賀王鵬， 孫　偉， 蘇　博， 閆允一， 郭寶龍

(西安電子科技大學 空間科學與技術學院，陜西 西安 710071)

重大機械設備不僅是重要的工業(yè)制造產(chǎn)品，也是關鍵的生產(chǎn)資料，其使用幾乎覆蓋了后續(xù)更新產(chǎn)品的設計、制造、測試和服役保障等諸多環(huán)節(jié)．然而，這些關鍵設備在高溫腐蝕、復雜極端、重載強度和長時間疲勞等惡劣的工作條件下運行，零部件不可避免會發(fā)生性能退化和故障失效[1]．

旋轉機械關鍵零部件存在局部損傷故障時，其運行過程中會產(chǎn)生周期性沖擊響應特征，且每個有用沖擊特征信息并不是孤立的數(shù)據(jù)點，而是具有簇稀疏的點集合．在機械設備運行過程中，采集得到的振動信號不可避免地會受到系統(tǒng)噪聲和環(huán)境噪聲的干擾．當設備存在早期微弱故障時，故障的特征本身比較微弱，有用的故障特征信息往往被淹沒在強大的背景噪聲中[2]．機械故障動態(tài)信號的微弱性主要表現(xiàn)在兩個方面:故障損傷信號特征本身非常微弱，如早期故障;有用故障特征信號被機械系統(tǒng)多干擾源和強噪聲所淹沒，導致難以識別，這使得關鍵設備的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷的難度不斷增大[3]．因此，研究先進的故障特征提取技術，具有重要的工程意義和實用價值．

近年來工程中廣泛應用的傅里葉變換和小波變換等非平穩(wěn)信號處理方法，其本質都是基于內積變換原理的特征波形基函數(shù)分解．其中，基于小波的稀疏特征提取技術得到了國內外學者的廣泛關注[4]．然而，對于復雜多變信號，小波變換在信號稀疏特征提取方面缺乏自適應性．針對此類信號，建立在多種基函數(shù)之上的原子分解方法(如匹配追蹤和基追蹤)可以取得較好的效果[5]．目前廣泛應用的稀疏優(yōu)化模型中，基于l1范數(shù)的凸正則化得到各個領域的青睞．然而，非凸正則化往往能夠取得更好的處理效果，但是非凸正則項的引入可能會犧牲目標函數(shù)的凸性[6]．針對此問題，文獻[7]提出了一種巧妙的解決思路:通過適當?shù)募s束非凸正則項(懲罰函數(shù))，使其與凸的二次數(shù)據(jù)保真項進行平衡，可以保證目標函數(shù)整體仍然為凸．基于上述思想，一些學者在近年來構造出具體的優(yōu)化模型，并取得了比凸正則化更佳的應用效果[8]．

筆者針對旋轉機械的周期簇稀疏故障特征提取問題，深入研究了一種周期重疊簇稀疏(Periodic Overlapping Group Sparsity， POGS)信號優(yōu)化特征提取算法[6]．旨在從含噪觀測數(shù)據(jù)中提取周期簇稀疏故障特征，所研究的POGS算法構造了有效的優(yōu)化目標函數(shù)，該目標函數(shù)中的正則項(懲罰函數(shù))選用非凸懲罰函數(shù)來增強周期性特征的稀疏性，并且證明了非凸可控化參數(shù)在一定約束條件下可以保證目標函數(shù)整體為凸．引入優(yōu)控極小化方法(Majorization-Minimization， MM)[9]，推導出高效的迭代收斂算法用于POGS算法優(yōu)化問題的求解．將所提出的POGS算法應用于仿真信號，定量地分析了其有效性．最后將POGS算法應用于軸承故障特征提取中，進一步驗證了其在稀疏故障特征提取中的優(yōu)越性．

1　問題描述和非凸懲罰函數(shù)

1.1　問題描述

文中研究時域周期性簇稀疏故障特征的優(yōu)化提取問題．假設觀測到的含噪信號y可表示為

y=x+w,

(1)

其中，x表示具有周期簇稀疏特征的信號成分；w表示背景噪聲，通常假設為高斯白噪聲．需要說明的是，在通用的故障診斷降噪模型中，一般假設觀測信號由有用振動成分和干擾噪聲組成，而文中直接將觀測信號構造為稀疏故障特征和噪聲的合成信號，旨在提取出與故障直接相關的周期性稀疏特征．

1.2　非凸懲罰函數(shù)

文中選用非凸懲罰函數(shù)來增強周期性特征的稀疏性，假設非凸懲罰函數(shù)φ:R→R，滿足如下特性:

