周　亮，馬訓(xùn)鳴

(西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

0　引言

Stewart平臺(tái)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度大、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)負(fù)荷小以及積累誤差小等優(yōu)勢(shì)[1]。Stewart平臺(tái)由六套閥控缸電液位置伺服系統(tǒng)組成，而液壓缸系統(tǒng)的連接將影響其相互間各通道的輸出和控制，導(dǎo)致系統(tǒng)控制精度的下降以及負(fù)載的交聯(lián)耦合。一般而言，為了提高整個(gè)系統(tǒng)的控制精度，主要采用提高單通道抗干擾性和控制精度的方法。而非線(xiàn)性時(shí)變的單通道電液位置伺服系統(tǒng)具有參數(shù)變化大、阻尼比小、非線(xiàn)性程度高等特點(diǎn)[2]。比如通過(guò)采用閉環(huán)比例控制系統(tǒng),利用該系統(tǒng)的振蕩周期和臨界比例增益獲得PID控制器的3個(gè)參數(shù)值，即常規(guī)的PID控制參數(shù)整定方法(Z-N法)[3]。因?yàn)樵摲椒ú⑽传@得伺服控制參數(shù)的最優(yōu)值，所以易使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象。Charles C[4]為了改進(jìn)傳統(tǒng)自適應(yīng)方法在計(jì)算逆動(dòng)力學(xué)模型方面的不足，提出了一種非補(bǔ)償模型參考自適應(yīng)控制方法。但由于該方法必須以平臺(tái)的緩慢運(yùn)動(dòng)變化作為前提條件，故不適用于運(yùn)動(dòng)變化較快的平臺(tái)。呂彬[5]提出了通過(guò)遺傳算法調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)的方法，但搜索較精確的解需要較多的時(shí)間。由于參數(shù)的選擇決定解的優(yōu)化與否，且遺傳算法參數(shù)選擇大部分取決于經(jīng)驗(yàn)，故參數(shù)的選擇經(jīng)驗(yàn)顯得尤為重要。此外，還有一些學(xué)者為了最優(yōu)化某種性能指標(biāo)，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)。

1　基于蟻群算法的PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1　PID控制器參數(shù)優(yōu)化原理

在PID控制系統(tǒng)中，與PID位置算式[6]對(duì)應(yīng)的PID增量算式為：

(1)

式中：Δu(n)為本次控制量的增量；e(n)為本次控制偏差；Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)；T為采樣周期。

在式(1)中，假設(shè)被控對(duì)象的模型和采樣周期已知，只要Kp、Ti和Td這3個(gè)參數(shù)確定，PID控制器就可以使控制系統(tǒng)的某個(gè)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。

工業(yè)控制過(guò)程中，使用較普遍的策略是PID控制。PID控制具有魯棒性好、算法簡(jiǎn)單、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。蟻群算法由于具有正反饋、分布式、自組織等優(yōu)點(diǎn)，是一種魯棒性較強(qiáng)的仿生進(jìn)化算法[7]。因此，本文采用基于蟻群算法的PID控制器對(duì)Stewart平臺(tái)非線(xiàn)性模型進(jìn)行控制，有效地避免了常規(guī)PID控制算法的局限性，改善了其性能。蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　PID參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)框圖

1.2　蟻群算法設(shè)計(jì)

①構(gòu)建爬行路徑。

段海濱[8]對(duì)螞蟻爬行路徑進(jìn)行設(shè)計(jì)改造。按規(guī)則：Kp有6個(gè)有效數(shù)位，即小數(shù)點(diǎn)前2位、小數(shù)點(diǎn)后4位；Ti和Td都有5個(gè)有效數(shù)位，分別為小數(shù)點(diǎn)前1位、小數(shù)點(diǎn)后4位。把這3個(gè)參數(shù)抽象地表示在xoy平面上，作為螞蟻節(jié)點(diǎn)和爬行路徑，如圖2所示。假設(shè)有16條垂直于x軸的等長(zhǎng)度且等間距的線(xiàn)段：L1，L2,…，L16。圖2中的橫坐標(biāo)為L(zhǎng)1～L16在x軸上的位置，分別代表Kp、Ti和Td的數(shù)位。然后，對(duì)線(xiàn)段進(jìn)行9等分，則各個(gè)線(xiàn)段都會(huì)有10個(gè)節(jié)點(diǎn)，表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)在各個(gè)線(xiàn)段上可能取10個(gè)值，分別為0～9。如節(jié)點(diǎn)(3，7)表示Kp的第3個(gè)數(shù)位(即Kp值小數(shù)點(diǎn)后第1位)值為7。

圖2　螞蟻節(jié)點(diǎn)和爬行路徑

在蟻群的爬行路徑中， PID控制器參數(shù)和各個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成映射關(guān)系，3個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式為：

(2)

