biāo)，很難充分體現(xiàn)不同類(lèi)的結(jié)構(gòu)特征。如果各類(lèi)中數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布疏密差別較大，在邊界點(diǎn)的處理上就會(huì)存在一定的缺陷，即對(duì)于隸屬度不清晰的點(diǎn)在分類(lèi)時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏差。一些基于密度的聚類(lèi)算法[13-18]利用數(shù)據(jù)點(diǎn)的疏密信息來(lái)減少分類(lèi)錯(cuò)誤，其中基于清晰半徑的模糊點(diǎn)二次聚類(lèi)算法[13]提出了清晰半徑的概念，定義了一種基于超球體中心區(qū)域的相似性距離公式，該算法以數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的疏密程度為理論依據(jù)，對(duì)不能清晰確定類(lèi)別歸屬的模糊點(diǎn)重新計(jì)算隸屬度，使模糊點(diǎn)的類(lèi)別歸屬更加清晰，從而糾正分類(lèi)錯(cuò)誤，提高傳統(tǒng)算法的聚類(lèi)精度。為了增加模糊協(xié)同聚類(lèi)算法的適用性，特別是改善其在數(shù)據(jù)點(diǎn)分布差別較大的數(shù)據(jù)集上的聚類(lèi)效果，本文引入中心區(qū)域的清晰半徑，以協(xié)同聚類(lèi)的初始聚類(lèi)結(jié)果為基礎(chǔ)，對(duì)其中模糊點(diǎn)的隸屬度用清晰半徑進(jìn)行重新計(jì)算，從而優(yōu)化傳統(tǒng)模糊協(xié)同聚類(lèi)算法中部分模糊點(diǎn)的類(lèi)屬問(wèn)題。

1　模糊協(xié)同聚類(lèi)算法

圖1　模糊協(xié)同聚類(lèi)算法示意圖Fig.1　Scheme of the fuzzy collaborative clustering

設(shè)有p個(gè)特征子集D[1],D[2], … ,D[p](各子集中的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同),每個(gè)子集都具有獨(dú)立的分類(lèi)結(jié)構(gòu)及隸屬度矩陣U[1],U[2], … ,U[p]，各子集之間通過(guò)協(xié)同系數(shù)α[i,j](j=1, 2, …,p,i≠j)建立信息交流與合作機(jī)制，把聚類(lèi)結(jié)果綜合到某個(gè)特征子集D[i]上，最終得到全局聚類(lèi)結(jié)果。算法的結(jié)構(gòu)原理如圖1。

模糊協(xié)同聚類(lèi)算法[10]定義了一個(gè)包含協(xié)同懲罰項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)，采用統(tǒng)一優(yōu)化的方式來(lái)融合p個(gè)特征子集上的局部結(jié)果。懲罰項(xiàng)通過(guò)協(xié)同系數(shù)確定子集之間的關(guān)系強(qiáng)度(協(xié)同系數(shù)應(yīng)為非負(fù)實(shí)數(shù))，還考慮了局部結(jié)果對(duì)協(xié)同后的隸屬度矩陣和聚類(lèi)中心的影響。算法的目標(biāo)函數(shù)為

(1)

式中：xr[i]為第i個(gè)數(shù)據(jù)集上的第r個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；ukr[i]為第i個(gè)數(shù)據(jù)集上的第r個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于第k類(lèi)的隸屬度；vk[i]為第i個(gè)數(shù)據(jù)集上的第k個(gè)類(lèi)中心；α[i,j]為第i個(gè)數(shù)據(jù)集與第j個(gè)數(shù)據(jù)集的協(xié)同系數(shù)。

在循環(huán)迭代計(jì)算時(shí)，類(lèi)中心的更新公式為

(2)

隸屬度的更新公式為

(3)

式中

(4)

(5)

2　清晰半徑對(duì)模糊協(xié)同聚類(lèi)的改進(jìn)

