劉基余，陳小明

（武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079）

利用卡爾漫濾波處理GNSS動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)，需要首先建立濾波的動(dòng)態(tài)模型（狀態(tài)方程）和觀測(cè)模型（觀測(cè)方程）。對(duì)GNSS動(dòng)態(tài)定位而言，動(dòng)態(tài)模型難以用精確的數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)，實(shí)用中一般在精度損失較小的前提下對(duì)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。最常用的動(dòng)態(tài)模型為常速模型或常加速模型。常速模型或常加速模型的選擇依賴于運(yùn)動(dòng)載體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及數(shù)據(jù)采樣率的高低，在高精度GNSS動(dòng)態(tài)定位中數(shù)據(jù)采樣率一般為1秒或更高，此時(shí)可采用常速模型。動(dòng)態(tài)噪聲可假定為零均值高斯噪聲。在整周模糊度已知時(shí)（利用基線初始化或模糊度在航解算OTF求得），單純利用雙差載波相位觀測(cè)量就可以獲得極高的動(dòng)態(tài)定位精度。

由于載波相位測(cè)量的整周模糊度特性，在載波相位測(cè)量出現(xiàn)周跳后，整周模糊度會(huì)發(fā)生改變。若不能及時(shí)修正，將嚴(yán)重影響動(dòng)態(tài)定位的精度。在濾波設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮對(duì)周跳的探測(cè)與修復(fù)。另一個(gè)方面要考慮到動(dòng)態(tài)接收機(jī)機(jī)動(dòng)情形，在濾波設(shè)計(jì)時(shí)，更需考慮對(duì)機(jī)動(dòng)加速度的補(bǔ)償。中國(guó)魏明博士等（1990）和盧剛博士等（1991）分別提出了用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法來(lái)探測(cè)周跳和機(jī)動(dòng)加速度，并利用兩步卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)周跳的方法；盧剛博士等（1990）稱之為GPS動(dòng)態(tài)定位的統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制（Statistical quantity control）。為了研究質(zhì)量控制的有效性，本文提出利用可靠性理論來(lái)分析周跳探測(cè)，機(jī)動(dòng)探測(cè)的能力以及周跳與機(jī)動(dòng)加速度的可區(qū)分性問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上提出一種更為簡(jiǎn)單實(shí)用的高精度GNSS動(dòng)態(tài)定位模型。

1 基本濾波模型及其遞推方程

狀態(tài)方程：

觀測(cè)方程：

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲和量測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)如下：

式（1a）中動(dòng)態(tài)模型采用常速模型。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk，k-1和干擾矩陣Γk-1定義如下：

式中，I3為3×3維單位陣；ΔT為采樣時(shí)間間隔。

式（1b）為采用雙差載波相位觀測(cè)量的觀測(cè)方程。雙差載波相位觀測(cè)值可選為L(zhǎng)1、L2單頻載波相位或雙頻組合觀測(cè)值，其頻率為f，波長(zhǎng)為λ=C//f。該式為非線性方程。令式（1b）圍繞參考估計(jì)（一般選為當(dāng)前時(shí)刻的預(yù)報(bào)值Xk，K-1）線性化，可得到線性化觀測(cè)方程

或記為

式中，YK為雙差載波相位觀測(cè)向量；為相位的雙差整周模糊度向量。

卡爾曼濾波的初值為X0/0，P0/0。

2 GPS動(dòng)態(tài)定位的質(zhì)量控制

在前述的基本濾波模型中未考慮運(yùn)動(dòng)載體的機(jī)動(dòng)以及觀測(cè)值中可能存在的粗差（周跳）。由于機(jī)動(dòng)加速度和周跳可以常值為差來(lái)模擬，在出現(xiàn)機(jī)動(dòng)或發(fā)生周跳時(shí)可在濾波狀方程和觀測(cè)方程中加入相應(yīng)的修正量，此時(shí)濾波模型為：

式中，b，d分別表示機(jī)動(dòng)加速度和雙差周跳。當(dāng)不存在機(jī)動(dòng)加速度時(shí)，b=0；當(dāng)不存在周跳時(shí)，d=0；當(dāng)b，d同時(shí)為零時(shí)，模型（4a）、（4b）退化為（1a），（2b）。BK，DK分別為機(jī)動(dòng)加速度、雙差周跳對(duì)應(yīng)的系數(shù)陣。BK定義如下：

DK定義如下：對(duì)應(yīng)第i個(gè)雙差周跳，有

若已知機(jī)動(dòng)加速度b和雙差周跳d，則時(shí)刻k動(dòng)態(tài)接收機(jī)天線的位置、速度預(yù)報(bào)值和濾波分別為：

