朱日升， 張逸群， 楊東武， 楊癸庚

(西安電子科技大學 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071)

鑒于火箭運載空間和能力限制，可展開性成為現(xiàn)代大口徑星載天線的典型特征之一．網(wǎng)狀可展開天線具有形面精度高、收納率高、面密度小等特點，是目前大口徑高精度可展開天線的研究熱點．根據(jù)柔性金屬絲網(wǎng)的支撐形式和桁架展開驅(qū)動方式的不同，網(wǎng)狀可展開天線可分為纏繞肋、徑向肋、周邊桁架和構(gòu)架式等幾種類型[1-3]．周邊桁架可展開天線是目前大型高精度可展開天線的主流形式，該類型天線主要由上、下網(wǎng)面，金屬絲網(wǎng)，環(huán)形桁架以及調(diào)節(jié)索組成，如圖1所示．經(jīng)編金屬絲網(wǎng)被鋪設(shè)在上網(wǎng)面，火箭發(fā)射時保持折疊收攏的狀態(tài); 衛(wèi)星進入運行軌道后要求編織金屬絲網(wǎng)能安全展開，且展開后網(wǎng)孔尺寸需要滿足天線的工作頻段要求，保證天線正常工作．

圖1　周邊桁架網(wǎng)狀天線的基本組成結(jié)構(gòu)

經(jīng)編金屬絲網(wǎng)被廣泛應用于可展開天線[4]，其編織結(jié)構(gòu)、網(wǎng)孔形狀、尺寸大小和網(wǎng)面各向延展性等因素直接影響天線的電性能與力學性能[5]．在實際應用中，天線的工作頻段(波長)往往決定了金屬絲網(wǎng)的網(wǎng)孔大小，因此，在設(shè)計索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的初始形態(tài)時，應結(jié)合絲網(wǎng)的力學性能分析其對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的影響，以保證天線的形面精度、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和網(wǎng)孔大小滿足天線的工作要求．目前，雖然文獻[6]已將經(jīng)編金屬絲網(wǎng)廣泛應用于網(wǎng)狀可展開天線，但尚未有公開文獻涉及絲網(wǎng)的力學特性分析．而國內(nèi)，文獻[7-8]主要是通過絲網(wǎng)的拉伸實驗研究其力學性能，但缺少必要的理論分析基礎(chǔ)．文獻[9]以雙梳鍛類結(jié)構(gòu)絲網(wǎng)為研究對象，建立其有限元模型，并實現(xiàn)了靜力學分析，但是缺少對模型準確性較為全面的驗證．

針對上述問題，筆者以網(wǎng)眼式金屬絲網(wǎng)為研究對象，建立其三維幾何模型，基于絲網(wǎng)拉伸過程一直處于黏結(jié)接觸狀態(tài)的假設(shè)，采用增廣的拉格朗日法推導了絲網(wǎng)考慮接觸問題后的增量有限元求解方程，實現(xiàn)了絲網(wǎng)的力學性能分析; 最后結(jié)合絲網(wǎng)雙向拉伸的仿真分析和實驗，通過對比仿真與實驗數(shù)據(jù)，驗證了絲網(wǎng)力學性能分析方法的正確性，絲網(wǎng)的仿真分析結(jié)果可真實反映出實物的力學特性．

1　經(jīng)編金屬絲網(wǎng)的三維幾何建模

圖2　網(wǎng)眼式經(jīng)編金屬絲網(wǎng)

由編織工藝學可知，經(jīng)編金屬絲網(wǎng)是由多個最小重復結(jié)構(gòu)單元組成的周期性結(jié)構(gòu)，最小重復結(jié)構(gòu)之間通過線圈在縱向的相互穿套實現(xiàn)連接，其結(jié)構(gòu)復雜多變．根據(jù)經(jīng)編線圈的結(jié)構(gòu)特點，可以將線圈主干與延展線視為一個整體，如圖2所示．紡織學者對經(jīng)編結(jié)構(gòu)幾何描述的研究已有60余年，但關(guān)于其三維幾何建模的研究還處于起步階段．目前，學者一般基于文獻[10-11]提出的三維線圈模型，根據(jù)特定的編織結(jié)構(gòu)，定義描述線圈形狀的型值點三維坐標，然后采用非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)曲線擬合得到線圈的中心線走向，最終線圈間通過連接對應的延展線型值點，可建立得到絲網(wǎng)的三維幾何模型[12-13]．