2.1清晰半徑

圖2　模糊點(diǎn)X的類(lèi)別歸屬示意圖Fig.2　Scheme of partition of fuzzy point X

當(dāng)不同類(lèi)中數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的疏密程度差別較大時(shí)，傳統(tǒng)聚類(lèi)算法難免出現(xiàn)對(duì)邊界點(diǎn)分類(lèi)模糊甚至錯(cuò)誤的情況，因此采用新的相似性度量，對(duì)這些模糊點(diǎn)進(jìn)行二次處理，成為改善聚類(lèi)效果的一種新途徑。圖2中的部分真核細(xì)胞，就是現(xiàn)實(shí)中遇到的該類(lèi)型數(shù)據(jù)集，其中A類(lèi)表示可分泌蛋白質(zhì)，B類(lèi)表示不分泌蛋白質(zhì)，從圖2中可以看出，A類(lèi)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較為分散，B類(lèi)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布相對(duì)集中，數(shù)據(jù)點(diǎn)X表示一種可分泌蛋白質(zhì)，位于兩個(gè)模糊子集A，B的邊界上，由于X到A類(lèi)中心點(diǎn)的距離略大于X到B類(lèi)中心點(diǎn)的距離(即L1>L2)，是一個(gè)模糊點(diǎn)，若根據(jù)傳統(tǒng)聚類(lèi)算法采用一個(gè)類(lèi)中心點(diǎn)來(lái)代表一個(gè)類(lèi)，則會(huì)把X點(diǎn)歸屬于B類(lèi)，顯然不正確。

這種情況下，利用清晰點(diǎn)構(gòu)成的超球體中心區(qū)域代替?zhèn)鹘y(tǒng)的類(lèi)中心點(diǎn)，可以得到更為準(zhǔn)確的聚類(lèi)結(jié)果[13]。清晰半徑的定義為

(6)

式中：Nk為第k類(lèi)中清晰點(diǎn)的個(gè)數(shù)，dik為第k類(lèi)中第i個(gè)清晰點(diǎn)與第k類(lèi)中心的歐氏距離，用式(6)可以計(jì)算出第k類(lèi)的清晰半徑。

對(duì)于類(lèi)似于X的模糊點(diǎn)，用基于清晰半徑的中心區(qū)域來(lái)重新計(jì)算相似性距離(即X到類(lèi)中心點(diǎn)的距離與該類(lèi)清晰半徑的差)，則有dAX=L1-RA=D1，dBX=L2-RB=D2，由于新的相似性距離D1

2.2　清晰半徑對(duì)模糊協(xié)同聚類(lèi)算法的改進(jìn)

首先將協(xié)同聚類(lèi)得到的隸屬度矩陣進(jìn)行分類(lèi)，把數(shù)據(jù)點(diǎn)分為清晰點(diǎn)、模糊點(diǎn)和次清晰點(diǎn)。根據(jù)模糊劃分的隸屬度評(píng)價(jià)[19]，有意義的隸屬度取值應(yīng)大于0.5，若將隸屬度看作[0.5, 1]區(qū)間內(nèi)的平均分布，則清晰點(diǎn)應(yīng)分布在[1-δ, 1]，模糊點(diǎn)應(yīng)分布在[0.5, 0.5+δ]。δ的取值會(huì)影響清晰半徑的大小以及模糊點(diǎn)的改善效果，取值過(guò)小時(shí)模糊點(diǎn)得不到改善，算法退化為基礎(chǔ)算法，取值過(guò)大則會(huì)增加計(jì)算量。在對(duì)數(shù)據(jù)集掌握部分先驗(yàn)信息的情況下，可根據(jù)數(shù)據(jù)集的實(shí)際情況確定δ的取值，清晰點(diǎn)和模糊點(diǎn)的取值范圍可以不同。

圖3　基于清晰半徑的模糊協(xié)同聚類(lèi)算法結(jié)構(gòu)Fig.3　Algorithm framework of clear radius-based fuzzy collaborative clustering

根據(jù)上述分析，本文取δ=0.15，設(shè)最大隸屬度大于0.85的點(diǎn)為清晰點(diǎn)，用于計(jì)算每一類(lèi)的清晰半徑；隸屬度小于0.65的點(diǎn)為模糊點(diǎn)，這些模糊點(diǎn)需要重新計(jì)算相似性距離和隸屬度矩陣；介于0.65～0.85之間的點(diǎn)，稱(chēng)為次清晰點(diǎn)，不做特殊處理?；谇逦霃降哪：齾f(xié)同聚類(lèi)算法框架如圖3。