當(dāng)存在機(jī)動(dòng)加速度和（或）雙差周跳，但仍采用模型式（1a）和式（3b），而利用式（3a）～（3f）進(jìn)行遞推計(jì)算值時(shí)，遞推估值，將不是最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)而是有偏的。當(dāng)觀測(cè)方程是非線性方程時(shí)，有偏估計(jì)與無(wú)偏估計(jì)之間的偏差關(guān)系也是非線性的?？梢宰C明，當(dāng)忽略線性化誤差時(shí)，無(wú)偏估計(jì)和有偏估計(jì)間的偏差值可用b、d的線性關(guān)系式表達(dá)。下面進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。

設(shè)有偏估計(jì)和無(wú)偏估計(jì)差值可用下列線性關(guān)系式表達(dá)

比較式（7）兩端系數(shù)，可得到遞推關(guān)系

將觀測(cè)方程圍繞參考估計(jì)線性化，有

比較式（9）兩端系數(shù)可得到

式（8a）、式（10a）、式（8b）和式（10b）分別構(gòu)成遞推計(jì)算公式。在b、d已知時(shí)，可將無(wú)偏差參數(shù)模型式（1a）和式（2b）計(jì)算得到的有偏估計(jì)修正為最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)。b、d可由兩步卡爾曼濾波的方法來(lái)確定。

關(guān)鍵的問(wèn)題在于如何探測(cè)何時(shí)出現(xiàn)機(jī)動(dòng)、周跳，以及機(jī)動(dòng)出現(xiàn)在哪個(gè)方向上、周跳出現(xiàn)在哪個(gè)雙差觀測(cè)值上。機(jī)動(dòng)以及周跳的探測(cè)可以通過(guò)對(duì)預(yù)報(bào)殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來(lái)完成。

根據(jù)卡爾曼濾波理論，在濾波模型存在偏差或?qū)ζ钸M(jìn)行了修正時(shí)，預(yù)報(bào)殘偏差應(yīng)該是零均值的白噪聲。若實(shí)際系統(tǒng)存在偏差，但在濾波模型中未進(jìn)行修正，則預(yù)報(bào)殘差將不再是零均值的白噪聲。當(dāng)存在偏差b、d時(shí)，采用濾波模型式（4a）和式（4b）的預(yù)報(bào)殘差為：

若采用濾波模型式（6a）和式（6b），則預(yù)報(bào)殘差為：

由于b、d是常值偏差，因而rK服從均值為GKU，方差為的正態(tài)分布

而不存在偏差即b=0，d=0時(shí)預(yù)報(bào)殘差則服從零均值，方差為的正態(tài)分布

根據(jù)采用無(wú)偏差參數(shù)模型式（2a）和式（2b）計(jì)算得到的新息序列在有、無(wú)偏差時(shí)的統(tǒng)計(jì)特性，可以構(gòu)造如下原假設(shè)H0和備選假設(shè)Ha：

上述檢驗(yàn)可構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量

式中，nK為偏差向量U的維數(shù)；λK為非中心化參數(shù)，定義為

上式所構(gòu)成的偏差統(tǒng)計(jì)量可分為兩種情況；當(dāng)l=k時(shí)，僅利用當(dāng)前觀測(cè)時(shí)元的預(yù)報(bào)殘差構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量，稱為局部模型檢驗(yàn) LMT（Local Model Test）；

當(dāng)K＞l時(shí)，則利用多個(gè)時(shí)元的預(yù)報(bào)殘差構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量，稱為全局模型檢驗(yàn)GMT（Global Model Test）。全局模型檢驗(yàn)探測(cè)系統(tǒng)模型偏差的能力比局部檢驗(yàn)強(qiáng)，但存在檢驗(yàn)延遲的問(wèn)題，且計(jì)算量比局部檢驗(yàn)大。

根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)理論，選定所需檢測(cè)的偏差，構(gòu)造相應(yīng)系數(shù)陣GK并選定某一顯著性水平a，并取F=（nk）可以得出如下判斷標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)TG＜F時(shí)，接受原假設(shè)H0；當(dāng)TG≥F時(shí)，接受備選假設(shè)Ha。

從理論上講，這種檢驗(yàn)方法是成立的。但從實(shí)際應(yīng)用來(lái)看，此方法很難實(shí)行，因?yàn)樵跒V波計(jì)算時(shí)我們并不知道哪個(gè)方向發(fā)生機(jī)動(dòng)或哪個(gè)觀測(cè)值有周跳。因此，實(shí)用中常采用以下方法。

首先選取偏差向量的維數(shù)等于預(yù)報(bào)殘差的維數(shù)，此時(shí)Gi陣為可逆方陣，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量TG變?yōu)槿缦滦问?/p>

在H0下有

式中，mi為第i個(gè)觀測(cè)時(shí)元預(yù)報(bào)殘差的維數(shù)。上式實(shí)際上只是一個(gè)預(yù)警檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它僅能用于判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)故障。當(dāng)k=l時(shí)，即僅利用當(dāng)前觀測(cè)的預(yù)報(bào)殘差，稱為局部預(yù)警檢驗(yàn)。此時(shí)在H0下有

