萬 波，陳 琴

（江漢大學(xué)a.商學(xué)院；b.文理學(xué)院，武漢 430056）

0 引言

隨著社會的進(jìn)步與生活水平的提高，顧客需求的多樣化程度越來越高，需要建立不同層級的設(shè)施，以滿足顧客的多樣化需求。層級設(shè)施在服務(wù)領(lǐng)域廣泛存在，典型的層級設(shè)施包括醫(yī)院、學(xué)校以及急救中心等。層級設(shè)施選址在規(guī)劃過程中需要考慮諸多的不確定因素，例如顧客對服務(wù)的需求具有不確定性，特別是當(dāng)前城鎮(zhèn)化過程中人口波動所導(dǎo)致的需求波動。此外，選址決策的長期性導(dǎo)致旅行時間、建設(shè)成本等相關(guān)因素也會隨著時間發(fā)生變化。因此，研究不確定性需求下的層級設(shè)施選址問題具有重要的意義。

處理不確定性問題的方法包括隨機(jī)規(guī)劃、模糊規(guī)劃以及魯棒優(yōu)化方法等。隨機(jī)規(guī)劃需要事前給出不確定參數(shù)的概率分布，這在多數(shù)情況下是較困難的，而模糊規(guī)劃要求事先給出不確定參數(shù)的模糊隸屬度函數(shù)，其具有一定的主觀性。魯棒優(yōu)化起源于魯棒控制理論，可以很好地解決由于數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確而導(dǎo)致的決策風(fēng)險，從而得到數(shù)據(jù)不確定情況下的魯棒最優(yōu)解[1]。魯棒優(yōu)化包括相對魯棒優(yōu)化、絕對魯棒優(yōu)化以及偏差魯棒優(yōu)化等，相對后悔值模型通過控制各種情景下目標(biāo)值與最優(yōu)值的波動來保持最優(yōu)解的穩(wěn)定性，是一種典型的相對魯棒優(yōu)化模型[2]。

Vincenzo等[3]針對需求、成本等市場因素不確定的情況，以各種情景下相對后悔值的期望值最小化為目標(biāo)，建立了帶容量限制的魯棒優(yōu)化模型。胡丹丹和楊超[4]針對截流選址問題中流量的不確定性，建立了魯棒隨機(jī)截流選址模型。韋憶立和高詠玲[2]利用相對遺憾值約束來控制實際成本與最優(yōu)成本的差距，建立了配送中心選址的魯棒優(yōu)化模型。何珊珊等[5]引入控制參數(shù)對各需求點應(yīng)急物資的需求進(jìn)行控制，建立了多目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型。高雷阜等[6]針對不確定因素對應(yīng)急物資儲備庫選址決策的影響，建立了相應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。以上文獻(xiàn)僅對單一層級設(shè)施選址問題進(jìn)行研究，而利用魯棒優(yōu)化模型對多層級設(shè)施選址問題研究鮮見于文獻(xiàn)。Pehlivan等[7]建立了設(shè)施與顧客均具有嵌套性的層級設(shè)施選址模型，對法國上塞納省婦產(chǎn)科醫(yī)院選址進(jìn)行規(guī)劃；Teixeira和Antunes[8]提出了帶容量限制的層級設(shè)施選址模型，對學(xué)校選址問題進(jìn)行了研究；Ratick等[9]建立了最大覆蓋層級選址模型，對醫(yī)療設(shè)施選址問題進(jìn)行了研究；陳志芬等[10]建立了應(yīng)急設(shè)施層級選址模型，并利用實驗進(jìn)行了模擬。以上文獻(xiàn)對層級設(shè)施選址研究沒有考慮需求的不確定性。本文考慮層級設(shè)施選址過程中的需求不確定性因素，建立了基于魯棒優(yōu)化的層級設(shè)施選址模型，并以武漢市某區(qū)的醫(yī)院為例進(jìn)行實例分析。

