關(guān)昭，喬衛(wèi)東，楊建峰，薛彬，陶金有

（1. 中國(guó)科學(xué)院 西安光學(xué)精密機(jī)械研究所，西安 710119；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 101408）

引 言

為了解火星上的水形成及生命現(xiàn)象存在性，近50年來(lái)，世界各空間大國(guó)掀起了對(duì)火星探測(cè)的航天熱潮。為滿足火星探測(cè)活動(dòng)的直接觀測(cè)，描述火星表面的光譜特征，需選用一臺(tái)集成光、機(jī)、電、熱等多系統(tǒng)于一體的多光譜相機(jī)作為火星探測(cè)巡視器的有效載荷。為了對(duì)相機(jī)諸多功能的性能進(jìn)行調(diào)試和測(cè)試，消除儀器誤差，需要對(duì)相機(jī)的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行精準(zhǔn)的定量測(cè)量，這一過(guò)程稱為相機(jī)標(biāo)定。相機(jī)標(biāo)定主要分為彩色標(biāo)定、輻射標(biāo)定、光譜標(biāo)定、幾何標(biāo)定及在軌標(biāo)定幾類，通過(guò)檢測(cè)成像質(zhì)量，完成色彩校正、目標(biāo)物輻射能量校正、光譜校正及幾何畸變校正等成像探測(cè)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)地貌探測(cè)，掌握火星表面物質(zhì)類型分布的主要科學(xué)任務(wù)。

其中基于成像的幾何約束關(guān)系，求解相機(jī)內(nèi)部參數(shù)（焦距，主點(diǎn)，畸變系數(shù)），得到相機(jī)與地物位置關(guān)系的標(biāo)定內(nèi)容稱為幾何標(biāo)定。針對(duì)相機(jī)內(nèi)部參數(shù)固定的情況，在無(wú)星上相關(guān)單元的條件下，對(duì)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行探測(cè)和檢驗(yàn)時(shí)，地面幾何標(biāo)定是非常有必要的。在已測(cè)畸變的情況下，本文主要探究相機(jī)焦距、主點(diǎn)的獲取及其精度問(wèn)題。根據(jù)實(shí)際工程應(yīng)用需求，提出重投影誤差小于0.3pix，焦距誤差小于1%的指標(biāo)要求。火星多光譜相機(jī)共有8個(gè)光譜通道（480、525、650、700、800、900、950及1 000 nm），6個(gè)調(diào)焦位置（1.5、3.1、4.0、5.6、9.4及28.1 m），需要對(duì)每個(gè)光譜通道的調(diào)焦位置均進(jìn)行幾何標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)參數(shù)歸一化，矯正圖像畸變，完成圖像融合，鑲嵌，并最終使用該固定內(nèi)參實(shí)現(xiàn)火星地貌三維重建的科學(xué)任務(wù)。

首先，普通測(cè)繪相機(jī)的幾何標(biāo)定都是針對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)目標(biāo)，但針對(duì)本次近距離目標(biāo)成像，且距離變化范圍較大（1.5～28.1 m）的特殊情況，標(biāo)定方法應(yīng)有所調(diào)整；其次，火星相機(jī)是一臺(tái)具有8通道的多光譜相機(jī)，對(duì)于任一物距的不同光譜通道，其測(cè)量參數(shù)均有不同，故需逐個(gè)進(jìn)行標(biāo)定?；谝陨蟽牲c(diǎn)，為高效率獲得某一光譜條件下有限遠(yuǎn)成像時(shí)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，采用算法標(biāo)定法。目前算法標(biāo)定主要有3種方法：傳統(tǒng)相機(jī)標(biāo)定法、主動(dòng)視覺(jué)相機(jī)標(biāo)定法和相機(jī)自標(biāo)定法。根據(jù)王衛(wèi)文的總結(jié)：基于主動(dòng)視覺(jué)相機(jī)標(biāo)定法需利用攝像機(jī)某些運(yùn)動(dòng)信息來(lái)線性求解模型參數(shù)，但對(duì)于相機(jī)運(yùn)動(dòng)信息未知和無(wú)法控制的場(chǎng)合則不能運(yùn)用，加之實(shí)驗(yàn)設(shè)備昂貴，實(shí)驗(yàn)要求較高，故該方法實(shí)用性不強(qiáng)[1]；自標(biāo)定法僅依靠多幅圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)完成參數(shù)計(jì)算，靈活性較高，由于其多解性和噪聲造成的低魯棒性導(dǎo)致解的精度不高[2]；傳統(tǒng)的相機(jī)標(biāo)定法雖需使用精度較高的標(biāo)定板，但適用于任意攝像機(jī)模型，且標(biāo)定精度較高[13-16]。由于火星多光譜相機(jī)的調(diào)焦檔位固定，擬用傳統(tǒng)相機(jī)標(biāo)定法完成多光譜相機(jī)的標(biāo)定工作。

