石先杰　李春麗　蔣華兵

摘要：采用譜幾何法（Spectro-Geometric Method，SGM）構(gòu)建了復(fù)雜邊界條件/耦合條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性預(yù)報(bào)模型，并分別對(duì)各自外在邊界和二者之間的耦合邊界進(jìn)行建模。耦合邊界通過(guò)設(shè)置具有線性剛度和旋轉(zhuǎn)剛度的三維彈性耦合器模擬結(jié)構(gòu)之間的各類耦合效應(yīng)。圓柱殼和環(huán)板的振動(dòng)位移容許函數(shù)被統(tǒng)一地描述為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)。應(yīng)用哈密爾頓原理從能量的角度推導(dǎo)耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程。將此方法獲得的結(jié)果與文獻(xiàn)解及有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了分析模型的有效性。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng)；復(fù)雜邊界條件；圓柱殼；耦合結(jié)構(gòu)；譜幾何法

中圖分類號(hào)：0327；TB532 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0118-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.014

引言

在實(shí)際的工程應(yīng)用領(lǐng)域中，圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)往往是一種更為符合實(shí)際的基本結(jié)構(gòu)單元。當(dāng)彈性板與圓柱殼存在耦合連接時(shí)，由于組成耦合結(jié)構(gòu)的子構(gòu)件之間存在能量流動(dòng)和傳遞，從而使得圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性變得更加復(fù)雜。然而，對(duì)這類耦合結(jié)構(gòu)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性開展研究工作對(duì)一些實(shí)際工程應(yīng)用具有重要的理論價(jià)值。因此，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者就圓柱殼一板耦合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了一系列的研究工作。

White采用平均能量和能量流法開創(chuàng)性地對(duì)帶有端板的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲傳遞特性進(jìn)行了相關(guān)研究。他還通過(guò)相關(guān)物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論計(jì)算研究的正確性。Cheng和Nicolas采用瑞利一里茲法研究了一端具有彈性圓板的板-殼耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由振動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)相關(guān)數(shù)值分析來(lái)驗(yàn)證了理論計(jì)算模型的正確性，并詳細(xì)研究了耦合效應(yīng)和邊界條件對(duì)耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。之后，Cheng將人工彈簧技術(shù)用來(lái)分析兩端具有端板的封閉圓柱殼結(jié)構(gòu)與其形成的封閉聲腔之間的聲振特性，其中封閉圓柱殼的一端為彈性端板，而另外一端則為剛性端板。Huang和Soedel采用導(dǎo)納法對(duì)在任一軸向位置與一圓板耦合連接的簡(jiǎn)支圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了計(jì)算分析。通過(guò)數(shù)值算例對(duì)比分析驗(yàn)證了該方法的有效性，并在此基礎(chǔ)上考察了圓板結(jié)構(gòu)在圓柱殼軸向的耦合位置對(duì)耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。隨后，Huang和Soedel將該方法擴(kuò)展至多個(gè)圓板結(jié)構(gòu)與簡(jiǎn)支圓柱殼耦合連接的組合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自由振動(dòng)問(wèn)題。

Joseph Stanley和Ganesan采用一種半解析的有限元法對(duì)三種不同邊界條件下帶有隔板的圓柱殼進(jìn)行了頻率分析。其中，固支和簡(jiǎn)支邊界條件下圓形隔板位于殼體軸向的中間位置，懸臂邊界條件下隔板位于圓柱殼的自由端。分析結(jié)果表明：帶有隔板圓柱殼的低階頻率要比圓柱殼的頻率低很多，而且隨著圓板厚度的增加，低階的頻率值隨之上升，因?yàn)轳詈辖Y(jié)構(gòu)的低階模態(tài)是受圓板控制的模態(tài)，圓板的介入降低了結(jié)構(gòu)的固有頻率。Yim等人將導(dǎo)納法進(jìn)一步擴(kuò)展至在任一軸向位置具有一端板的一端固支一端自由圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)問(wèn)題。圓柱殼的振動(dòng)位移函數(shù)采用相同條件下的梁函數(shù)來(lái)描述，通過(guò)圓柱殼一彈性板間耦合連接邊界的連續(xù)性要求來(lái)建立圓柱殼和板之間的力學(xué)聯(lián)系，從而獲得組合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。通過(guò)將數(shù)值分析結(jié)果與ANSYS計(jì)算結(jié)果及振動(dòng)測(cè)試結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性。

