于亮亮　宋漢文

摘要：在實際工程中，工況模態(tài)分析（operational modal analysis，OMA）方法得到了廣泛應(yīng)用。當(dāng)激勵中含有諧波并且諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時，可以通過添加極點來修改傳統(tǒng)OMA算法以提高模態(tài)辨識精度?；谧匀患罴夹g(shù)（natural excitation technique），推導(dǎo)了添加極點的理論依據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)所受的激勵中含有諧波成分時，將其響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)表示為系統(tǒng)受白噪聲激勵時響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與一系列諧波的疊加?；趥鹘y(tǒng)OMA方法進行模態(tài)參數(shù)辨識時，諧波不會改變原來系統(tǒng)極點的數(shù)學(xué)表達，但是當(dāng)諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時會影響OMA算法對系統(tǒng)固有極點的擬合準(zhǔn)確性。在諧波頻率已知時，通過添加諧波造成的極點，可以有效提高OMA算法對系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的辨識精度。通過仿真和實驗，進一步驗證了所提出的理論。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動；參數(shù)識別；工況模態(tài)分析；環(huán)境激勵；最小特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法

中圖分類號：O327；O321 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.009

引言

工況模態(tài)分析技術(shù)（operational modal analy-sis，OMA）是一類只基于系統(tǒng)工作時或受環(huán)境激勵時的響應(yīng)信號而進行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識的方法。由于系統(tǒng)所受的激勵不可測量，通常假設(shè)為白噪聲。它的發(fā)展可以追溯到1965年，Clarkson和Mere-er提出使用互相關(guān)函數(shù)估計承受白噪聲激勵下結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)，這也是在激勵未知的情況下，使用相關(guān)函數(shù)替代脈沖響應(yīng)函數(shù)的思想起源。經(jīng)過40多年的發(fā)展，OMA日趨成熟，并已經(jīng)拓寬到了應(yīng)用更為廣泛的工程領(lǐng)域。

白噪聲是一種理想假設(shè)，而激勵中含有簡諧成分的情況，在旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)中很常見。例如風(fēng)機、汽車、船舶等，由于旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量的存在，在受到的環(huán)境激勵中，往往疊加有簡諧成分。為防止出現(xiàn)虛假結(jié)構(gòu)模態(tài)，最初人們只是簡單地通過“陷波器（Notch Filter）”或者帶阻濾波器的方法將響應(yīng)中的簡諧成分濾除_3]，然而，濾波會導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)信號的相位信息的丟失，并且在實際應(yīng)用中，濾波通常會“污染”測量得到的數(shù)據(jù)，改變系統(tǒng)的極點。Brinck-er給“諧波模態(tài)”作了定義，并且根據(jù)簡諧波與隨機數(shù)的概率密度函數(shù)（probability density function）的形狀不一樣，定義了一個諧波指示函數(shù)，通過頻域分解技術(shù)（frequency domain decomposition，F(xiàn)DD）來去除諧波影響。Jacobsen在Brincker的基礎(chǔ)上，先判斷出諧波的頻率，基于單自由度系統(tǒng)，在響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)上，通過線性插值法將由諧波引起的峰直接移除。Devriendt將傳遞函數(shù)引入到諧波辨識模型中，通過兩次不同位置的實驗，分別求傳遞函數(shù)來消除諧波的影響以辨識系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。Agneni用概率密度法檢測出諧波模態(tài)，并與峭度法進行了對比，用Hilbert變換的方法構(gòu)造出“頻響函數(shù)”并識別出諧波模態(tài)參數(shù)，然后重構(gòu)諧波模態(tài)的“頻響函數(shù)”，再與原“頻響函數(shù)”相減以去除諧波模態(tài)的影響。Araujo和Laier對不同參考點組成的功率譜密度傳遞矩陣進行了奇異值分解，在環(huán)境激勵為有色噪聲的情況下辨識了系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型。這一方法不依賴于激勵的形式，也就不要求激勵必須滿足白噪聲的假設(shè)。對于諧波頻率接近固有頻率的情形，濾波方法或者插值方法會對系統(tǒng)固有頻率的辨識產(chǎn)生很大的影響。Mohanty在諧波頻率已知的前提下，通過往傳統(tǒng)OMA辨識算法中添加極點的方式，修改了Ibrahim time do-main technique（ITD），least squares complex ex-ponential method（LSCE），single station timedomain（SSTD），eigensystem realization algo-rithm（ERA）等算法，以辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。chomette將修改的LSCE算法運用在豎琴的模態(tài)參數(shù)辨識中，驗證了該算法的有效性。基于Mo-hanty的思路，董霄峰通過修改SSI算法，來辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，并將這一方法運用在陸上風(fēng)機結(jié)構(gòu)的模態(tài)測試中，取得了良好效果。

文獻均是通過往現(xiàn)有算法中添加極點的方式來修改已有算法，但沒有給出添加極點的理論依據(jù)。本文在上述工作基礎(chǔ)上，并基于自然激勵技術(shù)，從相關(guān)函數(shù)出發(fā)，論證了添加極點的理論依據(jù)。首先推導(dǎo)了自然激勵技術(shù)在復(fù)模態(tài)系統(tǒng)中的推廣形式，然后推導(dǎo)出激勵中含有諧波成分時響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)表達式，證明了激勵中諧波成分不會影響辨識算法中系統(tǒng)極點的數(shù)學(xué)表達，給出了往現(xiàn)有算法中添加極點的依據(jù)。最后通過仿真及實驗進一步證實了本文結(jié)論。

