■鄭州外國語學(xué)校高三(15)班　銀子麒

■鄭州外國語學(xué)校高三(15)班銀子麒

導(dǎo)數(shù),一向被認(rèn)為是研究函數(shù)問題的“神器”,有些問題看似與導(dǎo)數(shù)無關(guān),其實必須依賴導(dǎo)數(shù)才可以解決。讓我們一起來直擊幾例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用創(chuàng)新題吧。

一、函數(shù)的零點(diǎn)問題

A.0B.1C.2D.3

解析：求導(dǎo)得f'(x)=1-x+x2-x3+…+x2016,可知當(dāng)x=-1時,f'(x)＞0。

點(diǎn)評:本題具有一定的綜合性,對能力的要求較高,解題關(guān)鍵是靈活利用“分類與整合思想”準(zhǔn)確分析導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系。

二、不等式的解集問題

(1)函數(shù)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f'(x)＞2,則f(x)＞2x+4的解集為()。

A.(-1,1) B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)

(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,導(dǎo)函數(shù)f'(x)＜,則不等式2f(x)＜x+1的解集為()。

A.(-1,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析：(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-2x-4,則F'(x)=f'(x)-2＞2-2=0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增,又因為F(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0,則f(x)＞2x+4?f(x)-2x-4＞0?F(x)＞0,于是得x＞-1,選B。

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=2f(x)-x-1,則F'(x)=2f'(x)-1＜2·-1=0,所以函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,而F(1)=0,2f(x)＜x+1等價于F(x)＜0,得x＞1,選C。

點(diǎn)評:合理構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,是破解這類問題的關(guān)鍵,也是難點(diǎn)所在。這類問題能較好地考查我們分析問題和解決問題的能力。

三、函數(shù)值的大小比較問題

(1)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)＞f(x),且a＞0,則下面的不等式成立的有()。

A.f(a)＞eaf(0)B.f(a)＜eaf(0)

C.f(a)＞f(0)D.f(a)＜f(0)

(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的實數(shù)x,都有2f'(x)＞f(x)成立,則3f(2ln2)與2f(2ln3)的大小關(guān)系為。

點(diǎn)評:抽象函數(shù)的函數(shù)值的大小比較,一般依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性。因此解決此類問題的關(guān)鍵還是構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)確定該函數(shù)的單調(diào)性。