1 問題背景與模型符號

1.1 問題背景

本文的研究對象為多層級的醫(yī)院類設(shè)施選址問題。首先，醫(yī)院服務(wù)系統(tǒng)的顧客需求具有不確定性。由于受城鎮(zhèn)化因素的影響，大批農(nóng)民涌入城市，導(dǎo)致就醫(yī)需求出現(xiàn)波動；另外，城市內(nèi)部的流動性較大，也導(dǎo)致就醫(yī)需求不確定性增加。其次，醫(yī)院所提供的服務(wù)具有層級性與嵌套性。服務(wù)設(shè)施的層級性是由需求多樣性和需求偏好所決定的，即需要建立多級醫(yī)院，以滿足不同層次的需求，這也是國家分級診療制度的要求；同時，層級設(shè)施根據(jù)其服務(wù)水平可分為嵌套型與非嵌套型，本文研究的醫(yī)院是典型的嵌套型設(shè)施，即高級別設(shè)施除提供該層級特有的服務(wù)外，還應(yīng)覆蓋低級別設(shè)施所提供的服務(wù)。此外，醫(yī)院選址需要考慮成本與效用的均衡性。一方面，要考慮成本因素，各級醫(yī)院設(shè)置最小與最大容量約束；另一方面，醫(yī)院需要盡可能發(fā)揮資源的利用效率，為全體人民提供醫(yī)療服務(wù)。

1.2 模型符號

模型有關(guān)參數(shù)定義如下：

H：表示需求點的需求層次、設(shè)施點的服務(wù)層級的集合；I：需求點集合，i∈I；

J：設(shè)施候選點集合，j∈J；

k：需求點的需求層次和設(shè)施點的服務(wù)層次，k∈H；t：設(shè)施點的服務(wù)等級，t∈H；

dij：需求點i到設(shè)施候選點j的距離；

uiks：情景s下需求點i第k層的需求量；

bjt：點j所設(shè)立t級醫(yī)院承擔(dān)的最高級服務(wù)的最低需求量（下文稱為服務(wù)能力最小值）；

Bjtk：點j所設(shè)立t級醫(yī)院提供的第k層服務(wù)的最大服務(wù)能力（下文稱為服務(wù)能力最大值）；

wjks：情景s下點j承擔(dān)的第k層需求量。

同時定義如下的決策變量：

xijks：情景s下如果需求點i第k層需求由點j服務(wù)，則xijks=1，否則為0；

yjt：如果點j被選中為t級醫(yī)院，則yjt=1；否則為0。

2 模型建立

2.1 p-魯棒優(yōu)化模型

p-魯棒優(yōu)化模型是一種相對后悔值模型。設(shè)p為相對后悔值限定系數(shù)，p≥0；S為情景集，對于特定的情景s而言，Ps為確定的最小化問題，設(shè)Ps的最優(yōu)目標(biāo)值為，X為所有情景S下問題Ps的可行解，zs(X)為情景s對應(yīng)的目標(biāo)值，當(dāng)時，稱X為問題Ps的p-魯棒解稱為相對后悔值[11]。

p-魯棒優(yōu)化模型為：

式中，qs為情景s發(fā)生的概率；Ω為可行解空間[12]。

2.2 基于魯棒優(yōu)化的層級設(shè)施選址模型

本文建立了基于魯棒優(yōu)化的層級設(shè)施選址（Hierarchical Robust，HR）模型。該模型以實現(xiàn)各情景下的期望需求加權(quán)距離最小化為目標(biāo)，同時考慮各級需求全覆蓋、服務(wù)水平的嵌套性、不同層級設(shè)施的服務(wù)能力約束以及需求就近分配等因素[13]。

其中，（1）式為目標(biāo)函數(shù)，表示各種情景下期望需求加權(quán)距離最小化；（2）式對情景s下的需求加權(quán)距離進(jìn)行定義；（3）式表示任意情景下各需求點的所有層級的需求均能得到滿足；（4）式表示各設(shè)施候選點只允許建立唯一等級的設(shè)施；（5）式表示服務(wù)的嵌套性，即設(shè)施為相同層級或者低層級的需求提供服務(wù)；（6）式表示各情景下設(shè)施承擔(dān)的各層次的需求量等于由該點服務(wù)的所有需求點的對應(yīng)層次的需求量之和；（7）式表示最小容量約束；（8）式表示最大容量約束；（9）式為魯棒約束；（10）式表示就近分配；（11）式表示決策變量的取值范圍。

3 求解算法

對給定的情景s，若不考慮約束條件（9），則模型HR為確定性分層（Hierarchical Deterministic，HD）優(yōu)化模型；對給定的情景集S，模型HR為基于情景的分層隨機(jī)（Hierarchical Scenario，HS）優(yōu)化模型：