傳統(tǒng)相機(jī)標(biāo)定法主要包括直接線性變換法、Tsai兩步法、張正友算法及Heikkil?算法等。通過(guò)大量研究前人成功的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為每種標(biāo)定技術(shù)均有優(yōu)點(diǎn)，但也含缺點(diǎn)，我們企圖把各種標(biāo)定技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)予以重新組合，找出自己的標(biāo)定思路。邱茂林提出：直接線性變換法雖可通過(guò)求解線性方程的手段就可獲得相機(jī)模型參數(shù)，但卻忽略了成像過(guò)程中的非線性畸變問(wèn)題[3]；Tsai兩步法在直接線性變換法的基礎(chǔ)上[4-6]，考慮畸變因素，并利用最優(yōu)化算法進(jìn)一步提高定標(biāo)精度，但由于僅僅考慮徑向畸變而導(dǎo)致成像模型不夠準(zhǔn)確；張正友算法在對(duì)標(biāo)定板要求并不高[7]的情況下仍具有良好的魯棒性，但柳溜指出：成像距離對(duì)張正友算法的精度影響較大[8]；Heikkil?算法精確度較高，且不受物距影響算法精度，但需提供具有良好魯棒性的初始值，綜上所述本文在選擇張正友算法基礎(chǔ)上改進(jìn)的Heikkil?算法。

1 標(biāo)定原理

傳統(tǒng)標(biāo)定法中，首先通過(guò)小孔成像模型建立高精度靶標(biāo)上的特征點(diǎn)與其影像點(diǎn)間的投影關(guān)系，再添加畸變約束，最終通過(guò)非線性優(yōu)化得到相機(jī)內(nèi)部參數(shù)。

Heikkil?算法精度較高，但需提供具有抗噪性的初始值。使用魯棒性強(qiáng)的標(biāo)定初值是完成非線性優(yōu)化，得到準(zhǔn)確參數(shù)中至關(guān)重要的第一步。張正友算法中驗(yàn)證了該方法下所得噪聲中估算參數(shù)保持非常穩(wěn)定（其誤差小于0.02%[7]），可獲得具有抗噪性的穩(wěn)定相機(jī)參數(shù)，因此本文在清晰成像的基礎(chǔ)上，先使用具有抗噪性的張正友算法得到魯棒性較好的內(nèi)外方位元素初始值，通過(guò)迭代搜索獲得優(yōu)化結(jié)果，并代入后向相機(jī)模型中求出畸變系數(shù)，同時(shí)得到經(jīng)過(guò)非線性優(yōu)化的待求參數(shù)，最終通過(guò)估算參數(shù)的不確定度，評(píng)判算法的有效性。

1.1 張正友算法

標(biāo)定模型通常使用線性針孔模型，將世界坐標(biāo)系的特征點(diǎn)投影到像素平面中[9]，令三維空間中任意一物點(diǎn)Q（X，Y，Z）對(duì)應(yīng)像素坐標(biāo)系中的像點(diǎn)坐標(biāo)為q（u，v），用=（u，v，1）T和=（X，Y，Z，1）T分別表示像方，物方的齊次坐標(biāo)。

由針孔模型的共線條件可知

圖1 針孔模型Fig.1 Pinhole model

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣中向量的標(biāo)準(zhǔn)正交性，用最小二乘法建立關(guān)于P-TP-1的方程，后通過(guò)cholesky分解求取內(nèi)方位元素矩陣P，進(jìn)而求取外方位元素矩陣[R t]。

由于上述求解過(guò)程只是得到了最小代數(shù)距離，不具有物理意義，因此還需要最大似然估計(jì)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，給定t幅圖像，每幅圖有s個(gè)控制點(diǎn)，假設(shè)像點(diǎn)被獨(dú)立同分布的噪聲污染，則最大似然估計(jì)可由下式表示

