曹　鵬， 保　宏， 杜敬利， 彭福軍

(1. 西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071;2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201108)

在衛(wèi)星通信、地球觀測(cè)及深空探測(cè)等領(lǐng)域，可展開(kāi)天線是必不可少的關(guān)鍵設(shè)備[1-2]．平面薄膜天線收納比大、質(zhì)量輕、加工成本低，是空間天線結(jié)構(gòu)的研究熱點(diǎn)之一．其中，天線精度是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)，而薄膜邊界形狀對(duì)膜面應(yīng)力分布及膜面精度有著重要影響[3]，已成為平面薄膜天線的重要研究?jī)?nèi)容．

由于平面薄膜天線在邊界處存在索膜滑移現(xiàn)象，所以建模時(shí)不容忽略．文獻(xiàn)[4]在對(duì)一種新型薄膜材料進(jìn)行張拉分析時(shí)，將邊界處張拉帶與薄膜采用相同單元?jiǎng)澐植⒐蚕砉?jié)點(diǎn)，該方法使邊界變形更加協(xié)調(diào)，但實(shí)際是對(duì)邊界進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并未解決滑移問(wèn)題．文獻(xiàn)[5]基于索膜滑移過(guò)程中節(jié)點(diǎn)索力連續(xù)及全局索力平衡關(guān)系建立了滑移索單元與滑移膜單元，但僅得到靜力平衡結(jié)果，無(wú)法模擬索段滑移的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．文獻(xiàn)[6]采用動(dòng)力松弛法建立了一種滑移索單元，但未考慮索膜間的摩擦力因素．文獻(xiàn)[7]將連續(xù)索離散成質(zhì)點(diǎn)集合，并基于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律，推導(dǎo)了滑移索單元的內(nèi)力公式．文獻(xiàn)[8]根據(jù)滑移索拉力與長(zhǎng)度之比的變化推導(dǎo)了索段的滑移剛度．但上述研究著重考慮索段與支點(diǎn)之間的切點(diǎn)變化，未考慮索段與支點(diǎn)的滑移穩(wěn)定問(wèn)題．

針對(duì)薄膜邊界形狀如何確定的問(wèn)題，學(xué)者主要研究了拋物線、圓弧及橢圓等特定形狀．文獻(xiàn)[9]對(duì)圓弧邊界薄膜施加雙軸等值拉力，發(fā)現(xiàn)膜面應(yīng)力分布較為理想，可有效避免褶皺產(chǎn)生．文獻(xiàn)[10]認(rèn)為當(dāng)膜面處于雙軸等值應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，褶皺出現(xiàn)的可能性最小，并基于張力場(chǎng)理論證明了薄膜在雙軸等值應(yīng)力狀態(tài)下形成的邊界曲線為圓?。墨I(xiàn)[11]分別對(duì)薄膜施加一定張拉力及熱載荷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)薄膜邊界褶皺區(qū)域近似為橢圓，因此認(rèn)為將橢圓形褶皺區(qū)域裁剪掉，便可得到理想薄膜邊界．類(lèi)似地，文獻(xiàn)[12]也通過(guò)大量張拉實(shí)驗(yàn)總結(jié)出薄膜邊界褶皺區(qū)域裁剪曲線的經(jīng)驗(yàn)公式．但上述研究主觀性較強(qiáng)，缺少理論證明，難以應(yīng)用到實(shí)際工程中．文獻(xiàn)[13]采用橢圓曲線建立薄膜初始邊界，通過(guò)對(duì)應(yīng)力集中區(qū)的曲線進(jìn)行修正來(lái)減少膜面變形．文獻(xiàn)[14]中針對(duì)圓弧形邊界薄膜分析了在一定壓力條件下，薄膜的固有頻率與邊界幾何參數(shù)之間的關(guān)系，認(rèn)為當(dāng)邊界形狀致使薄膜面積減少時(shí)，薄膜的固有頻率增加．