選擇一顯著性水平a，并取接受H0，即認(rèn)為既無(wú)機(jī)動(dòng)也無(wú)周跳，當(dāng)≥F1時(shí)，接受Ha，即認(rèn)為可能存在機(jī)動(dòng)或周跳。此時(shí)應(yīng)對(duì)故障原因進(jìn)行進(jìn)一步診斷，從而對(duì)偏差源進(jìn)行定位。中國(guó)魏明博士和盧剛博士建議采用類似巴爾達(dá)的數(shù)據(jù)探測(cè)（Data Snooping）的方法進(jìn)行，即對(duì)每假定的偏差源分別采用一維的檢驗(yàn)一統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行定位檢驗(yàn)，直到檢測(cè)出全部可能的偏差。

當(dāng)檢測(cè)機(jī)動(dòng)加速度時(shí)，則有

或者寫成

式（23a）和式（23b）為檢驗(yàn)機(jī)動(dòng)加速度的全局一維定位檢驗(yàn)量，若令k=1，則形成局部一維定位檢驗(yàn)量，此時(shí)有

式（24a）和（24b）為檢驗(yàn)周跳的全局一維定位檢驗(yàn)量，若令k=1則形式相應(yīng)的局部一維定位檢驗(yàn)量，此時(shí)有

盧剛博士（1991）認(rèn)為局部預(yù)警檢驗(yàn)和局部定位檢驗(yàn)對(duì)GPS相對(duì)定位中觀測(cè)值進(jìn)行偏差的檢驗(yàn)和定位已足夠，因?yàn)樽畛Ｒ姷钠钊缰芴染绊懏?dāng)前時(shí)刻的濾波值。

在實(shí)用中，我們發(fā)現(xiàn)上述局部統(tǒng)計(jì)量對(duì)周跳很敏感而對(duì)機(jī)動(dòng)加速度則不甚敏感，往往在機(jī)動(dòng)發(fā)生若干時(shí)元之后才能探測(cè)到。另外，當(dāng)QK選擇大于某一數(shù)值時(shí)，或者選得更大，即使不對(duì)機(jī)動(dòng)加速度引起的濾波估計(jì)偏差進(jìn)行補(bǔ)償也能獲得很好的濾波結(jié)果。下面我們用可靠性理論對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行研究分析。

3 可靠性分析

可靠性研究建立在數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上。經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)理論是1955年由萊曼和皮爾孫提出的。在測(cè)量平范疇內(nèi)，可靠性研究理論是由荷蘭巴爾達(dá)教授在1967～1968年提出的。巴爾達(dá)的可靠性理論是從單個(gè)一維備選假設(shè)出發(fā)，研究平差系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)單個(gè)模型誤差的能力和不可發(fā)現(xiàn)的模型誤差對(duì)平差結(jié)果的影響。前者稱為內(nèi)部可靠性，后者稱為外部可靠性。這里的模型誤差包括粗差和系統(tǒng)誤差。此外，從已知單位權(quán)方差出發(fā)，巴爾達(dá)教授還導(dǎo)出了檢驗(yàn)粗差的數(shù)據(jù)探測(cè)法（Data Snooping），即以服從正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化殘差作為統(tǒng)計(jì)量。

隨后，由Fotstner和Koch等人將該理論推廣到單個(gè)多維備選假設(shè)，從而研究系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)多個(gè)模型誤差的能力。1983年Fotstner第一次提出了模型誤差的區(qū)分可能性，并從兩個(gè)一維備選假設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出了區(qū)分可能性本質(zhì)上取決于檢驗(yàn)量之間相關(guān)系數(shù)的結(jié)論。李德仁院士在他的博士論文中從高斯-馬爾可夫模型含兩個(gè)多維備選假設(shè)出發(fā)，提出了平差系統(tǒng)的可區(qū)分性和可靠性理論。該理論可研究全系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)并區(qū)分不同模型誤差的區(qū)分和定位提供了研究的基本理論和定量的尺度。

近年來(lái)，可靠性研究理論已在大地測(cè)量、攝影測(cè)量、工程測(cè)量及形變測(cè)量中取得了廣泛的應(yīng)用。這一理論也已被引入到集成導(dǎo)航系統(tǒng)的設(shè)計(jì)之中。下面應(yīng)用可靠性理論來(lái)研究卡爾曼濾波處理高精度GPS動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)的內(nèi)外部可靠性。

