徐　朗，蔡德所

(三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

0　引　言

依據(jù)大壩變形監(jiān)測的實測資料，建立合理精準(zhǔn)的分析預(yù)測模型是大壩安全監(jiān)測中的一項重要工作。目前，運用較多的有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、統(tǒng)計模型、時間序列模型以及支持向量機模型(SVM)[1]。在處理高維度、數(shù)據(jù)量少、呈非線性變化的大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)時，SVM模型表現(xiàn)出了良好的擬合能力和預(yù)測精度，是一種理想的大壩變形預(yù)測模型。在SVM模型中，決定模型性能的主要參數(shù)是懲罰參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ，一般采用粒子群算法(PSO)、遺傳算法(GA)、網(wǎng)格劃分的方式對c和σ進行尋優(yōu)[2]。針對標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法在尋優(yōu)的過程中容易陷入局部最優(yōu)和過早收斂的缺陷，許多學(xué)者提出了算法改進方法，但大多數(shù)都是對粒子速度更新公式中的慣性權(quán)重進行改進，且多采用固定參數(shù)設(shè)置或線性遞減參數(shù)策略[3]。本文采用柯西分布函數(shù)和密度函數(shù)的非線性變化特征對PSO算法中粒子的速度和位置更新公式進行改進，運用改進后的PSO算法對SVM模型的懲罰參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ進行尋優(yōu)，來解決標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在尋優(yōu)過程中存在易于陷入局部極小值和早熟收斂的情況。結(jié)合實際工程的監(jiān)測數(shù)據(jù)，建立改進的PSO-SVM模型進行預(yù)測分析，預(yù)測結(jié)果表明，改進的PSO-SVM模型的擬合能力和預(yù)測精度有了明顯的提升。

1　支持向量機理論

支持向量機是由Vapnik等人在1995年提出，它是在統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的基礎(chǔ)上來進行實現(xiàn)[4]。支持向量機被廣泛運用于解決模式分類、優(yōu)化控制、回歸分析以及非線性建模和預(yù)測等方面的問題。對于大壩變形預(yù)測這種復(fù)雜的非線性問題，建立支持向量機回歸預(yù)測模型能取得較好的結(jié)果。在處理非線性回歸問題中，假設(shè)有訓(xùn)練樣本集{xi，yi}，i=1，2，…,n。xi∈Rd，yi∈R，xi為訓(xùn)練樣本輸入，yi為實際值?；驹硎沁\用非線性映射φ(x)將輸入樣本數(shù)據(jù)空間映射到高維特征空間，在高維特征空間中構(gòu)造出線性擬合函數(shù)f(x)=ω·φ(x)+b進行回歸分析，其中ω為權(quán)值向量，φ(x)為非線性函數(shù)，b為常數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理來求解ω和b，尋優(yōu)的過程可以等價于最小化下列風(fēng)險函數(shù)[4]：

(1)

該問題為二次規(guī)劃優(yōu)化問題，運用拉格朗日乘數(shù)法、對偶原理以及引入核函數(shù)對該問題進行求解，得出問題的對偶優(yōu)化為：

(2)

(3)

根據(jù)KKT條件可以得到b，最后將ω、b代入原方程得到支持向量機回歸方程為：

(4)

K(x，xi)表示的是核函數(shù)，需滿足Mercer條件，主要是將內(nèi)積運算形式φ(x)·φ(xi)轉(zhuǎn)換成核函數(shù)K(x，xi)。本文選取的核函數(shù)為徑向基核函數(shù)(RBF)，其表達(dá)式為：

(5)

2　改進的PSO算法

PSO優(yōu)化算法是通過模擬鳥類尋找食物的群體行為特征而創(chuàng)造的一種優(yōu)化方法。算法中每一個粒子都代表要解決問題的一個潛在解，通過粒子在運動過程中的速度和位置這兩個指標(biāo)來表示粒子的行為特征，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算公式計算出每個粒子適應(yīng)度值的大小來判斷粒子的優(yōu)劣程度。在進行粒子的尋優(yōu)過程中，通過分析個體極值(Pbest)與群體極值(Gbest)的大小來不斷修正個體的位置[2,5]。個體極值是指個體在整個位置的修正過程中粒子到達(dá)最優(yōu)位置時所對應(yīng)的適應(yīng)度值，群體極值是指整個種群中的所有個體達(dá)到最優(yōu)位置時所對應(yīng)的適應(yīng)度值。粒子每一時刻所處的位置都對應(yīng)一個適應(yīng)度值，根據(jù)個體極值與群體極值的大小來不斷修正個體所處的位置，直到找到當(dāng)粒子群群體適應(yīng)度值獲得最優(yōu)值時粒子所處的位置。算法理論如下：

