劉章軍　劉增輝

摘要：基于正交隨機(jī)變量的譜表示，引入隨機(jī)函數(shù)的約束條件，提出了隨機(jī)脈動風(fēng)場模擬的譜表示降維方法。從譜表示模擬公式中所需隨機(jī)變量的數(shù)量及約束條件兩方面，厘清了經(jīng)典譜表示與基于正交隨機(jī)變量譜表示的區(qū)別。將正交隨機(jī)變量集表達(dá)為兩個(gè)基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)形式，使基于正交隨機(jī)變量譜表示的隨機(jī)度從數(shù)萬降低為2，極大地減少了隨機(jī)脈動風(fēng)場模擬的計(jì)算量。通過構(gòu)造兩類不同的正交隨機(jī)函數(shù)形式，分別對高層建筑沿高度變化的水平向脈動風(fēng)場進(jìn)行模擬，均能獲得較高的模擬精度，檢驗(yàn)了此方法的有效性。研究表明：此方法僅需2個(gè)基本隨機(jī)變量即可在密度層次上反映脈動風(fēng)場的概率特性，且生成的233條代表性時(shí)程構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，進(jìn)而可結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)抗風(fēng)可靠度精細(xì)化分析。

關(guān)鍵詞：脈動風(fēng)場；隨機(jī)振動；譜表示；隨機(jī)函數(shù)；降維模擬

中圖分類號：TU312⁺1；0324 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0049-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.006

引言

在結(jié)構(gòu)風(fēng)工程中，作用于結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)荷載具有顯著的動力特性和時(shí)空分布特性，通常采用時(shí)一空隨機(jī)場來描述。隨機(jī)脈動風(fēng)場的模擬是工程結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)的首要任務(wù)，譜表示法因理論完善、算法簡單、計(jì)算精度高而被廣泛用于隨機(jī)風(fēng)場的模擬。

譜表示法最早可追溯到1944年Rice對一維單變量隨機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)分析。1971年，Shinozuka正式提出譜表示法的概念，并模擬了多維單變量時(shí)一空隨機(jī)場，在具體實(shí)施中，將時(shí)一空隨機(jī)場離散為一維多變量平穩(wěn)向量過程。譜表示法在模擬一維多變量向量過程時(shí)，其核心思想是通過功率譜密度矩陣的cholesky分解，將一維多變量向量過程轉(zhuǎn)化為多個(gè)不相干的一維單變量隨機(jī)過程，并由一系列隨機(jī)相位角調(diào)制的諧波疊加來加以模擬。由于存在大量的cholesky分解和諧波疊加導(dǎo)致譜表示法計(jì)算效率低，Yang于1972年引入FFT算法，極大地提高了諧波疊加的效率。shinozuka等（1991，1996）分別對譜表示法模擬一維單變量過程和多維單變量隨機(jī)場的原理作了深入闡述，并對模擬結(jié)果的高斯性、無偏性及各態(tài)歷經(jīng)性進(jìn)行了分析。為保證模擬結(jié)果的各態(tài)歷經(jīng)性，Deodatis（1996）引入雙索引頻率的概念，并結(jié)合FFT算法提高諧波疊加的效率，這一改進(jìn)使得譜表示法成為一維多變量向量過程模擬的經(jīng)典方法。另一方面，為提高cholesky分解的效率，cao等（2000）和Huang等（2013）分別建議了一類功率譜密度矩陣chol-esky分解的顯示表達(dá)；羅俊杰等（2008）和吳勇信等（2013）利用插值技術(shù)也在一定程度上減少了功率譜密度矩陣cholesky分解的計(jì)算量。事實(shí)上，經(jīng)典的譜表示法在本質(zhì)上屬于Monte carlo模擬方法，雖然從理論上看，Monte Carlo方法的效率和基本隨機(jī)變量的維數(shù)無關(guān)，然而，幾乎所有的偽隨機(jī)數(shù)生成方法都難以處理維數(shù)很高的基本隨機(jī)變量間題，因此，為保證模擬的精度，往往需要進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣。數(shù)量巨大的樣本不僅增加了隨機(jī)模擬的計(jì)算量，也極大地增加了結(jié)構(gòu)隨機(jī)動力響應(yīng)計(jì)算的工作量。