3.1 內(nèi)部可靠性分析

在單個(gè)備選假設(shè)下，內(nèi)部可靠性研究的是若檢驗(yàn)以一定的顯著水平進(jìn)行時(shí)能以什么樣的把握（檢驗(yàn)功效βP）發(fā)現(xiàn)模型誤差。在多數(shù)情況下，由于模型誤差的大小是未知的，內(nèi)部可靠性主要研究至少要出現(xiàn)多大的模型誤差，它才能在所規(guī)定的檢驗(yàn)功效β0在顯著性水平為α0的檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)。在兩個(gè)備選假設(shè)下，可靠性理論主要研究的是不同備選假設(shè)下模型誤差的可區(qū)分性（可區(qū)分性理論）。弗斯特勒爾（1983）指出兩個(gè)檢驗(yàn)量之間的相關(guān)系數(shù)可作為衡量可區(qū)分性的指標(biāo)。李德仁教授在其博士論文中從兩個(gè)多維備選假設(shè)的情況下，導(dǎo)出了檢驗(yàn)量之間的總體相關(guān)和最大相關(guān)，并進(jìn)而導(dǎo)出了可發(fā)現(xiàn)且可與它種模型誤差相區(qū)分的模型誤差下界值。

鑒于在前述質(zhì)量控制模型中以類似巴爾達(dá)的數(shù)據(jù)探測(cè)法來(lái)探測(cè)周跳和機(jī)動(dòng)加速度，因而在下面的可靠性研究中主要考慮備選假設(shè)為一維時(shí)的內(nèi)部可靠性分析。

首先考慮單個(gè)一維備選假設(shè)的情形。

對(duì)于單個(gè)方向機(jī)動(dòng)加速度，有零假設(shè)H0：不存在機(jī)動(dòng)加速度

備選假設(shè)Ha：存在一個(gè)方向的機(jī)動(dòng)加速度

根據(jù)內(nèi)部可靠性理論，可發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度下界定義為

式中，δ0為非中心化參數(shù)，它可在給定顯著水平α0和檢驗(yàn)功效β0下由標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布表求出。同樣對(duì)于單個(gè)觀測(cè)值粗差，有

零假設(shè)H0：不存在觀測(cè)值粗差

備選假設(shè)Ha：存在一個(gè)觀測(cè)值粗差可發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值粗差的下界定義為：

當(dāng)僅選擇當(dāng)前時(shí)元的預(yù)報(bào)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，即采用局部一維定位檢測(cè)時(shí)，k=l，b，d分別定義為：

對(duì)于兩個(gè)一維備選假設(shè)，即

H0：無(wú)機(jī)動(dòng)，無(wú)觀測(cè)值粗差

Ha1：存在一個(gè)方向機(jī)動(dòng)加速度

Ha2：存在一個(gè)觀測(cè)值粗差

此時(shí)，內(nèi)部可靠性要研究發(fā)現(xiàn)并區(qū)分兩類模型誤差的能力?？蓞^(qū)分性取決于兩個(gè)備選假設(shè)之間的相關(guān)系數(shù)。單個(gè)方向機(jī)動(dòng)加速度和單個(gè)觀測(cè)值粗差檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的相關(guān)系數(shù)定義為

在k=l時(shí)，即選用統(tǒng)計(jì)量為局部一維定位統(tǒng)計(jì)量時(shí)

相關(guān)系數(shù)越大，則模型誤差的可區(qū)分性越差，當(dāng)ρbd=1時(shí)，機(jī)動(dòng)加速度與觀測(cè)值粗差不可區(qū)分。根據(jù)相關(guān)系數(shù)ρbd可以查表得到可區(qū)分性放大倍數(shù)Kρbd。該值表示由于相關(guān)引起的非中心化參數(shù)的放大倍數(shù)，更具體地講，它代表可區(qū)分且可發(fā)現(xiàn)的模型誤差下界為可發(fā)現(xiàn)模型誤差下界值的多少倍。

可發(fā)現(xiàn)且可與單個(gè)機(jī)動(dòng)加速度區(qū)分的觀測(cè)值粗差下界為

可發(fā)現(xiàn)且可與單個(gè)觀測(cè)值粗差區(qū)分的機(jī)動(dòng)加速度下界為

研究中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于本節(jié)的濾波模型，內(nèi)部可靠性主要與動(dòng)態(tài)噪聲QK和觀測(cè)噪聲RK有關(guān)，在RK一定的情況下，隨著給定QK的增大可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)值粗差的下界呈增大趨勢(shì)，而機(jī)動(dòng)加速度與觀測(cè)值粗差的相關(guān)系數(shù)則呈減小趨勢(shì)。對(duì)于相同的QK，當(dāng)觀測(cè)值精度較高時(shí)，可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)值差的下界值較小。