絲網(wǎng)在編織過程中，其單絲在經(jīng)編線圈中的走向彎曲多變，為能較好地描述線圈的實際形狀，文中共采用11個型值點定義成圈線圈的形狀，若忽略線圈的傾斜，線圈的幾何形狀如圖3(a)所示．其中，線圈主干主要由型值點P0～P6點所定義的曲線構(gòu)成; 成圈線圈的延展線主要由P6～P10點所定義的曲線構(gòu)成，起著連接上下橫列線圈的作用．絲網(wǎng)線圈的型值點P0～P10三維坐標由線圈的理論形狀確定，而針對絲網(wǎng)實際編織過程中線圈存在的誤差和不一致性，型值點也可通過實測獲得．最終由NURBS曲線擬合得到最小重復結(jié)構(gòu)如圖3(b)所示，絲網(wǎng)局部的幾何模型如圖3(c)所示．

圖3　網(wǎng)眼式經(jīng)編金屬絲網(wǎng)的幾何模型

2　經(jīng)編金屬絲網(wǎng)的有限元分析

2.1　彈性體有限元方程

一般情況下，彈性體基于初始構(gòu)型的當前平衡關(guān)系，其虛功方程為

(1)

其中，Pv和Ps分別為作用在彈性體上的體積力和面力，q、σ和ε分別表示彈性體的位移、應力和應變．式(1)的左端為由變形引起的內(nèi)力虛功，右端項分別為體積力及面力做的虛功．進而，根據(jù)虛功原理，可得到彈性體的有限元方程為

(KL+KNL)q=R-RS,

(2)

2.2　絲網(wǎng)單絲間的交叉接觸分析

絲網(wǎng)內(nèi)相互串套的線圈單絲以及相互交叉的延展線單絲存在著高度非線性的交叉接觸問題，直接影響絲網(wǎng)的力學性能，因此，如何有效地簡化并實現(xiàn)絲網(wǎng)的接觸分析具有重要意義．通過觀察絲網(wǎng)的雙向拉伸過程可知，單絲間的滑動位移量相比于線圈的變形量是微小的，進而，為簡化絲網(wǎng)的接觸問題且保證其迭代求解的收斂性，假設(shè)拉伸過程中絲網(wǎng)發(fā)生接觸的單絲一直處于黏結(jié)接觸狀態(tài)，忽略絲網(wǎng)在編織過程中線圈形狀的不一致性，假設(shè)絲網(wǎng)的每個最小重復結(jié)構(gòu)對應的網(wǎng)孔形狀和大小均相同．下面以絲網(wǎng)任意一處單絲的交叉接觸為例，如圖4所示，描述含接觸問題的彈性體有限元求解過程．

2.2.1黏結(jié)接觸狀態(tài)的約束條件

任意t時刻的黏結(jié)接觸狀態(tài)約束條件[14]可歸結(jié)為

(7)

其中，t-ΔtξA和t-ΔtξB分別是接觸體A和目標體B在(t-Δt)時刻接觸點的節(jié)點坐標;tnB為目標體B上接觸點的單位法向量．

圖4　絲網(wǎng)單絲之間接觸的描述

式(4)和式(6)表示黏結(jié)接觸的切向摩擦力條件，且接觸體間處于靜摩擦狀態(tài)，μτ為靜摩擦系數(shù);tqT為接觸體A、目標體B上對應接觸點對切向的相對滑動位移．

式(5)表示接觸面上的法向接觸力為壓力，接觸力的符號由圖4沿坐標系z的正向定義．

2.2.2黏結(jié)接觸狀態(tài)下的接觸力描述

含接觸問題的彈性體在滿足接觸約束方程的前提下，其虛功方程可表示為

(8)

其中，右端的第3項為接觸力做的虛功，即

(9)

構(gòu)造勢能泛函時，以增廣的拉格朗日乘子法將接觸約束條件引入勢能泛函中，可定義其廣義泛函為

Π=Πu+ΠCL+ΠCP,

(10)

其中，Πu為不包括接觸約束條件的勢能;ΠCL和ΠCP分別為以拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法引入接觸約束條件的附加泛函．基于黏結(jié)接觸問題的約束條件，所構(gòu)造的ΠCL和ΠCP可表示為

其中，N、τ1和τ2分別是圖4接觸面局部坐標系的法向、切向1和切向2．令δΠ=δΠu+δΠCL+δΠCP=0，則有

(13)

結(jié)合式(13)與式(8)可知，黏結(jié)接觸狀態(tài)下接觸力與拉格朗日乘子λ、罰數(shù)α間的關(guān)系為

Fc=-λ-αP(qA-qB)-αNgc,

(14)

2.3　彈性體黏結(jié)接觸的有限元方程

基于虛功原理，對于考慮接觸問題的彈性體，其增量形式的有限元求解方程[14]為

(KL+KNL) Δq=R+Qc-RS,

(15)

其中，Δq為節(jié)點位移增量，Δq=t+Δtq-tq，tq和t+Δtq分別為t和t+Δt時刻的節(jié)點位移向量；Qc為等效節(jié)點接觸力．等效節(jié)點接觸力Qc可由接觸力Fc表示為