為迭代搜索提供初值，其中：Nu,Nv為水平和豎直方向的尺寸；f0為焦距；為第K幅圖的外方位元素。

1.2 迭代搜索

上節(jié)得到線性模型下的求解參數(shù)后，通過(guò)最大似然估計(jì)完成優(yōu)化。本章考慮噪聲干擾，在前向相機(jī)模型中進(jìn)一步對(duì)所得參數(shù)實(shí)現(xiàn)非線性優(yōu)化。迭代搜索基于馬氏距離的判別，通過(guò)最小化觀測(cè)值與模型之間平方差的加權(quán)和實(shí)現(xiàn)計(jì)算值逼近觀測(cè)值。假設(shè)有t幅圖像，且每幅圖形有s個(gè)控制點(diǎn)，用eo(s,t)表示第t幅圖中觀測(cè)圖像坐標(biāo)系下角點(diǎn)s，ed(s,t)為前向相機(jī)模型中相應(yīng)的解算向量，故目標(biāo)函數(shù)表示如下[10]

其中

測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣

其中：Ce(s,t)=E{[eo(s,t)-E{ed(s,t)}][eo(s,t)-E{ed(s,t)}]T}，該值可從相同位置和方向拍攝的不同照片中得到。最終前向相機(jī)模型中的參數(shù)通過(guò)下式得到

1.3 后向相機(jī)模型

在許多應(yīng)用中，都需要將觀測(cè)圖像坐標(biāo)再投影到三維坐標(biāo)空間中，在這一步驟中，通過(guò)前后向模型的一致性，得到畸變系數(shù)δ=[k1,k2,...,p1,p2,...]T，其中k1,k2,...,為徑向畸變系數(shù)，p1,p2,...為切向畸變系數(shù)[11]，畸變系數(shù)因切向畸變較小，為增加解算穩(wěn)定性，故將其設(shè)置為0，畸變系數(shù)通過(guò)下式計(jì)算得出

其中：

理想坐標(biāo)ac=[u,v]T，

實(shí)際坐標(biāo)ad=[ud,vd]T

1.4 不確定度分析

不確定度分析表征計(jì)算結(jié)果的分散性和計(jì)算值的可信賴程度。不確定度越小，表示計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)結(jié)果，越可靠，反之亦然。利用檢測(cè)誤差及所建模型求得最終結(jié)果的偏差程度，并以此為標(biāo)準(zhǔn)，衡量本文算法的精確程度。

參考文獻(xiàn)[12]，假設(shè)共有t幅圖，每幅圖有s個(gè)控制點(diǎn)，因每次使用同樣步驟提取角點(diǎn)，根據(jù)其觀測(cè)獨(dú)立性可假設(shè)圖像對(duì)應(yīng)角點(diǎn)坐標(biāo)q（u，v）是協(xié)方差陣為σ2I的隨機(jī)量，根據(jù)共線模型（1）可得

P=[PAPB]是待求參數(shù)，

因?yàn)榭臻g點(diǎn)一般為高精度的確定量，故式（11）式可簡(jiǎn)化為

根據(jù)誤差擴(kuò)散理論（見(jiàn)文獻(xiàn)[12]），標(biāo)定參數(shù)P的協(xié)方差矩陣為

(i=1～t)

則

當(dāng)空間模板特征點(diǎn)數(shù)目增加時(shí)，

即ΛP每個(gè)參數(shù)方差減少。

2 標(biāo)定過(guò)程

選取棋盤(pán)格角點(diǎn)作為世界坐標(biāo)系下的觀測(cè)點(diǎn)，用火星多光譜相機(jī)固定光譜通道及調(diào)焦檔位對(duì)不同位姿，覆蓋一定物距范圍內(nèi)的標(biāo)定板進(jìn)行拍攝，并獲取觀測(cè)點(diǎn)影像在圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，通過(guò)標(biāo)定模型，解算出相機(jī)內(nèi)參，最后用求解的內(nèi)部參數(shù)和觀測(cè)點(diǎn)世界坐標(biāo)來(lái)估計(jì)觀測(cè)點(diǎn)影像，并與實(shí)際影像點(diǎn)比較，將兩者之間的誤差作為評(píng)判算法精度的重要依據(jù)。