3.2 可靠性分析實(shí)踐

下面以1996年8月14日在哈爾濱進(jìn)行的一次秒采樣率機(jī)載GPS動(dòng)態(tài)定位為例予以說(shuō)明（如表1～表6所示）。該次定位中所采用的機(jī)載GPS信號(hào)接收機(jī)和基準(zhǔn)接收機(jī)均為Trimble 4000SSE雙頻接收機(jī)。表1～表5為采用局部檢驗(yàn)量時(shí)的內(nèi)部可靠性分析，其中各量和計(jì)算均只采用濾波遞推估計(jì)10個(gè)時(shí)元后的一個(gè)時(shí)元（GPS時(shí)間288880s）的數(shù)據(jù)（該時(shí)元PDOP=2.8，共觀測(cè)下列6顆衛(wèi)星：PRN26，06，27，16，17，18。其中PRN26號(hào)衛(wèi)星高度角最大，其他衛(wèi)星分別與它構(gòu)成雙差觀測(cè)值）。表3～表4為采用寬巷觀測(cè)值進(jìn)行濾波計(jì)算時(shí)的內(nèi)部可靠性分析數(shù)據(jù)，表4～表5為采用L1單頻觀測(cè)值進(jìn)行濾波計(jì)算時(shí)的內(nèi)部可靠性分析數(shù)據(jù)。計(jì)算中假定L1，L2載波相位量測(cè)精度等于0.025周，因而對(duì)于L1雙差觀測(cè)值，有協(xié)方差陣

對(duì)于寬巷雙差載波相位觀測(cè)值有

式中，λL1，λWL分別為L(zhǎng)1載波相位和寬巷載波相位的波長(zhǎng)（單位：cm）。

表1 QK與可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度關(guān)系（寬巷）

表2 QK與可發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值粗差的關(guān)系（寬巷）

動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣定義為

Q為標(biāo)量，在各種QK陣設(shè)計(jì)中分別選取Q=le-8，le-4，le-2，0.1，1，10，100。各表計(jì)算中選取δ0為顯著性水平a0=0.1%，檢驗(yàn)功效為80%時(shí)的非中心化參數(shù)δ0=4.13。

由表1可知，當(dāng)RK一定時(shí)（寬巷觀測(cè)值），隨QK設(shè)定值的增大可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度下界值呈增大趨勢(shì)。當(dāng)Q=10時(shí)，可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度下界約為重力加速度的2.6倍，超過(guò)了絕大多數(shù)運(yùn)動(dòng)載體的最大機(jī)動(dòng)能力。而當(dāng)Q=le-8時(shí)，所能發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度下界約為0.2～0.4m。這是由于寬巷觀測(cè)量測(cè)量噪聲較大引起的。當(dāng)選擇觀測(cè)噪聲較小的觀測(cè)量L1載波相位時(shí)，對(duì)應(yīng)相同的QK可發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度下界相對(duì)較小。

表3 QK與相關(guān)系數(shù)

表4 QK與可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度關(guān)系（L1）

表5 QK與可發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值粗差（L1）

從整體上看（尤其是QK較大時(shí)），局部檢驗(yàn)量對(duì)機(jī)動(dòng)加速度不敏感，這是前面提到的采用局部檢驗(yàn)量時(shí)會(huì)產(chǎn)生機(jī)動(dòng)探測(cè)延遲的主要原因，為了較好地探測(cè)機(jī)動(dòng)，應(yīng)考慮采用全局檢驗(yàn)量。

由表2可知，RK一定QK增大時(shí)，可發(fā)現(xiàn)的載波相位粗差的下界也呈增大的趨勢(shì)，但增大速度明顯比可發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度下界要慢，而且呈現(xiàn)出一種飽和趨勢(shì)。在Q≥0.1增大速度明顯變慢，對(duì)于不同的雙差載波相位，可發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值粗差的下界值不同。更值得注意的是對(duì)于各種Q值可發(fā)現(xiàn)的粗差下界均小于1周，即1周大小的周跳是完全可以發(fā)現(xiàn)的。而此時(shí)我們所采用的僅是局部定位檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，這也是盧剛（1991）認(rèn)為僅利用局部檢驗(yàn)量就可以探測(cè)出小周跳的原因。

比較表5和表2還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選擇觀測(cè)精度較高的L1觀測(cè)值時(shí)，可發(fā)現(xiàn)粗差的下界值更小，隨QK的增大趨于飽和的速度更快，因而探測(cè)周跳的能力也更強(qiáng)。

表3中未列出機(jī)動(dòng)加速與所有雙差載波相位的相關(guān)系數(shù)，僅列出了X、Y、Z方向與雙差載波相位相關(guān)系數(shù)值的最大值。表中第一列的“/”上為機(jī)動(dòng)加速度方向，“/”下為對(duì)應(yīng)最大相關(guān)系數(shù)的雙差載波相位衛(wèi)星號(hào)。從表中可知，當(dāng)Q較小時(shí)相關(guān)系數(shù)很大，甚至大到0.977。而隨著Q的增大，相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)。而與可發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度和粗差的趨勢(shì)正好相反。在由相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)查表得到可區(qū)分性放大倍數(shù)并乘以表3中可發(fā)現(xiàn)粗差下界值后可得到可與機(jī)動(dòng)加速度區(qū)分且可發(fā)現(xiàn)的粗差下界值（見表2中“-”下方）。相應(yīng)的區(qū)分可能性1-γ0選為95%。這一可區(qū)分且可發(fā)現(xiàn)的粗差下界值仍小于1 周，這表明即使對(duì)于1周的周跳也是可以發(fā)現(xiàn)并與機(jī)動(dòng)加速度相區(qū)分。

