■河南省開封市第二十五中學(xué)　張 濤

定積分的計(jì)算是高考的必考內(nèi)容,尤其是求平面圖形的面積,一直是近幾年高考命題的熱點(diǎn)。那么定積分究竟有哪些內(nèi)容呢?我們一起來學(xué)習(xí)一下。

一、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.定積分的概念

一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,中Δx為小區(qū)間長度),當(dāng)n→∞時(shí),上述和式無限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx,即分別叫作積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫作積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫作被積函數(shù),x叫作積分變量,f(x)dx叫作被積式。

2.定積分的幾何意義

從幾何上看,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0,那么定積分f(x)dx表示由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。這就是定積分(x)dx的幾何意義。

3.定積分的性質(zhì)

由定積分的定義,可以得到定積分的如下性質(zhì):

4.微積分基本定理

一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F'(x)=f(x),那么(x)dx=F(b)-F(a)。這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓-萊布尼茨公式。

5.定積分在幾何中的應(yīng)用

定積分在幾何中的應(yīng)用主要是計(jì)算由兩條曲線所圍圖形的面積。依照曲邊梯形面積的求法,我們可以將求兩條曲線所圍圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)曲邊梯形的面積問題,進(jìn)而用定積分求出面積。

6.定積分在物理中的應(yīng)用

①變速直線運(yùn)動(dòng)的路程:我們知道,做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即s=(t)dt。

②變力做功:已知某物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng),并且該物體沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b(b＞a),求變力F(x)所做的功W,與求曲邊梯形的面積及求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣,可用“四步驟”,即分割、近似代替、求和、取極限來解決,得到W=F(x)dx。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)須知

學(xué)習(xí)重點(diǎn)主要包括定積分的幾何意義,定積分的基本性質(zhì),運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,定積分的應(yīng)用。

重點(diǎn)1：利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分

利用定積分的幾何意義求:

圖1

圖2

點(diǎn)評:(1)利用定積分的幾何意義求解時(shí),常見的平面圖形的形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形。(2)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù),則若f(x)是偶函數(shù),則f(x)dx=f(x)dx;若f(x)是奇函數(shù),則f(x)dx=0。

(1)由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉平面圖形的面積為()。

(2)如圖3,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為。

解析：(1)由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉的平面圖形,如圖4所示。

圖3

圖4

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù),其圖像關(guān)于直線y=x對稱,且函數(shù)y=ex與直線y=e的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e),所以陰影部分的面積為

點(diǎn)評:利用定積分求平面圖形面積的步驟:(1)根據(jù)題意畫出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和;(4)計(jì)算定積分,寫出答案。

重點(diǎn)2：定積分在物理中的應(yīng)用

(1)已知變速直線運(yùn)動(dòng)的方程,求在某段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移或者經(jīng)過的路程,就是求速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的定積分。

(2)利用定積分求變力做功的問題,關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達(dá)式,再利用微積分基本定理計(jì)算即可。一物體在變力F(x)=(x的單位:m,F的單位:N)的作用下,沿著與力F相同的方向從x=0運(yùn)動(dòng)到x=5處,求變力所做的功。

解析：變力F(x)所做的功為:

=12+60=72(J)。

點(diǎn)評:(1)對于給出物體在變力作用下沿與力相同方向運(yùn)動(dòng)的變力做功問題,可直接用定積分求解,計(jì)算公式W=∫baf(x)dx。(2)注意必須將力與位移的單位換算為N與m,功的單位才為J。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)突破

難點(diǎn)1：利用微積分基本定理求定積分

求函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上的定積分時(shí),要注意:

(1)掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)。

(2)精確定位積分區(qū)間,分清積分下限與積分上限。

計(jì)算下列定積分:

點(diǎn)評:微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系,即求定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算,求定積分時(shí)只需找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。

難點(diǎn)2：定積分在幾何中的應(yīng)用

對于簡單圖形的面積求解,我們可以直接運(yùn)用定積分的幾何意義,應(yīng)注意:(1)確定積分上、下限,一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)確定被積函數(shù),一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差。

這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了。

求拋物線y2=8x(y＞0)與直線x+y-6=0及y=0所圍成圖形的面積。

圖5

點(diǎn)評:用定積分求較復(fù)雜的平面圖形的面積時(shí),一要根據(jù)圖形確定把x還是y作為積分變量,同時(shí),由曲線交點(diǎn)確定好積分上、下限;二要依據(jù)積分變量確定好被積函數(shù),積分變量為x時(shí),圍成平面圖形的上方曲線減去下方曲線為被積函數(shù),積分變量為y時(shí),圍成平面圖形的右方曲線減去左方曲線為被積函數(shù);三要找準(zhǔn)原函數(shù)。