(1)φ在實數(shù)范圍內連續(xù)．

(2)φ在R{0}范圍內二階可微．

(3)φ在R+范圍內遞增且是凹的．

(4)φ是對稱函數(shù)，即φ(-x)=φ(x)．

圖1 絕對值凸函數(shù)與典型的非凸懲罰函數(shù)圖(a=2)

(5)φ′(0+)=1(在0處的斜率為1)．

(6) ?x≠0，存在φ″(x)≥φ″(0+)．

文中使用的非凸懲罰函數(shù)由一個標量參數(shù)靈活地實現(xiàn)非凸程度的調節(jié)，該標量參數(shù)標記為a>0．定義符號φ(x;a)來表示非凸懲罰函數(shù)的參數(shù)化形式．滿足以上假設的典型非凸懲罰函數(shù)有對數(shù)函數(shù)型(log)、有理分式函數(shù)型(rat)及反正切函數(shù)型(arctan)，如表1所示．這幾類典型的參數(shù)化非凸懲罰函數(shù)φ還具有如下特性:φ″(0+;a)= -a和φ(x;0)= |x|．絕對值凸函數(shù)和滿足本節(jié)假設的典型非凸懲罰函數(shù)如圖1所示．由圖1中可以觀察得到，反正切型(arctan)懲罰函數(shù)比其他兩種懲罰函數(shù)的非凸性更強，可以更大限度的增強提取特征的稀疏性．

表1　絕對值凸函數(shù)與典型的非凸稀疏懲罰函數(shù)

2　周期重疊簇稀疏信號優(yōu)化特征提取算法

針對旋轉機械的核心零部件在發(fā)生故障時常伴隨周期性非平穩(wěn)沖擊特征的先驗知識，研究一種高效的周期重疊簇稀疏(POGS)信號優(yōu)化特征提取算法．POGS算法具體包括優(yōu)化問題的構造、凸函數(shù)約束條件和快速收斂算法推導．

2.1　POGS算法優(yōu)化問題的構造

POGS算法構造如下的無約束優(yōu)化問題:

(2)

其中，P為優(yōu)化問題的目標函數(shù)；y∈RN，為觀測得到的含噪信號；b為二進制的序列b= {b0，b1，…，bK-1}，bk∈ {0，1}；懲罰函數(shù)φ:R→R，滿足1.2節(jié)中定義的假設條件．POGS算法優(yōu)化問題在懲罰函數(shù)作用的對象中創(chuàng)造性地引入二進制權重序列b，實現(xiàn)了稀疏特征結構的靈活性刻畫[6]．具體地，θ(x，b，n)是一個具有二進權重數(shù)據(jù)塊的歐幾里得范數(shù)(l2范數(shù))，該數(shù)據(jù)塊包含K個相鄰的信號點, 可表示為

(3)

2.2　凸函數(shù)約束條件

通過調節(jié)非凸懲罰函數(shù)的非凸程度，可以保證POGS算法優(yōu)化問題目標函數(shù)整體仍然為凸函數(shù)．其理論依據(jù)為:數(shù)據(jù)保真度項為凸的二次項(目標函數(shù)P中的第1項)，因此適當?shù)丶s束非凸懲罰函數(shù)φ的非凸程度，可以保證目標函數(shù)P整體為凸函數(shù)．目標函數(shù)P為凸函數(shù)可以保證用迭代收斂算法求解時，所得到的結果不會受陷于局部最優(yōu)解．

0≤a<1/(K1λ)

(4)

時，則目標函數(shù)P是嚴格凸的[6]．

2.3　POGS算法快速收斂求解算法

為求解POGS算法構造的優(yōu)化問題，引入優(yōu)控極小化方法(MM)求解所構造的目標函數(shù)，并提出了高效的迭代收斂數(shù)值算法[6]．由于可以約束所構造的優(yōu)化問題為凸，所提出的迭代優(yōu)化算法最終收斂于凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，這樣可以避免非凸優(yōu)化問題受困于局部最優(yōu)解的難題．其中，POGS算法的正則化參數(shù)的取值，可根據(jù)噪聲標準差大小進行設置[6]．為了最大化地增強提取特征的稀疏性，非凸可控化參數(shù)a在滿足約束式(4)的條件下取最大值進行設置．

POGS求解算法歸納如下:

輸入:y∈RN，λ，b∈{0，1}K，ε．

初始化:x=y，S={n:yn≠0}．

對n∈S，執(zhí)行循環(huán):