以上實(shí)際是處理大量高精度GPS動(dòng)態(tài)定位內(nèi)部可靠性分析的基本特點(diǎn)。根據(jù)上述實(shí)例分析，可以得到以下幾個(gè)基本結(jié)論：

（1）對(duì)于周跳的探測(cè)，可僅采用局部檢驗(yàn)量。由于載波相位量測(cè)精度高，即使動(dòng)態(tài)噪聲選擇得較大，僅采用局部檢驗(yàn)量，周跳均可發(fā)現(xiàn)且與機(jī)動(dòng)加速度相區(qū)分，觀測(cè)量精度越高（RK越?。┲芴奶綔y(cè)能力越強(qiáng)。

（2）對(duì)于機(jī)動(dòng)加速度的檢測(cè)，應(yīng)采用全局檢驗(yàn)量。局部檢驗(yàn)量對(duì)機(jī)動(dòng)加速度的檢測(cè)不甚敏感。當(dāng)采用多個(gè)時(shí)元構(gòu)造全局檢驗(yàn)時(shí)，隨著選擇時(shí)元數(shù)的增多，機(jī)動(dòng)加速度檢測(cè)能力逐步增強(qiáng)。

（3）當(dāng)QK較大時(shí)，可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度下界值往往會(huì)超過(guò)運(yùn)動(dòng)載體的最大機(jī)動(dòng)能力，然而此時(shí)對(duì)周跳探測(cè)能力仍優(yōu)于1周。此時(shí)，可不必考慮對(duì)機(jī)動(dòng)加速度的檢測(cè)，而僅用數(shù)據(jù)探測(cè)法檢測(cè)周跳。

表6 采用全局檢驗(yàn)量時(shí)QK與可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度關(guān)系（寬巷）

表7 SbKK相應(yīng)元素（寬巷）

3.3 外部可靠性研究

外部可靠性研究的是不可發(fā)現(xiàn)的模型誤差對(duì)平差結(jié)果的影響。在對(duì)周跳進(jìn)行修正后，僅存在機(jī)動(dòng)加速度，此時(shí)機(jī)動(dòng)加速度時(shí)濾波值的影響為：

由式（31）可知機(jī)動(dòng)加速度對(duì)濾波值的影響是由機(jī)動(dòng)加速度與中相應(yīng)元素相乘得到的，由于直角坐標(biāo)系軸垂直的，因而沿X、Y或Z軸方向的單方向機(jī)動(dòng)加速度，僅影響該方向的坐標(biāo)和速度。

仍采用與檢驗(yàn)內(nèi)部可靠性相同的數(shù)據(jù)，采用寬巷觀測(cè)值，利用式（31）進(jìn)行了外部可靠展性分析（表7）

表7中列出了與X方向位置、速度濾波估計(jì)偏差有關(guān)的中相應(yīng)的元素（K=1，2，3，4）。由表列數(shù)據(jù)乘以X方·向機(jī)動(dòng)加速度，可以得到這幾個(gè)時(shí)元的X，X濾波估計(jì)偏差。由表列數(shù)據(jù)可知，當(dāng)給定QK較小時(shí)（Q＜le-2）時(shí)，隨著時(shí)元數(shù)的增加，由機(jī)動(dòng)加速度引起的位置、速度偏差呈遞增趨勢(shì)，機(jī)動(dòng)加速度會(huì)引起濾波估計(jì)的變壞甚至發(fā)散。而QK較大時(shí)（Q＞0.1）時(shí)，隨著時(shí)元數(shù)的增加，由機(jī)動(dòng)加速度引起的位置估計(jì)誤差趨于常值。此常值隨QK的增大逐漸趨于0。速度估計(jì)偏差則趨于機(jī)動(dòng)加速度的1/2。此時(shí)濾波得到的速度估值實(shí)際上是該時(shí)元與前一時(shí)元速度的平均值，即存在機(jī)動(dòng)加速度時(shí)，采用無(wú)偏差參數(shù)模型，速度濾波估計(jì)隨QK增大逐漸趨于平均速度。