(16)

其中，T為坐標轉(zhuǎn)換矩陣．假設(shè)αN=ατ1=ατ2=α，則第k對接觸點對的等效節(jié)點接觸力(Qc)k可簡化為

(17)

黏結(jié)接觸狀態(tài)的約束條件式(3)和式(4)可寫成

(18)

將式(17)代入式(15)，并結(jié)合約束條件式(18)，基于增廣拉格朗日乘子法的黏結(jié)接觸狀態(tài)增量形式有限元平衡方程為

(19)

式(19)屬于靜態(tài)接觸問題，以Newmark隱式算法迭代求解，則求解的隱式算法遞推公式為

(20)

3　經(jīng)編金屬絲網(wǎng)力學性能的仿真與實驗對比

圖5　雙向拉伸的金屬絲網(wǎng)變形示意圖

為說明文中方法的正確性，對1 m×1 m方形絲網(wǎng)結(jié)構(gòu)分別進行了雙向拉伸的仿真分析和實驗．由于絲網(wǎng)四周均受相同的載荷拉伸時，其橫、縱向產(chǎn)生的承載力通過成圈線圈結(jié)構(gòu)相互影響制約，單絲的殘余預應力相比于其所受的承載力是微小的，因而仿真與實驗中尚未考慮絲網(wǎng)的應力釋放問題．

記絲網(wǎng)的橫向平行于X軸，縱向平行于Y軸，如圖5所示，絲網(wǎng)四周受相同載荷拉伸后，橫向、縱向應變可定義為

(21)

其中，X0和Y0分別為絲網(wǎng)橫向和縱向的初始長度，X和Y分別為絲網(wǎng)受雙向拉伸后的橫向和縱向長度．

網(wǎng)眼式經(jīng)編金屬絲網(wǎng)的具體參數(shù)如下: 縱密32個/(5 cm)，橫密25個/(5 cm)，絲網(wǎng)單絲的材料為不銹鋼絲，直徑為 0.05 mm，彈性模量為 1 200 MPa，泊松比為0.3．對絲網(wǎng)進行雙向拉伸仿真分析，仿真的橫、縱向應變結(jié)果列于表1中．

表1　絲網(wǎng)雙向拉伸的橫縱向應變值

圖6　絲網(wǎng)的雙向拉伸實驗

絲網(wǎng)的雙向拉伸實驗由如圖6(b)所示的四周均載受力-變形試驗臺實現(xiàn)，實驗步驟如下:取 1 m× 1 m 規(guī)格的金屬絲網(wǎng)作為實驗對象，為避免絲網(wǎng)在拉伸過程中發(fā)生滑移，對試樣夾頭處進行特種膠處理．絲網(wǎng)四周的載荷由初始的 5 N/m 加載至 50 N/m，即每次加載均在每邊平穩(wěn)放置5N的砝碼，載荷的加載次數(shù)計為10次．每次加完砝碼待穩(wěn)定后，測量橫向和縱向的絲網(wǎng)伸長量，計算其應變值．絲網(wǎng)雙向拉伸的橫、縱向應變值列于表1中，圖7為雙向拉伸的絲網(wǎng)其仿真與實驗的拉伸曲線圖．

圖7　雙向拉伸的絲網(wǎng)其仿真與實驗的拉伸曲線圖

從表1可知，仿真與實驗的橫向應變值最大誤差為0.071 2，平均誤差為0.035 4; 縱向應變值的最大誤差為 0.091 7，平均誤差為 0.050 9，說明了文中絲網(wǎng)力學分析方法的正確性，其較真實地反映出實際結(jié)構(gòu)的力學性能．而從圖7可知，仿真與實驗的橫、縱向拉伸曲線趨勢基本一致，拉伸初期曲線呈現(xiàn)出微弱的非線性; 隨著載荷的增加，曲線段逐漸呈線性．當絲網(wǎng)的橫、縱方向承受相同的載荷時，其橫向伸長量要大于縱向伸長量，呈現(xiàn)出較強的各向異性特點．這是因為參與編織的金屬單絲沿結(jié)構(gòu)的縱向穿套成圈，橫向由延展線連接，當絲網(wǎng)受雙向拉伸時，縱向拉伸力主要由圈柱承載，橫向拉伸力主要由圈弧承載，圈柱受到外力后易伸直，變形量遠遠小于橫向圈弧的轉(zhuǎn)移和伸直的變形量．因此，絲網(wǎng)承載相同的載荷時，其橫向伸長量均大于縱向伸長量．

洙趙新河流域西靠黃河，東臨南陽湖，北接梁濟河流域，南與萬福河和東魚河搭界，屬黃泛沖積平原，地勢西高東低，流域總面積4 206 km2。其中菏澤市境內(nèi)流域面積4 119 km2，流域內(nèi)耕地 431萬畝（28.73萬 hm2）、人口450萬人，糧食單產(chǎn)600 kg以上，棉花單產(chǎn)60 kg以上。含有京九鐵路、兗新鐵路、菏澤電廠、濟菏高速、巨野煤礦等重要保護目標。