李鴻秋基于圓板和圓柱殼的振動(dòng)控制微分方程，結(jié)合板-殼連接處的連續(xù)性條件，建立了一般連接形式下板-殼耦合結(jié)構(gòu)分析模型。相關(guān)分析表明，該分析模型可以正確地獲得耦合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。鄒明松等半解析地求解了兩端具有端板的圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問(wèn)題。他采用三角級(jí)數(shù)和貝塞爾級(jí)數(shù)對(duì)圓柱殼和圓板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移函數(shù)進(jìn)行描述，板-殼間的連接條件通過(guò)連接處的位移和內(nèi)力平衡關(guān)系得到。通過(guò)將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與ABAQUS計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的正確性和有效性。Ma等采用改進(jìn)的傅里葉一里茲法構(gòu)建了圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一分析模型。

綜上所述可知，目前公開文獻(xiàn)中有關(guān)圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的研究還較少。上述文獻(xiàn)均提供了各種不同分析方法來(lái)研究板殼耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。但是，文獻(xiàn)中的相關(guān)研究工作大部分局限于簡(jiǎn)單的經(jīng)典邊界條件，而未針對(duì)更為一般的彈性邊界條件開展研究工作。從文獻(xiàn)調(diào)研來(lái)看，振動(dòng)控制方程的解在很大程度上取決于邊界條件。一旦邊界條件改變，必須修改容許函數(shù)以獲得新的解，這使得這些方法在實(shí)際工程應(yīng)用中顯得累贅。而不同的邊界條件及耦合條件廣泛存在于實(shí)際工程應(yīng)用中。因此，有必要構(gòu)建一套統(tǒng)一的分析模型，以適用于任意邊界條件及耦合條件。

針對(duì)這些技術(shù)局限性和實(shí)際工程需求，本文構(gòu)建復(fù)雜邊界條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析模型，采用譜幾何法對(duì)圓柱殼和彈性板結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)同時(shí)進(jìn)行描述，并分別對(duì)各自的外在邊界和二者之間的耦合邊界進(jìn)行建模。耦合邊界通過(guò)設(shè)置具有線性剛度和旋轉(zhuǎn)剛度的三維彈性耦合器模擬結(jié)構(gòu)之間的各類耦合效應(yīng)。最后，應(yīng)用哈密爾頓原理從能量的角度推導(dǎo)出環(huán)板與圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程，將文中計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)解及有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證文中方法及分析模型的有效性。

1理論推導(dǎo)

1.1結(jié)構(gòu)模型描述

圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的示意圖和坐標(biāo)系統(tǒng)如圖1所示。定義在（x₁，θ₁，r₁）坐標(biāo)系下的圓柱殼的幾何參數(shù)為：中面半徑R_s，厚度h_s，長(zhǎng)度L_s；其材料參數(shù)分別為：彈性模量E_s，泊松比μ_s，密度ρ_s。圓柱殼的中面上任意一點(diǎn)的位移向量由徑向、軸向和周向位移組成，表示為d_s^T={w_s，μ_s，v_s）^T。環(huán)板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)則定義在坐標(biāo)系（x₂，θ₂，r₂）下，其幾何尺寸參數(shù)為：內(nèi)半徑a_p，外半徑b_p（≡R_s），圓心角乒_p，厚度h_p；其材料屬性為：彈性模量E_p，泊松比肛_p，密度10_p。環(huán)板中面上任意一點(diǎn)的位移函數(shù)由彎曲振動(dòng)位移和面內(nèi)振動(dòng)位移組成，即d_p^T={w_p，μ_p，v_p}^T。圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)由圓柱殼與環(huán)板在公共邊界（x₁=x_c，0≤x_c≤L_s）連接而成，通過(guò)改變z。的大小可以方便地模擬不同軸向位置下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

從圖1可知，環(huán)板和圓柱殼的面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)之間存在一定的耦合作用。因而本文采用具有旋轉(zhuǎn)剛度和線性剛度的三維彈性耦合器來(lái)描述板殼連接的相容性條件。文中所構(gòu)建的環(huán)板分析模型是綜合考慮了面內(nèi)振動(dòng)和面外（彎曲）振動(dòng)效應(yīng)的。通過(guò)改變相關(guān)參數(shù)可以求解不同半徑比、不同耦合位置及任意邊界條件/耦合條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。k_cu，k_cv，k_cw分別表示環(huán)板與圓柱殼耦合連接處沿圓柱殼面內(nèi)振動(dòng)位移u_s，v_s和徑向振動(dòng)位移w_s方向均勻分布的線性彈簧剛度系數(shù)，而K_c則為繞周向（θ）的旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)。耦合效應(yīng)通過(guò)存儲(chǔ)在耦合器中的彈性勢(shì)能來(lái)體現(xiàn)。