綜上所述，用清晰半徑改進(jìn)的協(xié)同聚類(lèi)算法的主要步驟為：

(1) 用基于清晰半徑的FCM聚類(lèi)算法，以每個(gè)數(shù)據(jù)子集上產(chǎn)生的獨(dú)立劃分作為初始聚類(lèi)。

(2) 定義協(xié)同系數(shù)矩陣α[i,j](具體取值見(jiàn)實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析)。

(3) 按照式(2)計(jì)算協(xié)同聚類(lèi)中心vk[i],i=1, 2, …,p。

(4) 按照式(3)計(jì)算協(xié)同到第i個(gè)數(shù)據(jù)集上的新隸屬度ukr[i]。

(5) 將協(xié)同聚類(lèi)得到的隸屬度矩陣分為模糊點(diǎn)、清晰點(diǎn)和次清晰點(diǎn)(改進(jìn)過(guò)程只對(duì)模糊點(diǎn)的隸屬度進(jìn)行重新計(jì)算，清晰點(diǎn)與次清晰點(diǎn)的隸屬度保持其原有值)。

(6) 按照式(6)計(jì)算每一類(lèi)的清晰半徑Rk。

(7) 重新計(jì)算所有模糊點(diǎn)與每一類(lèi)的相似性距離，計(jì)算公式為

(7)

(8) 用式(8)定義的新相似性距離重新計(jì)算模糊點(diǎn)的隸屬度為

(8)

(9) 重復(fù)步驟(3)～(8)直至滿足最優(yōu)條件，清晰點(diǎn)與次清晰點(diǎn)的原有隸屬度與重新計(jì)算的模糊點(diǎn)隸屬度組合在一起，作為最終結(jié)果。

3　實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1改進(jìn)算法的聚類(lèi)性能分析

圖4　清晰半徑對(duì)模糊協(xié)同聚類(lèi)的改進(jìn)效果Fig.4　Improved results of collaborative clustering by clear radius

本文首先使用3個(gè)人工數(shù)據(jù)子集Data 1，Data 2，Data 3進(jìn)行協(xié)同聚類(lèi)實(shí)驗(yàn)。數(shù)據(jù)集包括90個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，分為3類(lèi)(平面分布從左到右依次為第A，B，C類(lèi))，每類(lèi)30個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)由六維特征向量表示，前兩維特征分量構(gòu)成數(shù)據(jù)子集Data 1，中間兩維分量構(gòu)成子集Data 2，后兩維分量構(gòu)成子集Data 3。進(jìn)行協(xié)同計(jì)算時(shí)，將數(shù)據(jù)子集Data 2和Data 3協(xié)同到Data 1上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，圓圈代表分類(lèi)時(shí)產(chǎn)生的模糊點(diǎn)。從圖4可以看到，在A類(lèi)與B類(lèi)交界處的模糊點(diǎn)已經(jīng)全部?jī)?yōu)化為清晰點(diǎn)與次清晰點(diǎn)。由于B類(lèi)與C類(lèi)的清晰半徑比較接近，重新計(jì)算后的相似性距離與之前距離相比變化不大，故位于這兩類(lèi)交界處的模糊點(diǎn)仍然存在，但此處的模糊點(diǎn)類(lèi)別歸屬?zèng)]有錯(cuò)誤(歸屬B類(lèi))，不會(huì)影響最終的聚類(lèi)結(jié)果。

改進(jìn)前后模糊點(diǎn)的具體隸屬度見(jiàn)表1，除了點(diǎn)2與點(diǎn)6(位于B類(lèi)與C類(lèi)的交界處)清晰半徑對(duì)其改進(jìn)效果有限，其他點(diǎn)均從原來(lái)的模糊點(diǎn)變?yōu)榍逦c(diǎn)或次清晰點(diǎn)。更重要的是點(diǎn)3與點(diǎn)5，重新計(jì)算隸屬度以后不僅變得更加清晰，還改變了類(lèi)別歸屬，實(shí)現(xiàn)了正確分類(lèi)。