目前對(duì)薄膜邊界形狀的研究存在兩點(diǎn)不足: 首先，內(nèi)懸索與薄膜在建模時(shí)按理想化處理，將邊界處索元與膜元共享節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)化誤差較大; 其次，對(duì)薄膜邊界形狀的研究均針對(duì)特定形狀展開(kāi)，如拋物線、圓弧、橢圓等，具有很大的局限性，且當(dāng)特定形狀薄膜受張拉后，邊界發(fā)生變形，與預(yù)設(shè)形狀不一致，將對(duì)結(jié)構(gòu)分析帶來(lái)一定誤差．針對(duì)以上問(wèn)題，筆者考慮了索膜在受張拉時(shí)產(chǎn)生滑動(dòng)的情況，建立了一種非線性有限元模型，并在此基礎(chǔ)上，將索膜邊界視為B樣條曲線，以曲線控制點(diǎn)位移為設(shè)計(jì)變量，通過(guò)優(yōu)化索膜結(jié)構(gòu)實(shí)際應(yīng)力與工程參考應(yīng)力間的偏差，實(shí)現(xiàn)了對(duì)薄膜在任意初始邊界下的形狀優(yōu)化，科學(xué)、合理地確定了邊界形狀．

1　平面薄膜天線索膜結(jié)構(gòu)邊界建模

圖1　平面薄膜天線結(jié)構(gòu)示意圖

平面薄膜天線結(jié)構(gòu)如圖1所示，薄膜通過(guò)牽連索及內(nèi)懸索張拉于周邊剛架上; 內(nèi)懸索與薄膜的連接方式以及邊界形狀等因素會(huì)直接影響懸索與薄膜間的應(yīng)力傳遞，進(jìn)而影響膜面精度．在實(shí)際中，為實(shí)現(xiàn)懸索對(duì)膜面的均勻張拉，內(nèi)懸索會(huì)置于乳膠管中，當(dāng)內(nèi)懸索受張力作用時(shí)將與薄膜產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)．傳統(tǒng)的有限元建模將邊界處索元與膜元共享節(jié)點(diǎn)，忽略了索膜間的滑動(dòng)作用，這將對(duì)結(jié)構(gòu)分析等帶來(lái)一定誤差．

懸索與薄膜間相對(duì)滑動(dòng)是應(yīng)力平衡的過(guò)程．在滑動(dòng)作用下，索膜應(yīng)力集中程度降低，膜面應(yīng)力分布將更加均勻，這一過(guò)程與彈簧的作用類(lèi)似，因此筆者采用彈簧單元建立內(nèi)懸索與薄膜邊界的連接關(guān)系．在進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元建模時(shí)，邊界處索節(jié)點(diǎn)與膜節(jié)點(diǎn)處于同一位置，在懸索與薄膜重合節(jié)點(diǎn)之間建立兩個(gè)零長(zhǎng)度的面內(nèi)單自由度彈簧單元．設(shè)薄膜法向?yàn)閦，則兩彈簧單元分別在x及y向承受拉伸作用，彈簧單元的面內(nèi)形變可模擬索膜間的相對(duì)滑動(dòng)．

2　平面薄膜天線邊界形狀優(yōu)化

樣條曲線是由一組控制點(diǎn)插值或逼近得到的光滑曲線，其中B樣條曲線定義如下:

(1)

其中，Pi為曲線控制點(diǎn)，F(xiàn)t，n(t)為n次B樣條基函數(shù)，其形式為

(2)

B樣條曲線采用分段定義．若給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)Pi(i=0，1，2，…，m+n)，則可定義m+1 段n次B樣條曲線，且曲線在頂點(diǎn)處n-1 階連續(xù)．與其他樣條曲線相比，B樣條曲線更加靈活，局部形狀受頂點(diǎn)控制更加明顯，具有良好的局部修改能力和較好的逼近性能．基于此，采用B樣條曲線建立薄膜邊界并進(jìn)行形狀優(yōu)化，計(jì)算模型如圖2所示．

圖2 索膜結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

天線結(jié)構(gòu)優(yōu)化通常以精度或質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，而薄膜抗彎剛度小，易屈曲，應(yīng)力分布會(huì)嚴(yán)重影響膜面剛度及精度．一般來(lái)說(shuō)，膜面應(yīng)力越大，抗變形能力越強(qiáng)．然而，一味尋求較大的應(yīng)力必然會(huì)降低材料的使用壽命．經(jīng)綜合考慮，膜面應(yīng)力應(yīng)盡可能地接近工程期望的參考應(yīng)力狀態(tài)．因此，筆者以圖2所示曲線控制點(diǎn)Pi(i=1，2，…，N)的位移為設(shè)計(jì)變量，通過(guò)最小化結(jié)構(gòu)實(shí)際應(yīng)力與工程參考應(yīng)力間的偏差來(lái)尋求最優(yōu)邊界形狀．