假設(shè)在一個D維的搜索空間里，存在一個由n個粒子所組成的種群X=(X1，X2，…，Xn)，第i個粒子Xi=[xi1，xi2，…，xiD]T表示一個D維的向量，該向量代表了第i個粒子在D維搜索空間中的位置。根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)公式計算出當(dāng)粒子所處的位置為X_i時所對應(yīng)的適應(yīng)度值，第i個粒子的速度表示為Vi=[Vi1，Vi2，…，ViD]T，個體極值為Pi=[Pi1，Pi2，…，PiD]T，全局極值為Pg=[Pg1，Pg2，…，PgD]T。

每個粒子根據(jù)個體極值和全局極值來更新自身的速度和位置，迭代的公式和過程如下：

(6)

(7)

式中：Vid為粒子的速度；i=1，2，…，n；d=1，2，…，D；k為迭代次數(shù)；ω為慣性權(quán)重；c1，c2為加速常數(shù)；r1，r2為[0，1]之間的隨機數(shù)。在迭代的過程中為了避免粒子的搜索范圍過大，將粒子的位置限制在[-Xmax，Xmax]的范圍內(nèi)，將粒子的速度限制在[-Vmax，Vmax]的范圍內(nèi)。

雖然標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法實現(xiàn)簡單，具有算法性能收斂速度快等優(yōu)點，但是也存在早熟收斂，容易陷入局部最優(yōu)解的情況。在PSO算法的速度更新公式中，慣性權(quán)重ω是決定算法性能的一個重要參數(shù)，它可以平衡PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，當(dāng)ω取較大值時，算法的全局搜索能力較強，局部搜索能力變?nèi)?。?dāng)ω取較小值時，算法的全局搜索能力較弱，局部搜索能力變強。根據(jù)PSO算法的特性，在算法初期需要有較強的全局搜索能力，算法后期需要有較強的局部搜索能力，因此當(dāng)慣性權(quán)重ω滿足遞減規(guī)律時，PSO算法可以獲得較優(yōu)的性能。標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法中慣性權(quán)重ω的取值為定值，針對標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的這一缺陷，借助標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的密度函數(shù)對慣性權(quán)重ω的取值進行修改。其表達(dá)式為：

(8)

根據(jù)該函數(shù)的函數(shù)圖像圖1可以看出，當(dāng)x>0的時候，p(x)隨x的增大而減小，滿足當(dāng)PSO算法性能較優(yōu)時，慣性權(quán)重ω逐漸遞減的規(guī)律。為了不使ω的取值偏小，引入調(diào)整系數(shù)γ，擴大ω的取值范圍。在標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的密度函數(shù)前面增加調(diào)整系數(shù)γ，并取γ=6，此時ω的最大值可取到0.95附近。因此將慣性權(quán)重公式改為：

(9)

式中的x代表PSO算法的迭代次數(shù)。

圖1　密度函數(shù)圖Fig.1 Density function diagram

(10)

式中的x代表PSO算法的迭代次數(shù)，其函數(shù)變化圖像見圖2。

圖2　分布函數(shù)圖Fig.2 Distribution function diagram

從標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的分布函數(shù)的變化圖像可以看出，當(dāng)x>0時函數(shù)F(x)的值逐漸增大，且增長速率逐漸變得緩慢。符合PSO算法在迭代初期和后期對粒子位置更新公式的要求，改進后的位置更新公式為：

(11)

3　改進的PSO-SVM模型的建立與實際工程應(yīng)用

3.1　改進的PSO-SVM模型的建立

根據(jù)第一節(jié)和第二節(jié)的理論分析，采用改進的PSO算法對SVM模型中的懲罰參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ進行尋優(yōu)，尋優(yōu)步驟如下：

(1)選擇SVM訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)和預(yù)測樣本數(shù)據(jù)，并對樣本數(shù)據(jù)進行歸一化處理。

(2)設(shè)置PSO算法和SVM模型中的參數(shù)取值，在PSO算法中，迭代次數(shù)k為500次，加速常數(shù)取c1=c2=2，粒子個數(shù)取30個。SVM模型中懲罰參數(shù)C的取值范圍為[0.1，1 000]，核函數(shù)參數(shù)σ的取值范圍為[0.01，1]。

(3)初始化粒子種群，計算粒子的適應(yīng)度值(適應(yīng)度值計算公式為SVM模型的輸出值與樣本數(shù)據(jù)真實值的均方誤差)，根據(jù)改進的PSO算法中的公式和公式來更新粒子的速度和位置。