圓柱殼結(jié)構(gòu)每端邊界上布置4組約束彈簧，分別為沿軸向、周向、徑向分布的3組線性彈簧（k_ps^us，k_ps^vs，k_ps^ws）和1組繞周向的旋轉(zhuǎn)約束彈簧（K_ps^s），其中下標(biāo)ps可取0或1。當(dāng)ps=0時(shí)，表示殼體結(jié)構(gòu)x₁=0端的約束彈簧剛度系數(shù)，當(dāng)ps=1時(shí)，表示殼體x₁=L_s端的約束彈簧剛度系數(shù)。

1.2圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的位移級(jí)數(shù)描述

首先，構(gòu)建彈性約束邊界條件下圓柱殼三種位移，對(duì)于單獨(dú)求解圓柱殼自由振動(dòng)，可只按對(duì)稱模態(tài)或者反對(duì)稱模態(tài)的疊加形式對(duì)其位移場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行展開，然而在求解其強(qiáng)迫響應(yīng)或者與之相關(guān)的耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)需要兼?zhèn)涠叩男问健Ｏ啾任墨I(xiàn)的輔助形式，文中基于譜幾何法原理將其全部描述為復(fù)合三角級(jí)數(shù)。由于三角級(jí)數(shù)在微分和積分操作中具有“偶不變性”，所以這樣的修改在數(shù)學(xué)上是有意義的，而且還可以大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程中的理論推導(dǎo)。因此，采用譜幾何法將圓柱殼的徑向、軸向和周向的位移形式描述為

對(duì)于環(huán)板而言，需要分別對(duì)面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)進(jìn)行描述。根據(jù)文獻(xiàn)，環(huán)板可看作環(huán)扇形板的特例。面內(nèi)振動(dòng)分量徑向和切向位移分別表示為：

環(huán)板面外振動(dòng)位移的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)表達(dá)式為

1.3基于能量原理的瑞利-里茲方法求解

對(duì)復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題而言，不存在確切的動(dòng)力學(xué)方程，這時(shí)可求助于哈密爾頓原理，它是描述動(dòng)力學(xué)行為的另外一種表述形式。利用基于哈密爾頓原理的能量方法可以使復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)間題變得相對(duì)簡(jiǎn)單。在應(yīng)用哈密爾頓原理之前，需要構(gòu)造圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，拉格朗日函數(shù)中包含系統(tǒng)的總勢(shì)能和總動(dòng)能。

圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總勢(shì)能和總動(dòng)能可以分別表示為

（7）

（8）式中V_p代表環(huán)板由于面內(nèi)和面外振動(dòng)變形產(chǎn)生的線彈性應(yīng)變能；V_pbc表示儲(chǔ)存在環(huán)板邊界約束彈簧中的勢(shì)能；V_s為圓柱殼體由于面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)變形產(chǎn)生的應(yīng)變能；V_sbc表示儲(chǔ)存在圓柱殼中的邊界約束彈簧中的勢(shì)能；V_sp則代表儲(chǔ)存在圓柱殼和環(huán)板間的三維彈性耦合器中的勢(shì)能；T_p表示環(huán)板由于彎曲和面內(nèi)振動(dòng)產(chǎn)生的總動(dòng)能；而T_s則表示儲(chǔ)存在圓柱殼中的總動(dòng)能。

圓柱殼的動(dòng)能和勢(shì)能可以采用位移函數(shù)分別表示為

儲(chǔ)存在環(huán)板和圓柱殼在耦合連接處的三維彈性耦合器中的彈性勢(shì)能為

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，環(huán)板的勢(shì)能和動(dòng)能表達(dá)式未詳細(xì)列出，詳細(xì)表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)。

通過(guò)圓柱殼和環(huán)板的勢(shì)能項(xiàng)和動(dòng)能項(xiàng)及二者的耦合勢(shì)能項(xiàng)構(gòu)建圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，其表達(dá)式為