表1清晰半徑對(duì)模糊點(diǎn)隸屬度的改進(jìn)效果

Tab.1Improvedresultsoffuzzymembershipsbytheclearradius

模糊點(diǎn)模糊協(xié)同聚類(lèi)的隸屬度清晰半徑改進(jìn)后的隸屬度A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)10．17290．62210．20490．11030．77890．110620．10070．63140．26770．05340．54060．405830．30460．59180．10350．72850．24700．024440．13080．61590．25320．09210．86170．046150．29430．58920．11640．68700．28570．027260．12260．60820．26900．06460．61960．315770．18920．61960．19110．20820．66490．126880．21700．62320．15960．18000．78800．031990．22620．57750．19620．20980．65370．1363

圖5　運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Fig.5　Comparative results of running time

由于改進(jìn)算法中引入了新相似度計(jì)算，與基礎(chǔ)算法相比，在提高聚類(lèi)準(zhǔn)確度的同時(shí)也會(huì)使改進(jìn)后的運(yùn)行時(shí)間有所增加。通常在迭代初始階段存在較多的模糊點(diǎn)，對(duì)這些點(diǎn)的二次計(jì)算代價(jià)會(huì)相應(yīng)增加迭代時(shí)間，但是隨著最優(yōu)劃分的逼近，模糊點(diǎn)數(shù)量越來(lái)越少，迭代后期的計(jì)算量與傳統(tǒng)協(xié)同聚類(lèi)基本相同。算法在不同階段的運(yùn)行時(shí)間見(jiàn)圖5。

3.2　協(xié)同系數(shù)對(duì)改進(jìn)算法的影響

聚類(lèi)結(jié)果中，協(xié)同系數(shù)取值為α[1,2]=0.2，α[1,3]=0.2(根據(jù)文獻(xiàn)[10]的結(jié)果，協(xié)同系數(shù)的最優(yōu)取值在0.25左右，因此首先在該值附近進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證其他協(xié)同系數(shù)對(duì)改進(jìn)算法將產(chǎn)生什么樣的影響，本文還進(jìn)行了下面的實(shí)驗(yàn)。首先設(shè)各子集之間的協(xié)同系數(shù)相等，在[0.05, 0.5]的區(qū)間范圍內(nèi)，取不同的協(xié)同系數(shù)值，得到圖6的結(jié)果。

可以看出，協(xié)同系數(shù)的變化不僅會(huì)影響傳統(tǒng)協(xié)同聚類(lèi)的結(jié)果，而且會(huì)影響改進(jìn)算法的結(jié)果。在協(xié)同系數(shù)都為0.1時(shí)，傳統(tǒng)協(xié)同聚類(lèi)結(jié)果中有非常多的模糊點(diǎn)，經(jīng)過(guò)清晰半徑改進(jìn)后的模糊點(diǎn)數(shù)量大幅度下降，隨著協(xié)同系數(shù)逐漸增大，模糊點(diǎn)的數(shù)量逐漸減少。與文獻(xiàn)[10]結(jié)果略有不同的是，由于本文重點(diǎn)對(duì)各類(lèi)之間的模糊點(diǎn)進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)子集之間的差異不是很大，因此在協(xié)同系數(shù)大于0.25后，聚類(lèi)效果還會(huì)有所改善，但是改善程度有限，當(dāng)協(xié)同系數(shù)增大到0.5時(shí)，不僅模糊協(xié)同聚類(lèi)得到的結(jié)果較好(只有4個(gè)模糊點(diǎn))，引入清晰半徑改進(jìn)的模糊協(xié)同聚類(lèi)的結(jié)果更好(模糊點(diǎn)全部消失)。因此對(duì)于本文所采用的數(shù)據(jù)集，[0.25, 0.5]的取值區(qū)間可視為最優(yōu)范圍。當(dāng)子集之間的協(xié)同系數(shù)不同時(shí)，令協(xié)同系數(shù)之和ψ[i]=0.8，得到圖7所示的一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖6　兩個(gè)協(xié)同系數(shù)取值相同時(shí)的聚類(lèi)效果對(duì)比Fig. 6　Comparative results with the same collaborative coefficients

圖7　兩個(gè)協(xié)同系數(shù)取值不同時(shí)的聚類(lèi)效果對(duì)比Fig.7　Comparative results with the different collaborative coefficients