近年來，為克服隨機(jī)過程譜表示法計(jì)算量大的問題，陳建兵和李杰提出了隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)方法，并對譜表示法的頻率選點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化；李杰等從物理建模的角度出發(fā)，建立了脈動風(fēng)速場的物理隨機(jī)函數(shù)模型，用若干基本隨機(jī)變量表達(dá)脈動風(fēng)速場。同時(shí)，筆者從數(shù)學(xué)建模的角度，通過引入隨機(jī)函數(shù)的約束條件，初步建立了工程隨機(jī)動力作用的概率模型，實(shí)現(xiàn)了僅用1～2個(gè)基本隨機(jī)變量即可模擬一維單變量隨機(jī)過程的目的，極大地降低了隨機(jī)過程模擬的隨機(jī)度，并結(jié)合概率密度演化理論，對工程結(jié)構(gòu)的抗震可靠度作了定量分析。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步將隨機(jī)函數(shù)思想拓展到隨機(jī)風(fēng)場的模擬，實(shí)現(xiàn)對隨機(jī)脈動風(fēng)場模擬的譜表示降維處理，從而為結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載提供一種更為高效的模擬方法。

1基于正交隨機(jī)變量的譜表示

與經(jīng)典的譜表示法相比，盡管基于正交隨機(jī)變量的譜表示在描述時(shí)一空隨機(jī)場時(shí)所需隨機(jī)變量的數(shù)量更多（比經(jīng)典譜表示法多1倍），計(jì)算量更大；但從隨機(jī)變量的約束條件來看，基于正交隨機(jī)變量的譜表示中隨機(jī)變量的約束條件（式（12））要弱于經(jīng)典的譜表示法。事實(shí)上，式（12）僅要求隨機(jī)變量滿足正交性條件，而對其概率分布未作要求；在經(jīng)典譜劉章軍，等：隨機(jī)脈動風(fēng)場的譜表示降維模擬表示法中，隨機(jī)相位角必須滿足區(qū)間（0，2π]上的均勻分布。為此，可對正交隨機(jī)變量集施加適當(dāng)?shù)募s束條件（隨機(jī)函數(shù)），以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)向量過程模擬的譜表示降維，進(jìn)而有效減少模擬次數(shù)。

2正交隨機(jī)變量集的降維表達(dá)

3脈動風(fēng)場數(shù)值模擬

利用數(shù)論方法選取基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集時(shí)，基本隨機(jī)變量的每一個(gè)代表性點(diǎn)都具有確定的賦得概率，且所選的代表性點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，因而本文方法生成的脈動風(fēng)速代表性時(shí)程能夠包含脈動風(fēng)場的完備概率信息。根據(jù)概率密度演化理論，對于保守的隨機(jī)系統(tǒng)，其隨機(jī)性來源于系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性和外部激勵的隨機(jī)性，本文方法不僅可以精細(xì)地描述隨機(jī)系統(tǒng)外部激勵的隨機(jī)性，也可以同時(shí)描述系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性，因而可結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及抗風(fēng)可靠度精細(xì)化分析。