以上實(shí)例可以作如下解釋：RK一定，當(dāng)QK較小時(shí)，濾波增益也小，即過(guò)去觀測(cè)在濾波中的加權(quán)較大，此時(shí)濾波估計(jì)對(duì)過(guò)去觀測(cè)的依賴性大，在出現(xiàn)機(jī)動(dòng)后，會(huì)引起估計(jì)偏差的增大。當(dāng)QK較大時(shí)濾波對(duì)于過(guò)去觀測(cè)的依賴性或者說(shuō)受過(guò)去觀測(cè)的影響也相對(duì)較小。在出現(xiàn)機(jī)動(dòng)后濾波估計(jì)主要取決于當(dāng)前的觀測(cè)，濾波估計(jì)偏差隨時(shí)元數(shù)增加的影響也較小，而且趨于較小的穩(wěn)定值（濾波位置估計(jì)偏差趨于0）。另外，由于雙差載波相位觀測(cè)對(duì)速度的偏導(dǎo)數(shù)為0，即載波相位觀測(cè)量不直接對(duì)速度分量進(jìn)行觀測(cè)。QK較大時(shí)，速度估計(jì)基本上由在時(shí)元和上一時(shí)元的位置求平均得到，此時(shí)的速度估計(jì)為平均速度，而不是當(dāng)前時(shí)刻的瞬時(shí)速度

4 簡(jiǎn)單、實(shí)用的高精度GPS動(dòng)態(tài)定位濾波處理模型

由前述的內(nèi)部可靠性研究可知，采用局部檢驗(yàn)量周跳均可發(fā)現(xiàn)且與機(jī)動(dòng)加速度相區(qū)分。觀測(cè)量精度越高，周跳探測(cè)的能力也越強(qiáng)。且當(dāng)QK較大時(shí)，可發(fā)現(xiàn)機(jī)動(dòng)加速度下界值往往會(huì)超過(guò)運(yùn)動(dòng)載體的最大機(jī)動(dòng)能力，機(jī)動(dòng)加速度的檢測(cè)應(yīng)采用全局檢驗(yàn)量。

由外部可靠性研究可知，在QK較小時(shí)不可發(fā)現(xiàn)的機(jī)動(dòng)加速度會(huì)引起濾波估計(jì)變壞甚至發(fā)散，而QK較大時(shí)，隨時(shí)元數(shù)的增多，由機(jī)動(dòng)加速度引起的位置估計(jì)誤差趨于常值，此常值隨QK的增大趨于零。隨QK的增大，速度估計(jì)偏差趨于機(jī)動(dòng)加速度的1/2，即速度濾波估值趨于平均速度。

當(dāng)我們不以測(cè)速為目的，而僅僅以確定各時(shí)元?jiǎng)討B(tài)點(diǎn)位為目的時(shí)，可以不顧及機(jī)動(dòng)加速度的影響，即可以不采用機(jī)動(dòng)識(shí)辯動(dòng)態(tài)模型而采用常速模型并假定較大的動(dòng)態(tài)噪聲將機(jī)動(dòng)加速度引起的速度擾動(dòng)歸入動(dòng)態(tài)噪聲之中。由于載波相位具有很高的量測(cè)精度，此時(shí)濾波位置估計(jì)仍具有很高的精度，且濾波不會(huì)發(fā)散。在多種機(jī)載GPS動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)處理中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選擇Q≥0.4，L1、L2載波相位量測(cè)精度分別假定為0.025周時(shí)，各次濾波結(jié)果中坐標(biāo)分量相差僅在毫米級(jí)，圖7.2.1為一次秒采樣率機(jī)載GPS動(dòng)態(tài)定位中，QK中元素Q分別選擇為0.4、1、4、10 時(shí)濾波結(jié)果中X坐標(biāo)分量的互差。

基本以上內(nèi)外可靠性分析以及在已知整周模糊度已知時(shí)載波相位觀測(cè)值可轉(zhuǎn)換為高精度測(cè)相位偽距的特點(diǎn)，提出了一種簡(jiǎn)單實(shí)用的高精度GPS動(dòng)態(tài)定位濾波處理模型。由于狀態(tài)定位向量中不包含模糊度參數(shù)，稱之為無(wú)模糊度參數(shù)濾波模型。

無(wú)模糊度參數(shù)濾波模型由式（35）定義：

圖1 不同QK下濾波差值

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲和量測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)如下：

式（35a）中動(dòng)態(tài)模型采用常速模型。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ΦK，K-1和干擾矩陣TK-1定義如下：

式中，I3為3×3維單位陣；ΔT為采樣時(shí)間間隔。其中，狀態(tài)向量為；xK，yK，zK為動(dòng)態(tài)接收機(jī)天線在WGS-84地心坐標(biāo)系中的三維位置，為動(dòng)態(tài)接收天線的三維速度。在該模型中選取較大的模型噪聲QK，根據(jù)內(nèi)部可靠性分析可探測(cè)的機(jī)動(dòng)加速度下界值也大，從而相應(yīng)的局部檢驗(yàn)量對(duì)機(jī)動(dòng)加速度不敏感。根據(jù)外部可靠性分析，機(jī)動(dòng)加速度對(duì)濾波位置影響很小，而動(dòng)態(tài)定位所需要的也只是各觀測(cè)時(shí)元的動(dòng)態(tài)位置，因而選擇較大的QK不會(huì)因機(jī)動(dòng)加速度降低動(dòng)態(tài)定位的精度。