4　結(jié) 束 語

為了實現(xiàn)含接觸問題的經(jīng)編金屬絲網(wǎng)力學分析，文中建立了絲網(wǎng)的三維幾何模型，并基于增廣拉格朗日法，將接觸約束方程引入結(jié)構(gòu)的勢能泛函中，推導了絲網(wǎng)力學分析的增量有限元求解方程．通過對比絲網(wǎng)雙向拉伸的仿真和實驗數(shù)據(jù)，說明了分析方法的有效性．分析結(jié)果表明，網(wǎng)眼式金屬絲網(wǎng)呈現(xiàn)出較強的各向異性特性，可為未來索網(wǎng)-金屬絲網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)找形分析與設(shè)計、金屬絲網(wǎng)的鋪設(shè)過程提供參考．

文中求解接觸問題時，一些接觸參數(shù)選取主要是基于大量仿真與實驗對比的總結(jié)獲得．針對經(jīng)編金屬絲網(wǎng)，如何給出通用化的參數(shù)選取準則，將是下一步研究的方向之一．

參考文獻：

[1] MIURA K, MIYAZAKI Y. Concept of the Tension Truss Antenna[J]. AIAA Journal, 1990, 28(6): 1098-1104.

[2]MEGURO A, SHINTATE K, USUI M, et al. In-orbit Deployment Characteristics of Large Deployable Antenna Reflector Onboard Engineering Test Satellite Ⅷ[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(9/10): 1306-1316.

[3]DUAN B Y, YOU G Q. Optimization of Large Cable-mesh Surface Antenna with Both Deployed and Retracted States in Space[C]//Proceedings of the 2006 11th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference. Reston: AIAA, 2006: 943-950.

[4]MIURA A, TANAKA M. A Mesh Reflecting Surface with Electrical Characteristics Independent on Direction of Electric Field of Incident Wave[C]//Proceedings of the 2004 IEEE Antennas and Propagation Society Symposium. Piscataway: IEEE, 2004: 33-36.

[5]賽興鵬, 秦慶彥. 可收展衛(wèi)星天線用金屬網(wǎng)技術(shù)研究進展[J]. 貴金屬, 2011, 32(1): 82-87.

SAI Xingpeng, QIN Qingyan. Advances on the Metal Gauzes in Drawing-in and Opening-up Satellite Antenna[J]. Precious Metals, 2011, 32(1): 82-87.

[6]BASSILY S F, URIBE J. Mesh Tensioning, Retention and Management Systems for Large Deployable Reflectors: US Patent 6384800B1[P]. 2002.

[7]李楠, 蔣金華, 邵光偉, 等. 經(jīng)編網(wǎng)格織物的性能研究[J]. 針織工業(yè), 2016(1): 23-27.

LI Nan, JIANG Jinhua, SHAO Guangwei, et al. Performance Study of Warp Knitted Eyelet Fabric[J]. Knitting Industries, 2016(1): 23-27.

[8]李歡, 王少鵬, 黃春良, 等. 經(jīng)編金屬絲網(wǎng)狀織物拉伸性能研究[J]. 針織工業(yè), 2016(11): 22-25.

LI Huan, WANG Shaopeng, HUANG Chunliang, et al. Study of Tensile Properties of Warp Knitted Metal Mesh Fabric[J]. Knitting Industries, 2016(11): 22-25.

[9]LI T J, JIANG J, SHEN T T, et al. Analysis of Mechanical Properties of Wire Mesh for Mesh Reflectors by Fractal Mechanics[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2015, 92: 90-97.

[10]GOKTEPE O. Use of Non-uniform Rational B-splines for Three-dimensional Computer Simulation of Warp Knitted Structures[J]. Turk Journal Engineer Environ Science, 2001, 25(4): 369-378.

[11]GOKTEPE O, HARLOCK S C. A 3D Loop Model for Visual Simulation of Warp-knitted Structures[J]. Journal of the Textile Institute, 2002, 93(1): 11-28.

[12]XU H Y, CHEN N L, JIANG J H, et al. 3D Simulation of Warp Knitted Structures with a New Algorithm Based on NURBS[J]. Fibres and Textiles in Eastern Europe, 2015, 23(1): 57-60.

[13]JIANG G M, GU L Y, CONG H L, et al. Geometric Model for Multi-axial Warp-knitted Fabric Based on NURBS[J]. Fibres and Textiles in Eastern Europe, 2014, 105(3): 91-97.

[14]曾攀. 塑性非線性分析原理[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2015: 210-225.