模型HD和模型HS為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，模型HR是在模型HS的基礎(chǔ)上加上線性約束（9），因此，模型HR也為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。而混合整數(shù)線性規(guī)劃問題是一個典型的NP困難問題，一般沒有多項式時間算法，難以在有效時間內(nèi)求得最優(yōu)解。

遺傳算法是一種智能的、有效的優(yōu)化算法，它根據(jù)目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對每個個體進(jìn)行評價，按照優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化規(guī)則不斷得到新的種群，搜索優(yōu)化種群中的最優(yōu)個體，從而求得滿意解[14]。由于遺傳算法具有自組織、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)性以及并行性等特點，且該算法簡單易行，本文利用遺傳算法求解HR模型，具體算法如下。

步驟1：編碼，產(chǎn)生初始種群P0。

染色體使用整數(shù)編碼，表示不同需求點處待建醫(yī)院的層級。其中，0表示相應(yīng)的需求點不建立醫(yī)院，1、2、3分別表示相應(yīng)的需求點建立一、二、三級醫(yī)院，如表1所示。隨機(jī)產(chǎn)生N條染色體，構(gòu)成一個初始種群P0。

表1 染色體結(jié)構(gòu)

步驟2：按就近原則進(jìn)行需求點分配。

（1）將需求點分配給最近的待建設(shè)施點；

（2）計算每個設(shè)施點分配到的需求量，判斷是否滿足最大服務(wù)能力約束，如果是，則將該需求點分配給該設(shè)施點，結(jié)束；如果否，則轉(zhuǎn)（3）進(jìn)行需求點的重新分配；

（3）將未予以分配的需求點分配給次近的待建的設(shè)施點，轉(zhuǎn)（2）重新進(jìn)行檢查；若繼續(xù)不滿足，則分配給第三近的待建的設(shè)施點，依此類推；若全部設(shè)施點均不能滿足，則將該需求點分配給就近的待建的設(shè)施點，結(jié)束。

步驟3：利用親和度函數(shù)進(jìn)行約束條件控制。

為保證所建立的醫(yī)院能夠正常盈利并提供較好的服務(wù)質(zhì)量，采用罰函數(shù)法將約束（7）至約束（9）整合到目標(biāo)函數(shù)中，以δ1,δ2,δ3依次表示約束（7）至約束（9）的懲罰因子，親和度函數(shù)定義為：

若As1＞0,則在情景s下未能滿足最小服務(wù)能力約束（7）；若As2＞0,表示在情景s下未能滿足最大服務(wù)能力約束（8）；若As3＞0,表示在情景s下未能滿足魯棒約束（9）。分析可知，滿足全部約束條件的解，其目標(biāo)函數(shù)Z值一定等于其親和度函數(shù)值A(chǔ)。

步驟4：求初始種群P0的目標(biāo)值。

步驟5：交叉和變異，產(chǎn)生子種群Q0，求其目標(biāo)值和親和度。

步驟6：采用精英策略產(chǎn)生新的種群R0。

步驟7：判斷是否滿足結(jié)束條件，如果否，轉(zhuǎn)步驟2；否則結(jié)束[15]。

4 實例分析

本文以武漢市某區(qū)為例，模型相關(guān)參數(shù)取值如下：設(shè)H={k|1,2,3}分別代表三個級別的需求層次與服務(wù)層級；t∈H={1,2,3}表示三個層級的醫(yī)院級別。設(shè)該區(qū)有50個需求點，即假設(shè)所有需求點均為設(shè)施候選點，即J=I[16]。不同層級的醫(yī)院對不同層次需求的服務(wù)能力不同，Bjtk為j點所設(shè)立t級醫(yī)院對k級需求的最大服務(wù)能力，設(shè)0,0;500,1000,0;800,1000,2500}。bjt表示在j點設(shè)立t級醫(yī)院的最低服務(wù)需求量，設(shè)bjt={bj1,bj2,bj3}={300,700,1700}。uiks為情景s下需求點i第k層需求的需求量，uik1由統(tǒng)計規(guī)律得出，為了模擬城鎮(zhèn)化過程中需求增長的情況，令uiks=uik(s-1)(1+5%),i∈I,k∈H,s∈S，即按每一需求點對各層次需求增長5%來設(shè)置情景。設(shè)定種群內(nèi)染色體數(shù)為200，交叉概率為0.7，變異概率為0.0876，懲罰系數(shù){{1000,1000,10}，最大迭代次數(shù)count=3000。