假設(shè)薄膜邊界由L段B樣條曲線組成，每段曲線取M個(gè)控制點(diǎn)，每個(gè)控制點(diǎn)賦予兩個(gè)面內(nèi)自由度，則邊界形狀優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量數(shù)N為2LM，曲線形狀變化如圖2中局部放大圖所示，曲線垂跨比μ=h/l．設(shè)薄膜共劃分為n個(gè)單元，內(nèi)懸索共劃分為m個(gè)單元，牽連索張拉力為Fi(i=1，2，…，L)．約束條件如下:薄膜應(yīng)力不超過(guò)材料容許應(yīng)力[σ]mem；懸索應(yīng)力不超過(guò)材料容許應(yīng)力[σ]cab;結(jié)構(gòu)基頻不低于給定值f0；控制點(diǎn)位移最小值為Pl;控制點(diǎn)位移最大值為Pu．

優(yōu)化模型如下:

圖3　仿真校驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭D

3　仿真校驗(yàn)

通過(guò)如下算例對(duì)筆者提出的索膜結(jié)構(gòu)邊界建模及形狀優(yōu)化方法進(jìn)行仿真校驗(yàn)．

3.1　索膜結(jié)構(gòu)邊界建模仿真算例

采用彈簧單元模擬索膜結(jié)構(gòu)邊界處的滑動(dòng)現(xiàn)象，并基于圖3(a)所示模型進(jìn)行了數(shù)值仿真．材料參數(shù)如表1所示．懸索通過(guò)初應(yīng)變施加預(yù)張力并使膜面產(chǎn)生一定預(yù)應(yīng)力．為對(duì)比彈簧單元建模法與共享節(jié)點(diǎn)建模法的區(qū)別，模擬了膜面在空間受一定光壓的工況進(jìn)行分析．在實(shí)際中，太空光壓約為 9× 10-6Pa，數(shù)值較?。疄榉奖惴治鰧?duì)比，對(duì)膜面施加 1 Pa 的法向壓力．研究表明，薄膜屈曲變形主要由第2主應(yīng)力決定，故此處提取膜面第2主應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比．經(jīng)多次求解發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)k取值位于[0， 2× 107N/m] 范圍內(nèi)時(shí)，隨剛度系數(shù)的增大，彈簧單元法計(jì)算結(jié)果與共享節(jié)點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果越接近，直至相等．為有效模擬索膜間的滑移作用，彈簧剛度系數(shù)取值不宜過(guò)大，此處取 2× 103N/m．其中，薄膜應(yīng)力數(shù)值如表2所示，薄膜應(yīng)力分布如圖4所示．

由表2可知，與共享節(jié)點(diǎn)建模法相比，建立彈簧單元后膜面第2主應(yīng)力平均值、最大值及均方根值均減小，說(shuō)明膜面應(yīng)力分布更均勻，應(yīng)力集中程度降低．由圖4可知，建立彈簧單元后，薄膜第2主應(yīng)力分布形式和應(yīng)力梯度發(fā)生了明顯變化，由云圖與數(shù)值同樣可看出結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中程度降低．在實(shí)際中，懸索與薄膜相對(duì)滑動(dòng)是應(yīng)力平衡的過(guò)程．在滑動(dòng)作用下，索膜應(yīng)力集中程度將降低，膜面應(yīng)力分布將更均勻．?dāng)?shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際規(guī)律一致，說(shuō)明彈簧單元可有效地模擬索膜滑動(dòng)的效果．該方法將使薄膜天線索膜邊界建模與結(jié)構(gòu)分析更加準(zhǔn)確．

表1　材料參數(shù)