圖2中，螞蟻的爬行路徑為(8-1-7-0-2-1-0-0-4-7-0-0-0-1-1-8)。按照式(2)，可表示一組PID控制器參數(shù)為(81.702 1，0.047 0，0.011 8)。

②建立目標(biāo)函數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)需保證系統(tǒng)具備良好性能，因此必須以系統(tǒng)的性能指標(biāo)為依據(jù)。采用單一的目標(biāo)函數(shù)作為傳統(tǒng)的工程優(yōu)化指標(biāo)，很難使伺服控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能達(dá)到最佳狀態(tài)。為了得到更好的動(dòng)態(tài)性能，可定義目標(biāo)函數(shù)為：

(3)

式中：σ為超調(diào)量；tr為上升時(shí)間；ts為調(diào)整時(shí)間；σ0、tr0和ts0為采用傳統(tǒng)Z-N法[3]得到的系統(tǒng)性能指標(biāo)；λα、λtr和λts為加權(quán)系數(shù)，λσ+λtr+λts=1。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，λσ、λtr和λts分別取為0.6、0.2和0.2。

σ、tr和ts的約束條件為:

(4)

③路徑點(diǎn)的選擇。

蟻群根據(jù)基準(zhǔn)路徑，按照每個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息量(即轉(zhuǎn)移概率)，依次選擇所有節(jié)點(diǎn)并生成蟻群路徑。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息量決定蟻群轉(zhuǎn)移概率，而蟻群爬行路徑又是根據(jù)基準(zhǔn)路徑上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息量的變化而變化的。若所有螞蟻都是從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)(xi,yi)爬行到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)(xi+1,yj+1)，則按照隨機(jī)規(guī)則選擇路徑。若設(shè)Pk(xi,yi,j,t)為該時(shí)刻第k只螞蟻爬行的概率，則：

(5)

④信息素的更新。

啟發(fā)信息會(huì)因?yàn)闅埩粜畔⑦^(guò)多而被吞沒(méi)。為了防止該狀況的發(fā)生，在蟻群實(shí)現(xiàn)一次循環(huán)后，需要更新各個(gè)節(jié)點(diǎn)的殘留信息。

因此，在(t+n)時(shí)刻，路徑(i,j)上的信息量可按以下規(guī)則進(jìn)行調(diào)整：

(6)

式中：ρ為信息素?fù)]發(fā)系數(shù)；Δτij(t)為此次循環(huán)中路徑(i,j)上的信息素增量，初始時(shí)刻Δτij(0)=0；m為蟻群的規(guī)模。

(7)

式中：Q為信息素強(qiáng)度；Jk為目標(biāo)函數(shù)值。

對(duì)信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ采用自適應(yīng)控制策略，可以提高求解的效率，即將該系數(shù)變成如下閾值函數(shù)：

(8)

式中：ρmin為最小信息素?fù)]發(fā)系數(shù)。

通過(guò)上述分析，得到基于蟻群算法的六自由度PID控制參數(shù)最優(yōu)解算法流程圖，如圖3所示。

圖3　算法流程圖

2　系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及仿真

因?yàn)镾tewart平臺(tái)的6個(gè)液壓伺服通道是相同的，如果要為控制器設(shè)計(jì)提供依據(jù)，則只需要對(duì)單通道進(jìn)行傳遞函數(shù)推導(dǎo)。Stewart平臺(tái)單通道伺服系統(tǒng)的廣義被控對(duì)象為功率放大器、比例閥、液壓缸及其負(fù)載。被控對(duì)象結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4　被控對(duì)象結(jié)構(gòu)圖

以下討論各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)[9]。

①放大器傳遞函數(shù)的確定。

本伺服系統(tǒng)采用電流負(fù)反饋型伺服放大器。由于其動(dòng)態(tài)特性可以忽略不計(jì)，故輸入電壓Ug和輸出電流ΔI近似成比例，其增益Ka為：

(9)

②位移傳感器傳遞函數(shù)的確定。

循環(huán)式真空噴砂系統(tǒng)使用負(fù)壓系統(tǒng)進(jìn)行砂粒的回收工作，系統(tǒng)所需負(fù)壓由真空源提供，常用的真空源種類(lèi)有高壓離心風(fēng)機(jī)、羅茨風(fēng)機(jī)、真空泵和氣動(dòng)真空發(fā)生器等[7].用于金屬砂?；厥盏膲毫Ρ仨氝_(dá)到30～60 kPa，且應(yīng)具有足夠的空氣流量.常見(jiàn)的高壓離心風(fēng)機(jī)，壓力較高，但空氣流量較低，回收能力較弱，適于磨料的短距離回收或小密度、小顆粒噴砂介質(zhì)的回收，如塑料砂粒和植物型砂粒等.羅茨風(fēng)機(jī)能夠提供所需的較高壓力，但工作噪聲較大.真空泵雖可以達(dá)到較高壓力，但常用的真空泵流量都比較小，不適用于大量砂粒的回收.氣動(dòng)真空發(fā)生器，氣體流量很小，也不適用砂粒的回收.