從圖7可以看出，當(dāng)兩個(gè)協(xié)同系數(shù)比較接近時(shí)，聚類(lèi)結(jié)果較好，且僅對(duì)傳統(tǒng)模糊協(xié)同聚類(lèi)算法產(chǎn)生較大影響，而對(duì)清晰半徑改進(jìn)的協(xié)同聚類(lèi)的結(jié)果影響不大，該組實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，改進(jìn)算法對(duì)協(xié)同系數(shù)差異的敏感性降低，這就意味著改進(jìn)算法在參數(shù)設(shè)置上更為簡(jiǎn)單。

3.3　改進(jìn)算法對(duì)UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集及革蘭氏陰性真細(xì)菌的聚類(lèi)效果

使用UCI提供的IRIS(鳶尾花)數(shù)據(jù)集，這個(gè)數(shù)據(jù)集中包含3個(gè)品種的鳶尾花，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)包含4個(gè)維度(花萼長(zhǎng)度、花萼寬度、花瓣長(zhǎng)度和花瓣寬度)，其中第2類(lèi)與第3類(lèi)之間的數(shù)據(jù)點(diǎn)存在交叉和重疊，會(huì)產(chǎn)生較多模糊點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中使用協(xié)同聚類(lèi)算法將花瓣數(shù)據(jù)協(xié)同到花萼數(shù)據(jù)上進(jìn)行聚類(lèi)，聚類(lèi)結(jié)果如圖8所示，可以看出清晰半徑的引入使模糊點(diǎn)的數(shù)量大幅減少。

革蘭氏陰性真細(xì)菌(Gram-bacteria)蛋白序列數(shù)據(jù)來(lái)源于網(wǎng)站http://www.cbs.dtu.dk/ftp/signalp。數(shù)據(jù)集中包含451條序列片段，分為兩種不同的蛋白質(zhì)，其中可分泌蛋白質(zhì)265條，不分泌蛋白質(zhì)186條。采用壓縮感知理論提取蛋白序列的20維特征向量[20]，前10維特征分量作為數(shù)據(jù)子集Ⅰ，后10維特征分量作為數(shù)據(jù)子集Ⅱ，采用協(xié)同聚類(lèi)算法將數(shù)據(jù)子集Ⅱ協(xié)同到數(shù)據(jù)子集Ⅰ上，聚類(lèi)結(jié)果如圖9所示，可以看出清晰半徑的引入同樣起到了明顯的改進(jìn)效果。

圖8　IRIS標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的聚類(lèi)效果Fig.8　Clustering results on IRIS benchmark dataset

圖9　革蘭氏陰性菌的聚類(lèi)效果Fig. 9　Clustering results on Gram-bacteria dataset

4　結(jié)束語(yǔ)

本文引入清晰半徑對(duì)傳統(tǒng)協(xié)同聚類(lèi)算法進(jìn)行改進(jìn)，能在較大程度上減少邊界上的模糊點(diǎn)個(gè)數(shù)，使其分類(lèi)更加清晰。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于數(shù)據(jù)點(diǎn)分布密度差別較大的數(shù)據(jù)集，由于類(lèi)內(nèi)清晰半徑的差異，基本上能夠消除邊界上存在的模糊點(diǎn)，改進(jìn)效果明顯；對(duì)于清晰半徑較接近的邊界上的模糊點(diǎn)，優(yōu)化效果雖然有限，但也能保持其原有聚類(lèi)結(jié)果。而且，由于改進(jìn)算法中清晰半徑的引入，弱化了各子集之間協(xié)同系數(shù)的差異，使參數(shù)設(shè)置變得更為簡(jiǎn)單，這就使得模糊協(xié)同聚類(lèi)算法的應(yīng)用范圍更加廣泛。目前，清晰半徑對(duì)模糊點(diǎn)隸屬度的改進(jìn)還是作為獨(dú)立的優(yōu)化步驟，在初始聚類(lèi)結(jié)果的基礎(chǔ)上開(kāi)展，后續(xù)研究能否進(jìn)一步完善相似性距離的計(jì)算公式，以中心區(qū)域的清晰半徑為主要思想，直接得到聚類(lèi)結(jié)果，有待進(jìn)一步深入研究。

參考文獻(xiàn):

[1]Rui X, Wunsch D. Survey of clustering algorithms [J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2005, 16(3): 645-678.

[2]高新波.模糊聚類(lèi)分析及其應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2004:49-61.