表2薄膜第2主應(yīng)力靜力分析結(jié)果MPa

圖4　薄膜第2主應(yīng)力云圖

3.2　薄膜邊界形狀優(yōu)化算例

以如圖3(b)所示模型為例對(duì)優(yōu)化方法進(jìn)行校驗(yàn)．該模型邊界由16段B樣條曲線組成，每段曲線取7個(gè)控制點(diǎn)．為保證結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性并減小計(jì)算量，首先將16段樣條曲線相同位置的控制點(diǎn)Pi(i=1，2，…，N)歸并為一類(lèi)，并將每段曲線兩端固定，中間5個(gè)控制點(diǎn)按對(duì)稱(chēng)性歸并為3類(lèi)，則該優(yōu)化問(wèn)題最終有3個(gè)設(shè)計(jì)變量，分別為P1、P2和P3．以弦長(zhǎng)為 25 cm、圓心角為60°的圓弧為基準(zhǔn)建立曲線的初始邊界，則初始形狀的垂跨比μ為0.134．以初始位置為基準(zhǔn)，當(dāng)控制點(diǎn)沿徑向遠(yuǎn)離薄膜對(duì)稱(chēng)中心移動(dòng)時(shí)，位移為負(fù)，反之為正．

設(shè)定控制點(diǎn)P1的位移范圍為[-15 mm，10 mm]，P2為[-15 mm，10 mm]，P3為 [-22 mm，22 mm]．薄膜工程參考應(yīng)力值為 1.315 MPa，內(nèi)懸索工程參考應(yīng)力值為 2.581 MPa，結(jié)構(gòu)基頻不低于 0.062 Hz．尼龍拉索直徑為 1.4 mm，容許應(yīng)力為 1 670 MPa；聚酰亞胺薄膜厚度為 0.025 mm，容許應(yīng)力為 231 MPa．牽連索張力大小如圖3(b)所示．調(diào)用Matlab軟件中的fmincon庫(kù)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表3所示．薄膜初始形狀及優(yōu)化形狀對(duì)比如圖5所示．

表3　優(yōu)化結(jié)果

圖5 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比圖圖6 張拉索膜系統(tǒng)實(shí)物樣機(jī)

由表3可知，經(jīng)過(guò)優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)值即索膜結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力偏差由 0.895 MPa 降低到 0.646 MPa，降幅為27.8%；曲線垂跨比由0.134變?yōu)?.176，結(jié)構(gòu)基頻有一定提高．由圖5可知，優(yōu)化形狀合理性強(qiáng)，符合工程中的一般規(guī)律，優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了筆者提出方法的有效性．

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果的可靠性，根據(jù)圖3(a)所示尺寸制作了圖6所示張拉索膜系統(tǒng)樣機(jī)，并以優(yōu)化形狀裁剪薄膜進(jìn)行張拉實(shí)驗(yàn)．薄膜由懸索張拉于周邊剛架上，懸索張力由拉力傳感器測(cè)量．對(duì)懸索施加圖3(b)所示的張力后，采用攝影測(cè)量技術(shù)獲得膜面變形的均方根誤差．經(jīng)測(cè)量，膜面均方根誤差為 0.13 mm，精度較高，形狀優(yōu)化取得了良好的效果．由于硬件限制，膜面應(yīng)力暫無(wú)法測(cè)量，完善的實(shí)驗(yàn)研究將在后期繼續(xù)進(jìn)行．

5　總　　結(jié)

針對(duì)平面薄膜天線邊界處懸索與薄膜存在滑動(dòng)的特點(diǎn)，建立了一種考慮索膜滑動(dòng)的非線性有限元模型，并通過(guò)數(shù)值模擬說(shuō)明了該方法的有效性．筆者提出的方法將使平面索膜結(jié)構(gòu)的建模與分析更加準(zhǔn)確．

基于非線性有限元模型，將薄膜邊界視為B樣條曲線，通過(guò)優(yōu)化曲線控制點(diǎn)位移得到最優(yōu)邊界形狀，并通過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)量對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證．該優(yōu)化方法突破了特定邊界形狀的局限性，科學(xué)、合理地確定了最優(yōu)邊界形狀．此外，通過(guò)優(yōu)化，膜面應(yīng)力分布更接近工程期望值，使得膜面剛度更加合理，將有助于提高材料使用壽命并降低膜面變形率．該方法為薄膜邊界形狀設(shè)計(jì)提供了一定的參考．

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