(2)xn=yn/(1+λrn)．

(3)S={n: |xn|>ε}．

直至收斂．

輸出:x．

3　仿真信號分析

為了驗證文中研究的POGS算法在周期性稀疏故障特征提取中的有效性，模擬了一組周期性沖擊信號特征，并添加高斯白噪聲n(t)用于模擬背景干擾噪聲．仿真信號表達式為

y(t)=exp(-50t) sin(2π×50t)+n(t)．

(5)

仿真的周期性沖擊信號及含噪信號波形分別如圖2(a)和圖2 (b)所示，其中采樣頻率fs= 1 000 Hz，信號長度為 2 048 個點，噪聲的標準差σ= 0.33．可以觀察到，在原始信號中模擬的周期性瞬態(tài)沖擊分量被強大的背景噪聲所淹沒．為定量地分析POGS算法在提取周期稀疏特征方面的有效性，選用均方根誤差(Root-Mean-Square Error，RMSE)和信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)作為評價指標．對于圖2(b)中的仿真含噪信號，其均方根誤差為0.328，信噪比為 -6.540 dB．

圖2　仿真信號波形圖

采用文中研究的POGS算法對該模擬含噪信號進行分析，其中正則化參數(shù)設置為λ= 0.152，算法迭代次數(shù)為30．POGS算法稀疏特征提取結果及優(yōu)化目標函數(shù)收斂特性分別如圖3(a)和圖3(b)所示．在提取得到的稀疏特征波形圖3(a)中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)周期性沖擊單元，其均方根誤差為0.101，信噪比為 3.653 dB．分析結果證明了所研究的POGS算法可以準確地恢復具有周期性稀疏特征的有用信號成分，最大限度地消除了背景噪聲的干擾．本例中所研究的POGS算法處理該仿真信號時運行時間僅為 0.009 s，完全滿足工程中對算法實時性的要求．測試軟硬件為: 聯(lián)想Y40筆記本，16 GB 內存，Intel i7-5500U處理器，Matlab 2011．

圖3　POGS算法稀疏特征提取結果及優(yōu)化目標函數(shù)收斂圖

4　實際信號驗證

為驗證所研究的POGS算法在機械故障特征提取中的有效性，這里將其應用于軸承故障振動信號分析中．振動信號來源于機械故障預防協(xié)會(Machinery Failure Prevention Technology Society， MFPTS)的故障模擬實驗臺，數(shù)據(jù)來源網(wǎng)址為http://www.mfpt.org/FaultData/FaultData.htm．表2中列出了測試滾動軸承的具體參數(shù)．輸入軸的轉頻(驅動頻率)為 25 Hz．由表2可以計算得到軸承內圈故障特征頻率為 118.9 Hz[10]．

表2　測試滾動軸承具體參數(shù)

圖4所示為采集的軸承內圈故障振動信號時域波形圖，該信號的采樣頻率和采樣長度分別為 48.828 kHz 與 9 765 點．采用文中研究的POGS稀疏優(yōu)化算法對該含噪振動信號進行分析，正則化參數(shù)λ與噪聲標準差大小σ成比例．本節(jié)中，針對實際測量得到的信號，背景噪聲的標準差σ可表示為

σ=median(|y|)/0.674 5,

(6)

其中，median(·)為取中值函數(shù)．式(6)為文獻[6]提出，并且已經(jīng)在小波降噪等研究中得到了廣泛的應用．利用式(6)估計得到的背景噪聲標準差大小σ= 0.729，設置正則化參數(shù)λ= 0.273 4．POGS稀疏特征提取結果如圖5所示，在提取得到的特征波形圖中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)周期性沖擊單元．沖擊單元間隔對應的頻率與內圈故障特征頻率 (118.9 Hz) 相一致．

圖4 內圈故障振動信號時域圖圖5 POGS稀疏特征提取結果圖

5　結 束 語

文中研究了機械故障信號的周期重疊簇稀疏(POGS)特征提取算法．POGS算法能夠有效地從時域含噪信號中提取出具有周期簇稀疏結構的故障特征．POGS算法構造了有效的優(yōu)化目標函數(shù)，該目標函數(shù)中的正則項(懲罰函數(shù))選用非凸懲罰函數(shù)來增強周期性特征的稀疏性，并且證明了非凸可控化參數(shù)在滿足一定約束條件下可以保證目標函數(shù)整體為凸．為求解POGS算法所構造的目標函數(shù)，引入優(yōu)控極小化方法，推導出高效的迭代收斂數(shù)值算法，該快速求解算法最終收斂于POGS算法優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解．將所提出的POGS算法應用于仿真信號，通過RMSE和SNR指標定量地分析了其有效性．最后將POGS算法應用于軸承故障特征提取中，進一步驗證其在稀疏故障特征提取中的優(yōu)越性．

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