本伺服系統(tǒng)采用的是MTS公司的磁致伸縮傳感器，其動(dòng)態(tài)特性可以忽略不計(jì)，傳遞函數(shù)也可以作為比例環(huán)節(jié)處理。其傳遞函數(shù)為：

(10)

③伺服閥傳遞函數(shù)的確定。

系統(tǒng)采用的是HVM064型比例換向閥，其傳遞函數(shù)為：

(11)

式中：Q0為伺服閥的空載流量；ΔI為伺服閥的工作電流；Ksv為伺服閥的流量增益；ζsv為伺服閥的阻尼比；ωsv為伺服閥的固有頻率。

④液壓缸傳遞函數(shù)的確定。

由于負(fù)載特性沒(méi)有彈性負(fù)載，故液壓馬達(dá)和負(fù)載的傳遞函數(shù)為：

(12)

式中：θm為伺服油缸輸出量；θ0為伺服油缸輸入量；Ap為伺服油缸的內(nèi)徑面積；ζh為阻尼系數(shù)；ωh為液壓缸的固有頻率。

通過(guò)上述分析，可得到六自由度平臺(tái)的單通道伺服系統(tǒng)框圖，如圖5所示。

圖5　單通道伺服系統(tǒng)框圖

忽略干擾的影響，由圖5可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

(13)

式中：qn為伺服閥的額定流量；ps為實(shí)際供油壓力；In為伺服閥的額定電流；psn為通過(guò)額定流量時(shí)伺服閥的壓降；Vt為油缸兩腔的總控制容積；Mt為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；βe為液壓油的有效體積的彈性模量。

液壓伺服系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示。

表1　液壓伺服系統(tǒng)參數(shù)

蟻群算法的主要初始化參數(shù)如表2所示。

表2　主要初始化參數(shù)

通過(guò)Matlab軟件，利用蟻群算法，對(duì)Z-N法求出的PID控制參數(shù)進(jìn)行仿真。PID 控制器蟻群設(shè)計(jì)的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖6所示。

由圖6可以看出，采用Z-N法系統(tǒng)的超調(diào)量為68.01%；而采用改進(jìn)的蟻群算法，超調(diào)量?jī)H為16.97%，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到了顯著的改善。

圖6　階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

蟻群算法的最優(yōu)值進(jìn)化曲線(xiàn)如圖7所示。

圖7　最優(yōu)值進(jìn)化曲線(xiàn)

Z-N法和蟻群算法的PID參數(shù)和性能指標(biāo)如表3所示。

表3　PID參數(shù)和性能指標(biāo)

3　結(jié)束語(yǔ)

基于六自由度并聯(lián)平臺(tái)的 PID控制參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，提出了蟻群 PID優(yōu)化算法。該優(yōu)化算法能夠提高響應(yīng)速度，有效減少伺服系統(tǒng)的超調(diào)。同時(shí)，本文提出了一個(gè)具有不完全微分的最優(yōu)PID控制器設(shè)計(jì)方法。該方法具有一定的有效性及應(yīng)用價(jià)值，可在理論和實(shí)踐方面作進(jìn)一步的探索。由于該優(yōu)化策略不依賴(lài)被控對(duì)象的確定數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題更便利，適應(yīng)性更強(qiáng)，因此可以應(yīng)用于其他平臺(tái)控制參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。算法的參數(shù)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定。設(shè)定的參數(shù)不同，優(yōu)化的效果也不同，從而在一定程度上限制了蟻群算法的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn):

[1] 汪勁松,黃田.并聯(lián)機(jī)床-機(jī)床行業(yè)面臨的機(jī)遇與挑戰(zhàn)[J].中國(guó)機(jī)械工程,1999,10(10):60-65.

[2] 李磊.六自由度并聯(lián)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律及控制方法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué),2007.

[3] ZIEGLER J G,NICHOLS N B.Optimum settings for automatic controllers[J].Transactions of the A.S.M.E.,1942,64(11):759-765.

[4] NGUYEN C C,ANTRAZI S S,ZHOU Z L.Adaptive control of a Stewart platform-based manipulator[J].Journal of Robotic Systems,1993,10(5):657-687.

[5] 呂彬,董建園.基于遺傳算法的六自由度并聯(lián)平臺(tái)的控制[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2015,51(2):76-81.

[6] 陶永華,尹怡欣,葛蘆生.新型PID控制及其應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1998.

[7] 詹士昌,吳俊.基于蟻群算法的 PID 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].測(cè)控技術(shù),2004,23(1):69-71.

[8] 段海濱.蟻群算法及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[9] 周亞超.并聯(lián)式六自由度液壓運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的分析與研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2015.