■甘肅省秦安縣第二中學(xué)　羅文軍

一、極值點(diǎn)偏移的概念

1.極值點(diǎn)不偏移

已知函數(shù)y=f(x)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x2),若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同,,我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)不偏移”(如圖1)。

2.極值點(diǎn)偏移

已知函數(shù)y=f(x)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0(即y=f(x)為單峰函數(shù)),且f(x1)=f(x2),若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同,函數(shù)的圖像不具有對稱性,常有極的情況,我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”(如圖2)。

圖1

圖2

二、解題策略

1.比值(差值)代換

運(yùn)用比值(差值)代換法不需要討論所給函數(shù)的單調(diào)性,也不需要求出參數(shù)的取值范圍,而是直接根據(jù)題意列出方程,然后結(jié)合分析法消去參數(shù),得出只含有x1和x2的等式或者不等式,最后通過比值(差值)代換,構(gòu)造新函數(shù),證明不等式。

(甘肅省蘭州第一中學(xué)2018屆高三第一次模擬試題)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

②當(dāng)a＞0時(shí),解f'(x)＞0得x＞a,解f'(x)＜0得0＜x＜a。所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)f(x)=b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,不妨設(shè)0＜x1＜x2。

點(diǎn)評:本題第一問考查了利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題,運(yùn)用了分類討論的思想方法;第二問利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題,運(yùn)用了比值代換法。

(2017年福建省八校適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1+x2＞2。

證明：函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,所以x1=aex1,x2=aex2。

記h(t)=(t-2)et+t+2(t＞0),則h'(t)=(t-1)et+1。

記m(t)=(t-1)et+1,則m'(t)=tet。當(dāng)t＞0時(shí),m'(t)＞0,m(t)＞m(0)=0,h'(t)＞0,h(t)＞h(0)=0。

故(t-2)et+t+2＞0成立,x1+x2＞2。

點(diǎn)評:本題解法運(yùn)用了差值代換法,沒有討論所給函數(shù)的單調(diào)性,也沒有求出參數(shù)a的取值范圍,而是直接根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,然后對兩個(gè)方程相加減,并結(jié)合分析法消去參數(shù)得出只含有x1,x2的不等式,最后通過差值代換,構(gòu)造新函數(shù),再二次求導(dǎo),證明不等式。

對于極值點(diǎn)偏移問題,如果原函數(shù)的解析式中含有l(wèi)nx,那么通常考慮用比值代換法;如果原函數(shù)的解析式中含有ex,那么可以考慮用差值代換法。

2.構(gòu)造差函數(shù)法

構(gòu)造差函數(shù)破解函數(shù)極值點(diǎn)的偏移問題的基本步驟為:

(1)求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0。

(2)構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x);

(3)對差函數(shù)F(x)求導(dǎo),判斷其導(dǎo)數(shù)的符號,確定F(x)的單調(diào)性;

(4)結(jié)合F(x0)=0,判斷F(x)的符號;

(5)由f(x1)=f(x2)＞f(2x0-x1)(或＜f(2x0-x1),結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到x2＞(或＜)2x0-x1,從而確定＜)x0。

(2017年河北省石家莊市二檢)已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2-ax+2,其中a∈R,若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,求證:x1+x2＞2。

令g'(x)=0,得x=1或-2(舍去)。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),g'(x)＜0,當(dāng)x＞1時(shí),g'(x)＞0。

故g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),x=1為g(x)的極小值點(diǎn)。

若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1＜x2,則0＜x1＜1＜x2。

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),G'(x)＜0,G(x)單調(diào)遞減,G(x)＞G(1)=0。

g(x2)=g(x1)＞g(2-x1),所以x2＞2-x1,即x1+x2＞2。

點(diǎn)評:本題屬于導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題,由于對函數(shù)f(x)的解析式求導(dǎo)后不好操作,并且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)的解析式中提取x后,構(gòu)造新函數(shù)g(x),f(x)與g(x)有共同零點(diǎn),再運(yùn)用構(gòu)造差函數(shù)法進(jìn)行破解。

3.對數(shù)平均不等式法

兩個(gè)正數(shù)a和b的對數(shù)平均值定義:

對數(shù)平均值與算術(shù)平均值、幾何平均值的大小關(guān)系為:當(dāng)a＞0,b＞0時(shí),有 ab≤L(僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”),這個(gè)不等式鏈叫對數(shù)平均不等式?？梢岳眠@個(gè)不等式鏈破解極值點(diǎn)的偏移問題。

函數(shù)f(x)=m(x-1)-ln2x-1,當(dāng)m＞1時(shí),方程f(x)=0的兩根為x1,x2,且x1≠x2。證明:x1+x2＞1+

證明：由題意知m(x1-1)-ln2x1-1=0。①

點(diǎn)評:本題屬于導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題,利用對數(shù)平均不等式可順利解決。

從理論上來說,以上三類方法都是破解極值點(diǎn)偏移問題的通法,但不同題目,選取不同方法的煩瑣程度不同,具體題目中選取哪一種方法,同學(xué)們要根據(jù)具體問題具體分析。