4.1 算法分析

4.1.1 遺傳算法的收斂性分析

取p=0.2來討論算法的收斂性。由下頁圖1可知，遺傳算法對于求解該問題具有較好的收斂性，當(dāng)?shù)螖?shù)count=1913時目標(biāo)函數(shù)收斂，其值收斂于12776。

4.1.2 遺傳算法的有效性分析

HR模型是一個典型的線性優(yōu)化問題，因此可用LINGO求取最優(yōu)解。將遺傳算法與LINGO所得結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如下頁表2所示。表中結(jié)果顯示，當(dāng)p≥0.1時，遺傳算法所求得的滿意解和LINGO求解得到的精確解的相對偏差Δ＜2%，說明相比LINGO而言，遺傳算法具有較高的求解質(zhì)量。然而，在各種p值情況下，遺傳算法的時間效率遠(yuǎn)高于LINGO。因此，遺傳算法求解HR模型具有較高的效率，能夠在較短的時間內(nèi)獲得滿意解。

圖1 遺傳算法的迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值關(guān)系圖

表2 遺傳算法與LINGO結(jié)果比較

4.2 模型的魯棒性分析

最大相對后悔值是當(dāng)p值確定時，各種情景下相對后悔值的最大值，最大相對后悔值是度量HR模型的魯棒性的重要指標(biāo)，最大相對后悔值越小，模型的魯棒性越強(qiáng)[2]。令HD、HR的需求加權(quán)距離分別為，當(dāng)p確定時，令模型HR的相對后悔值，則可求出各種情景下的，令，則可求出p值確定情況下的最大相對后悔值。利用遺傳算法所求出的各種p值的最大相對后悔值，見表3所示。

表3 不同p值的最大相對后悔值一覽表

圖2 目標(biāo)函數(shù)值和最大相對后悔值隨p值變化的情況

為直觀起見，用圖2表示目標(biāo)函數(shù)值和最大相對后悔值隨p值變化的情況。由圖2可知，隨著p值的增加，目標(biāo)函數(shù)值呈下降趨勢，即期望旅行成本呈下降趨勢，而最大相對后悔值呈上升趨勢，兩者呈背反規(guī)律。這說明p值較小時模型的魯棒性較好，但要為此付出較高的成本代價，決策者需要根據(jù)實際情況進(jìn)行權(quán)衡，選擇合適的p值，既減少不確定因素對決策的影響，降低決策風(fēng)險，同時保證總成本在可控制的范圍之內(nèi)。

4.3 不同情景概率對HR求解結(jié)果的影響

表4為當(dāng)p=0.1時，不同情景概率下HR模型求得的目標(biāo)函數(shù)值和醫(yī)院選址方案。本文選取了4種情況，每一種情況與后一種情況相比而言，q1至q5逐步增大，而q6至q10逐步減少。由表4可知，4種情況下的目標(biāo)函數(shù)值逐漸遞增，這是因為各情景下的不同需求點對各層級的需求量逐步遞增，前幾種情景對應(yīng)的需求加權(quán)距離更小所致。對比4種情況，醫(yī)院選址方案有較大變化，說明情景概率對選址結(jié)果產(chǎn)生重要影響。

表4 不同情景概率下模型HR的求解結(jié)果

5 結(jié)束語

針對城鎮(zhèn)化背景下服務(wù)設(shè)施的層級性與需求的不確定性特點，本文構(gòu)建了基于魯棒優(yōu)化的層級選址模型，利用遺傳算法進(jìn)行求解，并以武漢市某區(qū)的醫(yī)院選址問題為例進(jìn)行了案例分析。結(jié)果表明，遺傳算法具有較好的收斂性和較高的求解效率。p值較小時模型的魯棒性較好，但要為此付出較高的成本代價，決策者需要根據(jù)實際情況進(jìn)行權(quán)衡，選擇合適的p值，使模型的魯棒性能和總成本都在可接受的范圍內(nèi)。同時，當(dāng)p值確定時，不同的情景概率對設(shè)施選址方案具有重要影響。

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