Gao Xinbo. Fuzzy clustering analysis and its applications[M]. Xi′an: Xidian University Press, 2004:49-61.

[3]Kupka J. Some remarks on approximations of the Zadeh′s extension[C]// IEEE International Conference on Fuzzy Systems. New York: IEEE, 2013:1-7.

[4]Omran M G H, Engelbrecht A P, Salman A. An overview of clustering methods[J]. Intelligent Data Analysis, 2007,11(6):583-605.

[5]Gong Maoguo, Liang Yan, Shi Jiao, et al. Fuzzy C-means clustering with local information and kernel metric for image segmentation[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2013,22(2):573-584.

[6]閆曉玲,王黎明,卜樂(lè)平.一種基于多維彩色向量空間的(火焰)圖像模糊聚類(lèi)分割算法[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2012,27(3):1-6.

Yan Xiaoling, Wang Liming, Bu Leping. Fuzzy clustering segmentation algorithm of flame image based on multi-dimensional color vector space[J]. Journal and Data Acquisition and Processing, 2012,27(3):1-6.

[7]孫權(quán)森, 紀(jì)則軒.基于模糊聚類(lèi)的腦磁共振圖像分割算法綜述[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2016,31(1):28-42.

Sun Quansen, Ji Zexuan. Fuzzy clustering for brain MR image segmentation[J]. Journal and Data Acquisition and Processing, 2016,31(1):28-42.

[8]譚欣, 徐蔚鴻.一種協(xié)同的可能性模糊聚類(lèi)算法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2014,50(21):147-151.

Tan Xin, Xu Weihong. Collaborative PCM fuzzy clustering algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2014,50(21):147-151.

[9]Yu Fusheng, Tang Juan, Cai Ruiqiong. A necessary preprocessing in horizontal collaborative fuzzy clustering[C]// IEEE International Conference on Granular Computing. Washington, DC: IEEE Computer Society, 2007:399-403.

[10] Pedrycz W, Rai P. Collaborative fuzzy clustering with the use of fuzzy C-means and its quantification [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2008,159(18):2399-2427.

[11] Coletta S, Vendramin L, Hruschka E R, et al. Collaborative fuzzy clustering algorithms: Some refinements and design guidelines[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2012,20(3):444-462.

[12] Golsefid S M M, Zarandi M H F, Turksen I B. Multi-central general type-2 fuzzy clustering approach for pattern recognitions[J]. Information Sciences, 2016,328(C):172-188.

[13] 高翠芳,胡權(quán).基于清晰半徑的模糊點(diǎn)二次聚類(lèi)算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2013，33(2)：547-549.

Gao Cuifang, Hu Quan. Second clustering algorithm for fuzzy points based on clear radius[J]. Journal of Computer Applications, 2013,33(2):547-549.

[14] 呂宗磊, 王建東.一種基于多維空間超球體的快速聚類(lèi)算法[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(6):706-711.

Lü Zonglei, Wang Jiandong. Fast clustering algorithm based on hypersphere of multidimentional space[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2006,38(6):706-711.

[15] Menardi G， Azzalini A. An advancement in clustering via nonparametric density estimation[J]. Statistics & Computing, 2013,24(5):753-767.

[16] Rinaldo A, Wasserman L. Generalized density clustering [J]. Annals of Statistics, 2009,38(5):2678-2722.

[17] 張曉, 張媛媛, 高陽(yáng),等.一種基于密度的快速聚類(lèi)方法[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2015,30(4):888-895.

Zhang Xiao, Zhang Yuanyuan, Gao Yang, et al. Fast density-based clustering approach[J]. Journal and Data Acquisition and Processing, 2015,30(4):888-895.

[18] Kavitha P, Vidhya R S. A modified fuzzy C means algorithm for clustering based on density sensitive measure[J]. Fuzzy Systems, 2015,7(7):185-190.

[19] 于劍,程乾生.模糊劃分的一個(gè)新定義及其應(yīng)用[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,36(5):619-623.

Yu Jian, Cheng Qiansheng. A new definition of fuzzy partition and its application[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, 2000,36(5):619-623.

[20] Gao Cuifang, Guan Qiang, Zhang Hao, et al. A novel feature extraction method by compressive sensing for signal peptide[J]. Journal of Chemical and Pharmaceutical Research, 2013,5(11):212-218.