為分析方便，本文僅對高度為z₁=75m，z₂=100m以及z₃=150m三點(diǎn)處的脈動風(fēng)速隨機(jī)過程進(jìn)行分析。圖1為三點(diǎn)處生成的脈動風(fēng)速代表性時(shí)程，從圖1可知，上述兩類隨機(jī)函數(shù)形式的模擬結(jié)果均具有脈動風(fēng)速過程的典型特征。圖2為233條脈動風(fēng)速代表性時(shí)程的均值與目標(biāo)值比較；圖3為233條脈動風(fēng)速代表性時(shí)程的標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)值比較。從圖2和3的中可知，兩類隨機(jī)函數(shù)形式的模擬結(jié)果均與目標(biāo)值十分接近。進(jìn)一步地，表2給出了兩類隨機(jī)函數(shù)模擬結(jié)果的具體誤差，從表中可以看出，兩類隨機(jī)函數(shù)模擬結(jié)果的均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差誤差均非常小，其中均值誤差達(dá)到10^-10，當(dāng)采用經(jīng)典的譜表示法模擬時(shí)，往往需生成數(shù)量巨大的脈動風(fēng)速樣本時(shí)程才能達(dá)到同樣的精度水平。為此，以建筑高度z₁=75m為例，采用經(jīng)典的譜表示法進(jìn)行1000次模擬，計(jì)算的均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差誤差分別為2.47%和0.1%，其中均值誤差遠(yuǎn)大于本文方法的誤差，標(biāo)準(zhǔn)差誤差與本文方法接近。這說明隨機(jī)函數(shù)降維方法僅需較小的樣本容量即可獲得較高的模擬精度，極大地提高了隨機(jī)模擬的效率。從表2中也可以看出，第一類隨機(jī)函數(shù)形式的模擬誤差略小于第二類隨機(jī)函數(shù)形式的模擬誤差，這是由于第二類隨機(jī)函數(shù)形式在等概率反變換選點(diǎn)時(shí)的強(qiáng)非線性所致。

圖4給出了兩類隨機(jī)函數(shù)形式生成的233條代表性時(shí)程的平均自相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)自相關(guān)函數(shù)比較；圖5為兩類隨機(jī)函數(shù)形式生成的233條代表性時(shí)程的平均互相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)互相關(guān)函數(shù)比較。從圖4和5中可知，兩類隨機(jī)函數(shù)形式的模擬結(jié)果均與目標(biāo)相關(guān)函數(shù)擬合很好，進(jìn)一步表明本文方法的有效性。

4結(jié)論

從基于正交隨機(jī)變量的譜表示方法出發(fā)，引入隨機(jī)函數(shù)的約束條件，構(gòu)造了兩類正交隨機(jī)變量集的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)形式，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)脈動風(fēng)場的譜表示降維模擬，研究表明：

（1）隨機(jī)函數(shù)可以有效地降低脈動風(fēng)場的隨機(jī)度。通過構(gòu)造隨機(jī)函數(shù)的形式，實(shí)現(xiàn)了僅用兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可在二階統(tǒng)計(jì)意義上較精確地表達(dá)隨機(jī)脈動風(fēng)場，避免了經(jīng)典的譜表示法需要大量的隨機(jī)變量來描述脈動風(fēng)速隨機(jī)場的困境。

（2）隨機(jī)函數(shù)的構(gòu)造形式具有多樣性。在滿足基本條件的前提下，本文構(gòu)造了兩類不同形式的隨機(jī)函數(shù)，即三角函數(shù)與三角函數(shù)乘積型以及三角函數(shù)與正交多項(xiàng)式乘積型。盡管兩類隨機(jī)函數(shù)的構(gòu)造形式及其基本隨機(jī)變量的概率分布不同，但都能有效地模擬隨機(jī)脈動風(fēng)場，且模擬結(jié)果的誤差接近。因此，在工程應(yīng)用中，可選擇適當(dāng)?shù)碾S機(jī)函數(shù)形式來模擬隨機(jī)脈動風(fēng)場。

（3）譜表示降維法所生成的代表性時(shí)程數(shù)量少，一般僅需數(shù)百條代表性時(shí)程即可在概率密度層次上反映隨機(jī)脈動風(fēng)場的概率特性。每條代表性時(shí)程的賦得概率是由基本隨機(jī)變量選點(diǎn)來唯一確定，且生成的所有代表性時(shí)程構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，這與概率密度演化理論具有一致性，從而為結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)抗風(fēng)可靠度的精細(xì)化分析提供基礎(chǔ)。