（13）

聯(lián)立所有勢(shì)能項(xiàng)方程，通過(guò)哈密爾頓原理對(duì)所有未知的三角級(jí)數(shù)展開系數(shù)求變分，即可獲得圓柱殼-環(huán)板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瑞利-里茲解。最終系統(tǒng)的特征方程寫為如下的矩陣形式

（14）式中K_sp和M_sp分別表示系統(tǒng)總的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；E_sp則是一個(gè)包含所有未知級(jí)數(shù)展開系數(shù)的向量。在數(shù)值仿真計(jì)算中，圓柱殼和環(huán)板的位移場(chǎng)級(jí)數(shù)分別按照m=M，n=N和m=M，n=N進(jìn)行截?cái)嗵幚怼?/p>

系統(tǒng)的特征方程（14）是關(guān)于未知三角級(jí)數(shù)展開系數(shù)的線性方程組。通過(guò)求解這個(gè)特征方程組，即可獲得圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。所獲得的特征值以及每一組特征向量都與系統(tǒng)的固有頻率和物理空間的模態(tài)振型信息相對(duì)應(yīng)。

如果需要對(duì)某種載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行求解，僅需在系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)中增加外界載荷的做功項(xiàng)即可，最終在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方程（14）的右側(cè)出現(xiàn)一力向量。一旦板結(jié)構(gòu)的位移確定后，其他感興趣變量可以通過(guò)對(duì)位移函數(shù)直接進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)操作而簡(jiǎn)單得到。

2數(shù)值結(jié)果與分析

在本節(jié)中，將對(duì)圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。通過(guò)把文中計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)解及有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證文中理論推導(dǎo)及計(jì)算程序的正確性和有效性。為了方便描述經(jīng)典邊界條件，F(xiàn)，S和C分別用來(lái)代表自由、簡(jiǎn)支和固支邊界條件。在這些數(shù)值算例中，除了特別指定外，模型參數(shù)分別為：E_s=E_p=2.06×10¹¹Pa，ρ_s=ρ_p=7850kg/m³，h_s=h_p=0.003m，μ_s=μ_p=0.3。為了給其他方法研究者提供參考數(shù)據(jù)，無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω=ωR_s（p·（1-μ_s²）/E_s）^1/2。被引入。此外，在后續(xù)的數(shù)值算例中，剛體模態(tài)對(duì)應(yīng)的零頻率將不列出。

首先，對(duì)文中方法的收斂性進(jìn)行研究，以驗(yàn)證構(gòu)造的位移容許函數(shù)及確定的級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)的合理性。表1給出了在不同的截?cái)囗?xiàng)數(shù)下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的頻率參數(shù)Ω。圓柱殼的邊界條件為F-F，而環(huán)板則剛性耦合在圓柱殼端部。為了進(jìn)行對(duì)比分析，文獻(xiàn)解和有限元結(jié)果作為參考值也在表1中列出。板殼耦合結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)為：L_s=0.5m，R_s=0.1045m，a_p=0.03m。由于耦合結(jié)構(gòu)是周向?qū)ΨQ的，因此周向的截?cái)鄶?shù)N=N=10，而圓柱殼的軸向和環(huán)板的徑向截?cái)鄶?shù)M'=M從10逐漸變化到14。從表1可以看出，當(dāng)M增加到12時(shí)就可獲得完全收斂和穩(wěn)定的頻率參數(shù)。因此，后續(xù)數(shù)值算例中的截?cái)鄶?shù)將取為：M×N=12×10。從表1的對(duì)比可知，收斂的文中結(jié)果與文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果和ANSYS結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證了文中方法的正確性。前6階模態(tài)振型如圖2所示。從圖中振型情況可知，圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)振型很大程度取決于各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況，第3階模態(tài)振型為環(huán)板控制的振型。

為了在更廣泛的條件下驗(yàn)證文中方法的優(yōu)越性，現(xiàn)考慮不同邊界條件和耦合條件下的圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)。將表1算例中環(huán)板和圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合條件改變?yōu)閺椥择詈蠗l件：k_cu=k_cv=k_cw=K_c=10⁶。表2列舉了圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)的固有頻率值。從對(duì)比情況可知，文中方法計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合程度較高，表中所列的固有頻率中偏差最大的也不過(guò)0.55%。