(4)判斷是否滿足迭代停止條件，如果滿足則停止搜索，否則返回到步驟(3)。

(5)當(dāng)滿足迭代停止條件時，輸出最優(yōu)的懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ，用訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)進行SVM模型訓(xùn)練，建立改進的PSO-SVM模型，輸入預(yù)測樣本數(shù)據(jù)，得到預(yù)測輸出值。

3.2　實際工程運用

水布埡水電站位于湖北省恩施州巴東縣，是清江梯級開發(fā)的骨干樞紐。最大壩高為233 m，裝機總?cè)萘窟_(dá)到1 824 MW，是目前世界上已建成的最高面板堆石壩[9,10]。本課題組長期承擔(dān)水布埡面板堆石壩的變形監(jiān)測工作，采用自主創(chuàng)新的光纖陀螺監(jiān)測系統(tǒng)對面板撓度變形進行監(jiān)測，在0+212 m面板處安裝了光纖陀螺監(jiān)測系統(tǒng)運行管道[11]。光纖陀螺監(jiān)測系統(tǒng)為分布式監(jiān)測，測點連續(xù)，克服了傳統(tǒng)儀器點式測量的缺點，測量精度較高。選取利用光纖陀螺監(jiān)測系統(tǒng)在不同時期監(jiān)測所獲得的40組面板撓度變形數(shù)據(jù)進行建模分析，建模數(shù)據(jù)為從面板底部開始計算，監(jiān)測管道150 m處的面板撓度變形值，其中30組數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，并將2015年12月至2016年9月測得的真實數(shù)據(jù)共10組數(shù)據(jù)作為與模型預(yù)測輸出值進行對比的數(shù)據(jù)樣本，按照時間順序進行樣本編號。

在研究大壩變形問題中，面板某一點處的撓度值δ按其成因可分為3個部分，由水壓分量(δH)、溫度分量(δT)、時效分量(δθ)引起的位移所組成[7]。用公式表示為：

δ=δH+δT+δθ

(12)

由圖3可以看出，改進后的PSO-SVM模型的最佳適應(yīng)度明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型的最佳適應(yīng)度，且在迭代過程中改進后的PSO-SVM模型的適應(yīng)度值基本上一直優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型的適應(yīng)度值，最佳適應(yīng)度值收斂在2.32×10-4附近。此時最佳懲罰參數(shù)C=65.089 2，核函數(shù)σ=0.01。圖4是SVM模型、標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型、改進的PSO-SVM模型的擬合曲線圖，經(jīng)過將不同模型的擬合值與真實值進行分析得出：SVM模型擬合曲線的均方根誤差為1.47 mm，標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.36 mm，改進的PSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.30 mm，因此標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型和改進的PSO-SVM模型的擬合精度明顯優(yōu)于SVM模型的擬合精度。由圖5和表1可以看出，標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型和改進的PSO-SVM模型的預(yù)測效果明顯優(yōu)于SVM模型的預(yù)測效果，SVM模型、標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型、改進的PSO-SVM模型的預(yù)測均方根誤差分別為2.42、1.45和0.66 mm，改進的PSO-SVM模型的預(yù)測性能最優(yōu)，精度最高。

圖3　不同模型適應(yīng)度曲線比較Fig.3 Comparison of fitnesscurves for different models

圖4　不同模型擬合曲線比較Fig.4 Comparison of different model fittingcurves

圖5　不同模型預(yù)測曲線比較Fig.5 Comparison of different model predictive curves

表1　不同模型預(yù)測結(jié)果對比　mmTab.1 Comparison of different model predictions

4　結(jié)　論

本文針對標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在對SVM模型的懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ進行尋優(yōu)過程中存在的不足，根據(jù)柯西分布函數(shù)和密度函數(shù)的變化性質(zhì)對標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中粒子位置和速度的更新公式進行改進，構(gòu)建改進的PSO算法。

新算法有效地改善了標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在尋優(yōu)過程中易于陷入局部極小值和過早收斂的缺陷。運用改進的PSO算法對SVM模型的懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ進行尋優(yōu)，依靠尋優(yōu)得到的最佳懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ建立改進的PSO-SVM模型。通過對實際工程的監(jiān)測數(shù)據(jù)進行建模分析發(fā)現(xiàn)，相較于SVM模型和標(biāo)準(zhǔn)的PSO-SVM模型，改進的PSO-SVM模型的擬合效果和預(yù)測精度明顯優(yōu)于其他兩種模型。因此，改進的PSO-SVM模型在大壩安全監(jiān)測領(lǐng)域為大壩變形預(yù)測提供了一種精度較高，效果更好的預(yù)測模型，具有一定的實際應(yīng)用價值。

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