2.1 實(shí)驗(yàn)條件及注意事項(xiàng)

本次標(biāo)定任務(wù)需要的實(shí)驗(yàn)器材包括多光譜相機(jī)，升降臺(tái)，以及固定支架等儀器。根據(jù)Heikkil?所述，為減少光照差異而導(dǎo)致的標(biāo)定偏差，故選擇室外條件下進(jìn)行照片采集[14]。本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在matlab 2017a的軟件平臺(tái)下完成。

數(shù)據(jù)采集的過(guò)程中需使定標(biāo)版出現(xiàn)的所有位置占據(jù)整個(gè)視野范圍，且單幅圖像中標(biāo)定板占比達(dá)到70%左右。為降低相機(jī)內(nèi)參間的相干性，應(yīng)對(duì)標(biāo)定板進(jìn)行多角度，多物距的拍攝。張正友提出當(dāng)標(biāo)定板與像平面夾角約為45°時(shí)，得到誤差較低的標(biāo)定結(jié)果[7]，故采集數(shù)據(jù)過(guò)程中使位姿變換的定標(biāo)版與相平面的夾角成45°左右。此外，陳曉燕通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到張氏算法中使用圖片的數(shù)量在20～30為宜[15]，且因視野邊緣畸變較大，故邊角處需要拍攝多幅照片，所以本次實(shí)驗(yàn)選擇定標(biāo)版在視野范圍的4個(gè)邊角及中心處，不同物距，不同姿態(tài)的圖片中各選5幅圖，最終使用25幅。

2.2 采集數(shù)據(jù)

如前所述原理，需要在像平面內(nèi)檢測(cè)棋盤(pán)格角點(diǎn)作為像點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)列寫(xiě)公式（2），其圖像的質(zhì)量將直接影響檢測(cè)精度。拍攝過(guò)程中，噪聲污染并不明顯，未能形成視覺(jué)障礙，但像質(zhì)模糊卻成為降低圖像質(zhì)量的主要因素。因此本文主要探討怎樣采集畫(huà)面清晰的圖像。

分析表明，正確對(duì)焦的情況下，圖像邊緣清晰可辨，包含信息最豐富，但隨著離焦量的增加，圖像變得模糊，邊緣平滑，其信息含量減少。故可通過(guò)提取圖像的邊緣信息反映圖像的清晰度，并生成判別函數(shù)。在確定好相機(jī)與標(biāo)定板的位置關(guān)系后，再由判別函數(shù)找到合適的調(diào)焦位置。參考文獻(xiàn)[16]中方法，將該過(guò)程分為以下5步。

第1步：找出像素點(diǎn)的最大灰度差方向，I為原圖，h為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

最大灰度梯度方向圖像為

第2步：引入閾值，去除圖像平坦區(qū)域的梯度影響因素，利用Ostu分割算法得出理論最佳閾值T，得到新的灰度梯度圖像G′

第3步：通過(guò)對(duì)灰度梯度圖像G′所在邊緣8鄰域內(nèi)搜索來(lái)剔除孤立噪聲產(chǎn)生的偽邊緣

其中：Edge(x,y)為像素點(diǎn)（x，y）的8鄰域中的邊緣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

第4步：生成歸一化的清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)

根據(jù)該評(píng)價(jià)函數(shù)的單峰性和無(wú)偏性，找出極值所對(duì)應(yīng)的像面位置，此時(shí)成像最清晰，得到圖2，符合人眼評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

圖2 像面為清晰評(píng)價(jià)函數(shù)峰值處的成像Fig.2 The image which is at the peak of the function for sharp evaluation

第5步 使用本文算法，得到準(zhǔn)確的標(biāo)定結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為滿足工程需要，需對(duì)8個(gè)光譜通道，6個(gè)調(diào)焦位置，共48組相機(jī)內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，并提出重投影誤差小于0.3 pix，焦距誤差小于1%的指標(biāo)要求。