最后，考察圓柱殼-環(huán)板的一個(gè)特例。將文中構(gòu)建的分析模型拓展為兩端帶端板的圓柱殼（封閉圓柱殼）模型。表3給出了完全自由邊界條件下封閉圓柱殼的軸向?qū)ΨQ模態(tài)固有頻率。其中，板殼耦合結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)為：L_s=8m，R_s=2.2m，h_s=0.022m，h_p=0.024m；材料參數(shù)為：楊氏模量2.07×10¹¹Pa，密度7800kg/m³，泊松比0.3；m_a和n_c分別代表軸向半波數(shù)和周向波數(shù)。

如表3所示，以有限元分析軟件ABAQUS的計(jì)算結(jié)果作為比較的基準(zhǔn)，比較文中方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，文中方法計(jì)算的結(jié)果要比文獻(xiàn)的結(jié)果更吻合于有限元法結(jié)果，文中方法計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果之間的偏差最大不過(guò)為0.310%，而文獻(xiàn)的結(jié)果與有限元法結(jié)果間的偏差最大為5.94%。這是因?yàn)槲墨I(xiàn)在建立圓柱殼與圓板的耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)，僅考慮了板的彎曲振動(dòng)，而忽略了其面內(nèi)振動(dòng)與圓柱殼結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)間的耦合效應(yīng)，兩種類型的振動(dòng)波在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中存在相互的轉(zhuǎn)換，對(duì)耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有一定的影響。

圖3繪制了各周向波數(shù)n_c下封閉圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第1階模態(tài)振型圖。從圖中可知，當(dāng)周向波數(shù)n_c較?。╪_c=0～2）時(shí)，耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)主要為受彈性端板控制的模態(tài)，如圖3（a），（b）和（c）所示，且圓板的振動(dòng)模態(tài)可以分為同相模態(tài)和非同相模態(tài)。隨著周向波數(shù)n_c的不斷增大，耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)逐漸變化為圓柱殼結(jié)構(gòu)控制的模態(tài)，如圖3（d），（e）和（f）所示。根據(jù)理論推導(dǎo)可知，彈性板的面內(nèi)振動(dòng)將激發(fā)圓柱殼結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)，而其彎曲振動(dòng)將會(huì)激發(fā)圓柱殼結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)，因此這就可能使得圓柱殼-彈性板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在低頻段內(nèi)多為圓柱殼或彈性板單獨(dú)控制的模態(tài)，這從圖3可以清楚地看出。此外，由于耦合邊上三維彈性耦合器的剛性耦合，使得圓板和圓柱殼間耦合邊的相對(duì)變形較小。

3結(jié)論

本文采用譜幾何法建立了復(fù)雜邊界條件和耦合連接條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型，采用二維譜幾何法來(lái)分別統(tǒng)一描述環(huán)板和圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移場(chǎng)函數(shù)。同時(shí)采用分布在結(jié)構(gòu)各邊界上的四類約束彈簧來(lái)模擬復(fù)雜邊界條件，并通過(guò)在二者間的耦合邊上布置具有線性剛度和旋轉(zhuǎn)剛度的三維彈性耦合器來(lái)描述板殼連接相容性條件，以便能夠詳盡地考慮耦合連接處彎曲振動(dòng)波和面內(nèi)振動(dòng)波的耦合效應(yīng)。應(yīng)用哈密爾頓原理從能量的角度推導(dǎo)出圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程，將文中方法計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果和文獻(xiàn)解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證文中分析模型的有效性，并得出以下結(jié)論：

1）板殼耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)函數(shù)均可不變地表示為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)，收斂性較傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)有較大改善；

2）在數(shù)值計(jì)算中，隨著級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)的增大，計(jì)算結(jié)果快速收斂，并且表現(xiàn)出良好的數(shù)值穩(wěn)定性；

3）耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的邊界條件、耦合連接條件、耦合位置及幾何參數(shù)均可通過(guò)修改參數(shù)而簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)，不需要重新構(gòu)造位移場(chǎng)函數(shù)，或重新進(jìn)行理論推導(dǎo)或編程；

4）圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)存在著三種類型的振動(dòng)模態(tài)：a）彈性板結(jié)構(gòu)控制的模態(tài)；b）圓柱殼結(jié)構(gòu)控制的模態(tài)；c）彈性板和圓柱殼結(jié)構(gòu)較強(qiáng)耦合的模態(tài)。