1基本原理

1.1系統(tǒng)受白噪聲及諧波的共同激勵

N（N≥1）自由度線性定常系統(tǒng)強迫振動方程用矩陣形式表示為

式（12）等號右邊的第一項與脈沖響應(yīng)函數(shù)進行比較，有著相似的對應(yīng)形式，其中包含了振動系統(tǒng)模態(tài)頻率、阻尼比和模態(tài)向量等信息，用其替換脈沖響應(yīng)函數(shù)代人到傳統(tǒng)實驗?zāi)B(tài)分析方法中，可以辨識出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。而式（12）等號右邊的第二項則為與激勵諧波同頻率的諧波，在利用傳統(tǒng)ERA方法對R_ij（T）進行曲線擬合時，將會得到L個阻尼為零的極點。

進一步，當(dāng)w_k靠近系統(tǒng)的固有頻率時，正弦成分的影響會導(dǎo)致系統(tǒng)的固有極點不能夠很好地通過曲線擬合辨識出來。因此在曲線擬合之前通過修改ERA算法，將諧波成分的極點信息先寫入到ERA算法中。

1.2修改的ERA算法

式（1）描述的系統(tǒng)可由下列狀態(tài)方程表示

（13）式中z（k）為t_k=k△t時刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量；△t為采樣間隔；x（k）是在k△t時刻的實測響應(yīng)向量；f（k）是在kAt時刻系統(tǒng)的輸入向量；A為系統(tǒng)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣。

在OMA中，脈沖響應(yīng)函數(shù)也可以由相關(guān)函數(shù)來代替。因此，自由響應(yīng)的最小實現(xiàn)問題常用相關(guān)函數(shù)的最小實現(xiàn)問題來代替。

為辨識系統(tǒng)矩陣A，首先構(gòu)造Hankel矩陣，

由式（14），分別令k=0，k=1可得H（0）和H（1）。對于線性定常系統(tǒng)，H（0）與A，JB及c之間存在如下關(guān)系

由式（15）及式（16）可以得到系統(tǒng)矩陣A的最小實現(xiàn)形式A^r，進而可以辨識系統(tǒng)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型。

圖2所示響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)中包含了不衰減的諧波成分，進一步考察發(fā)現(xiàn)，諧波頻率與激勵中諧波頻率相同。這驗證了式（12）將相關(guān)函數(shù)寫成兩部分的合理性。

運用傳統(tǒng)ERA方法辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，其穩(wěn)態(tài)圖如圖3（a）所示。

傳統(tǒng)ERA在辨識第3階模態(tài)參數(shù)時，由于諧波的頻率離系統(tǒng)的固有頻率很近，導(dǎo)致算法不能夠穩(wěn)定地擬合出系統(tǒng)的極點。其辨識的第3階頻率及阻尼比如表1所示。

通過表1，對比辨識值與給定值，頻率明顯偏小，阻尼也有一定的誤差。

運用修改過的ERA方法辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，穩(wěn)態(tài)圖如圖3（b）所示。通過添加諧波成分形成的極點，曲線擬合的過程中可以快速穩(wěn)定地找到系統(tǒng)固有頻率處的極點。其辨識的第3階頻率及阻尼比如表2所示。

通過表2，對比辨識值與給定值，頻率與給定值相差不大，阻尼也與給定值之間誤差很小。

對比圖3（a）和圖3（b），修改的ERA算法可以很好地擬合出系統(tǒng)的固有極點，而不受諧波成分的影響。對比表1和表2，通過添加諧波引起的極點，可以比傳統(tǒng)算法更快速準(zhǔn)確地辨識出系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比。

3實驗研究

為了驗證本文的理論，在實驗室所能提供的技術(shù)支持的基礎(chǔ)上，以一根鋼制梁為對象進行了實驗研究，如圖4所示。

3.1受純白噪聲激勵

3.2受白噪聲及諧波共同激勵

對比圖5（a）與圖5（b），通過添加諧波引起的極點，系統(tǒng)可以快速擬合出系統(tǒng)的固有極點。傳統(tǒng)ERA及修改的ERA辨識的梁的固有頻率及阻尼比如表4所示。

圖5和表4表明，修改的ERA在辨識系統(tǒng)的固有頻率與阻尼時比傳統(tǒng)ERA更穩(wěn)定更準(zhǔn)確更快速。

4結(jié)論

基于NExT理論，從相關(guān)函數(shù)出發(fā)，本文推導(dǎo)了由添加極點來修改傳統(tǒng)OMA算法的理論依據(jù)。結(jié)論如下：

1）當(dāng)系統(tǒng)的激勵中含有諧波成分時，推導(dǎo)出響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，并將其表示為系統(tǒng)受白噪聲激勵時響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與一系列諧波的疊加。

2）當(dāng)激勵中含有諧波成分時，證明了基于傳統(tǒng)ERA方法進行模態(tài)參數(shù)辨識，諧波不會改變原來系統(tǒng)極點的數(shù)學(xué)表達，但是當(dāng)諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時會影響ERA算法對系統(tǒng)固有極點的擬合準(zhǔn)確性。

3）事先測試出諧波頻率，通過往傳統(tǒng)ERA算法中添加諧波引起的極點，提高了ERA算法對系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的辨識精度。

文中提出的方法不僅適用于文中提到的算例和實驗，也適應(yīng)用于其他的工程實際應(yīng)用。