因本文在現(xiàn)有算法基礎(chǔ)上，不但完成了三維空間中特征點(diǎn)投影到像平面的前向模型計(jì)算，還引入了像點(diǎn)到三維特征點(diǎn)的后向模型優(yōu)化，故待求參數(shù)的精度較高，不確定度較小，其焦距不確定度達(dá)到0.7‰，視場(chǎng)內(nèi)主點(diǎn)不確定度可達(dá)3.1%；因使用魯棒性較高的張正友算法初值，故后續(xù)非線性優(yōu)化算法的參數(shù)準(zhǔn)確度更高，計(jì)算速率也有所提高。表1是本文算法與張正友EasyCalib軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比（第8通道，調(diào)焦位置1的數(shù)據(jù)）。

表1 本文算法和張正友算法對(duì)比Table 1 The contrast between our method and Zhang's

從表中可知，即使在過(guò)曝情況下，本文計(jì)算結(jié)果與張氏算法相差不大，且誤差平方和仍較張氏算法有小幅下降；當(dāng)剔除因過(guò)曝導(dǎo)致誤差偏大的角點(diǎn)后，本文算法的誤差平方和顯著下降，證明本文算法的有效性。

為證明達(dá)到指標(biāo)要求，本文另外計(jì)算重投影誤差及各參數(shù)的不確定度，如表2所示，在過(guò)曝情況下，角點(diǎn)提取不準(zhǔn)確導(dǎo)致參數(shù)的不確定度較大[17-19]，且重投影誤差超過(guò)應(yīng)用指標(biāo)0.3 pix；當(dāng)在正常情況下，本文所得內(nèi)參不確定度均有所下降，重投影誤差為0.25 pix，滿足實(shí)際應(yīng)用。

表2 參數(shù)精度指標(biāo)Table 2 The accuracy of parameters

為探究焦距誤差，現(xiàn)以第5、6個(gè)光譜（800，900 nm）通道為例進(jìn)行說(shuō)明，分別計(jì)算在第5、6光譜通道中6個(gè)調(diào)焦位置的焦距，如表3～4所示，焦距誤差如圖3。

圖3 本文所得5、6通道焦距值與光學(xué)仿真焦距值的誤差曲線Fig.3 The deviation curve of focal length value on the fifth，sixth channel obtained by comparing our algorithm and optical simulation

表3 第5通道6個(gè)調(diào)焦位置的焦距Table 3 The focal length of 6 focusing positions on the 5th channel

表4 第6通道6個(gè)調(diào)焦位置的焦距Table 4 The focal length of 6 focusing positions on the 6th channel

由于本文針對(duì)的應(yīng)用都是小物距（成像光線并非平行光）情況[20-21]，故嚴(yán)格意義下所求相機(jī)參數(shù)應(yīng)為像距，但根據(jù)視覺(jué)領(lǐng)域通用說(shuō)法，將其稱為焦距。由焦距誤差曲線可知，其值都控制在5‰，遠(yuǎn)小于1%，滿足應(yīng)用要求。由圖3分析得知，物距較小時(shí)，光學(xué)仿真值大于算法值，而隨物距的增大，光學(xué)仿真值和算法值都有所下降，且算法值下降速率越來(lái)越緩，直至最后大于仿真值[22]。這是因?yàn)樵诠鈱W(xué)模型中，由高斯公式可知焦距與物距存在倒數(shù)關(guān)系，而算法模型中，由張正友算法模型知焦距與物距的關(guān)系大約是倒數(shù)的開(kāi)根。故當(dāng)物距增加時(shí)，誤差出現(xiàn)從負(fù)到正的過(guò)程，且變化規(guī)律基本滿足倒數(shù)及其開(kāi)根的混合運(yùn)算。

4 結(jié) 論

本算法在獲得清晰圖像的基礎(chǔ)上，使用張正友算法與Heikkil?算法結(jié)合的方法完成幾何標(biāo)定后，分別對(duì)比本文結(jié)果，張正友算法，及光學(xué)仿真值，驗(yàn)證重投影誤差及焦距誤差滿足實(shí)際應(yīng)用需求。實(shí)驗(yàn)表明，即使在過(guò)曝情況下，本文算法精度仍稍高于張正友算法，魯棒性更強(qiáng)，未來(lái)的工作將通過(guò)數(shù)據(jù)擬合的方法進(jìn)一步探究物距和焦距之間的關(guān)系，優(yōu)化相關(guān)參數(shù)，使得模型更完善，標(biāo)定結(jié)果更準(zhǔn)確；同時(shí)需探究處理圖像畸變的相關(guān)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)圖像幾何畸變校正，提高其位置精度。