在此模型下，關(guān)鍵的問(wèn)題是周跳的探測(cè)與修復(fù)。周跳的探測(cè)和修復(fù)按如下步驟進(jìn)行：

第一步：根據(jù)預(yù)處理中周跳探測(cè)結(jié)果，首先刪除有周跳標(biāo)記衛(wèi)星所對(duì)應(yīng)的雙差載波相位觀測(cè)值。

第二步：計(jì)算預(yù)報(bào)殘差及其協(xié)方差陣，然后采用式（21）進(jìn)行局部示警檢驗(yàn)。當(dāng)＜F時(shí)，認(rèn)為剩余雙差觀測(cè)值沒(méi)有周跳，轉(zhuǎn)到第五步。當(dāng)≥F時(shí)，則剩余雙差觀測(cè)值中仍存在周跳，但無(wú)法確定在哪個(gè)觀測(cè)值上，為此需進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)。

第三步：對(duì)所剩余雙差觀測(cè)值分別采用式（24b）進(jìn)行局部一維定位檢測(cè)，并刪除數(shù)值最大檢驗(yàn)量所對(duì)應(yīng)雙差觀測(cè)值。

第四步：重復(fù)第二、三步直到局部示警檢驗(yàn)量TG1＜F。

第五步：利用剩余雙差觀測(cè)值進(jìn)行濾波計(jì)算。

第六步：檢查周跳標(biāo)記，并根據(jù)濾波位置反求有周跳標(biāo)記雙差載波相位觀測(cè)值的周跳數(shù)。

以上周跳的探測(cè)的修復(fù)基本上采用盧剛和魏明的周跳探測(cè)、修復(fù)方法，并基于內(nèi)外部可靠性研究拋棄了并無(wú)多大作用而耗力的機(jī)動(dòng)加速度檢測(cè)部分，簡(jiǎn)化了處理模型。研究表明以上周跳探測(cè)和修復(fù)方法對(duì)于少量周跳（無(wú)周跳的雙差載波相位觀測(cè)值數(shù)量≥3）是十分有效的，若周跳衛(wèi)星很多，連續(xù)跟蹤的衛(wèi)星數(shù)＜4時(shí)，以上方法則無(wú)法完全修復(fù)周跳，此時(shí)需利用在航模糊解算方法重新求各衛(wèi)星整周模糊度，這和盧剛的研究結(jié)果也是一致的。

5 數(shù)值分析

5.1 周跳的探測(cè)與修復(fù)

根據(jù)上文所述模型，對(duì)無(wú)周跳數(shù)附加虛擬跳值后進(jìn)行了周跳的探測(cè)和修復(fù)，所用數(shù)據(jù)為1996年8 月4日哈爾濱進(jìn)行的一次秒采樣率機(jī)載GPS動(dòng)態(tài)定位（表8，表9）。表8中數(shù)據(jù)為飛機(jī)靜止時(shí)的周跳探測(cè)與修復(fù)結(jié)果；表9中數(shù)據(jù)為飛機(jī)起飛后的周跳探測(cè)和修復(fù)結(jié)果。由于飛機(jī)在運(yùn)動(dòng)，因而各雙關(guān)載波相位的預(yù)報(bào)殘差較大，但此時(shí)仍有很好的周跳探測(cè)和修復(fù)能力，充分證明了上文模型的有效性。

5.2 與GPSur vey軟件解算結(jié)果比較

Ttimble公司為其測(cè)量型接收機(jī)配備了高精度定位數(shù)據(jù)處理軟件包GPSurvey，它可以處理靜態(tài)和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，為了驗(yàn)證本文算法的正確性，選擇了一套動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)分別采用文方法和GPSurvey軟件進(jìn)行了處理，其差值見圖2（圖中虛線表示基準(zhǔn)站與流動(dòng)站的距離，實(shí)線為解算差值）。從該圖中可以看出，即使距離遠(yuǎn)達(dá)100km，本文方法與GPSurvey軟件解算差值也不超過(guò)5cm，即不超過(guò)0.5ppm，這也證明了本文方法的正確性。

圖2 無(wú)模糊度參數(shù)解算與GPSurvey軟件解算成果比較

[1] 劉基余.GPS衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理與方法（第二版）.北京：北京科學(xué)出版社，2008.6.

[2] Lachapelle，G.，GPS Theory and Applications，University of Calgary，F(xiàn)all 2000，PP.310.

[3] 劉基余，陳小明，李德仁等.GPS Kinematic Carrier Phase Measurements for Aerial Photogrammetry，ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，Vol.51，No.5，1996，P.230～242.