陳衛(wèi)華，蔡文靖

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院，上海200433）

0　引言

股市暴跌在使投資者蒙受巨大損失，引起整個(gè)金融體系動(dòng)蕩的同時(shí)，也將風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)到上市公司，危及實(shí)體經(jīng)濟(jì)發(fā)展。若能提前預(yù)警股市暴跌的風(fēng)險(xiǎn)，警醒部分投資者，引起監(jiān)管層足夠重視，各自準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)措施，則有助于緩解暴跌，實(shí)現(xiàn)籌碼的充分換手，平穩(wěn)過渡市場風(fēng)險(xiǎn)。

關(guān)于泡沫破滅時(shí)點(diǎn)能否被預(yù)測一直存在爭議[1-3]，目前國內(nèi)針對(duì)股市泡沫破滅風(fēng)險(xiǎn)的研究主要集中在定性分析以及事后解讀，定量模型研究缺乏，相關(guān)研究遠(yuǎn)不能適應(yīng)實(shí)際需求。因此，本文基于目前較為成熟的LPPL（Log-Period Power Law）模型，在改進(jìn)模型算法提高求解精度的條件下，利用2015年6月上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)暴跌前的數(shù)據(jù)，擬合對(duì)數(shù)指數(shù)，對(duì)指數(shù)暴跌時(shí)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測。得到模型擬合的結(jié)果后，引入Lomb譜分析和O-U隨機(jī)過程對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，論證是否存在對(duì)數(shù)周期震蕩性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，對(duì)我國股市暴跌風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)警，讓監(jiān)管層、市場參與者等對(duì)股市泡沫有防范意識(shí)，采取合理適當(dāng)?shù)牟僮鳎e極主動(dòng)應(yīng)對(duì)并盡力化解風(fēng)險(xiǎn)。

1　模型建立

本文主要基于Sornette和Johansen（1999）[4]建立的LPPL（Log-Periodic Power Law）模型，通過擬合對(duì)數(shù)價(jià)格檢測泡沫并預(yù)測泡沫破滅時(shí)點(diǎn)。另外，本文改進(jìn)了模型算法，在原模型的基礎(chǔ)上提高計(jì)算效率并且優(yōu)化結(jié)果。在擬合模型的基礎(chǔ)上，本文利用Bootstrap技術(shù)得到預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)，進(jìn)一步引入Lomb譜分析以及O-U過程檢驗(yàn)對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，增強(qiáng)模型的解釋性以及適用性。

1．1　LPPL模型

典型的LPPL模型以hazard rate為起點(diǎn)，h(t)=q(t)/[1-Q(t)]，q(t)表示t時(shí)刻泡沫破滅的概率，Q(t)表示t時(shí)刻前的累積函數(shù)。利用物理學(xué)中的分級(jí)概念刻畫h(t)及正反饋效應(yīng)得到LPPL模型：

式（1）中l(wèi)n[p(t)]表示t時(shí)刻對(duì)數(shù)價(jià)格，x=tc-t測度了拐點(diǎn)時(shí)刻tc與t之間的間隔，t介于開始日期tstart和結(jié)束日期tend之間。為了使模型具有經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，限定B＜0且0＜α＜1，冪律項(xiàng)Bxα刻畫了受正反饋機(jī)制影響的價(jià)格超指數(shù)增長，Cxαcos(ωlnx+φ)則表示對(duì)這種超指數(shù)增長的修正，具有離散尺度不變性特性[5]。通過變化tstart和tend，可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合參數(shù)的穩(wěn)定性。式中有四個(gè)非線性參數(shù)(α，ω，tc，φ)和三個(gè)線性參數(shù)（A，B，C），在Sornette的模型中，重寫式可以得到lnp(t)=A+Bf(t)+Cg(t),線性參數(shù)A、B、C可以通過最小二乘法求解非線性參數(shù)得到，具體求解如下：

式（2）中存在四個(gè)非線性參數(shù)，算法容易陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致求解不穩(wěn)定，計(jì)算速度慢。本文在此基礎(chǔ)上對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，通過相關(guān)處理使模型的四個(gè)非線性參數(shù)減少為三個(gè)非線性參數(shù)，這樣在減少運(yùn)算的基礎(chǔ)上提高了求解精度，更接近于全局最優(yōu)解。具體處理方法為改寫式（1）得到式（3）：

令C1=Ccosφ,C2=Csinφ,則式（3）可以寫作：

通過上述處理，非線性參數(shù)φ分解得到線性參數(shù)C1和C2，然后利用最小二乘法，可以得到四個(gè)線性參數(shù)的求解方程：

模型具體求解分為兩步，第一步，劃分網(wǎng)格利用遺傳算法尋找符合限制條件的多組最優(yōu)解；第二步，將第一步得到的各組最優(yōu)解作為Levenberg-Marquardt非線性最小二乘算法的初始值，以均方誤差作為目標(biāo)函數(shù)，取MSE最小的一組解作為最優(yōu)解。

1．2　參數(shù)敏感性檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的敏感性，擬合模型的樣本將不斷變更。具體方法為固定擬合樣本的一端，調(diào)整另一端。比如固定擬合結(jié)束時(shí)點(diǎn)，將開始時(shí)點(diǎn)每隔5個(gè)交易日依次朝結(jié)束時(shí)點(diǎn)推進(jìn)；同理固定開始時(shí)點(diǎn)，則從某一時(shí)間每隔5個(gè)交易日朝最后結(jié)束時(shí)點(diǎn)推進(jìn)，通過變化樣本區(qū)間長度得到模型參數(shù)并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的穩(wěn)健性。利用Bootstrap技術(shù)重抽樣多個(gè)區(qū)間，得到泡沫破滅時(shí)點(diǎn)的區(qū)間估計(jì)。

值得注意的是，模型所預(yù)測的泡沫破滅時(shí)點(diǎn)并不代表之后一定就是暴跌，也可能是逐步的下跌或者短暫下跌后繼續(xù)上行。模型預(yù)測的時(shí)間段僅僅代表暴跌在該時(shí)間段最有可能發(fā)生。之所以出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)榭紤]經(jīng)濟(jì)學(xué)中的理性預(yù)期模型。按照該模型，即使投資者感受到泡沫存在并覺得泡沫大概率要破滅。依舊有部分投資者繼續(xù)投資于市場，其目的在于獲得與高風(fēng)險(xiǎn)相適應(yīng)的高回報(bào)，該行為依舊是理性的。

1．3　Lomb譜分析

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袇?shù)角頻率ω所呈現(xiàn)出來的對(duì)數(shù)周期性，本文利用Lomb譜分析來檢測對(duì)數(shù)周期震蕩。相較于標(biāo)準(zhǔn)的傅立葉譜分析，Lomb譜分析可以用來處理不規(guī)則抽樣數(shù)據(jù)并且得到類似的結(jié)果。對(duì)于特定的時(shí)間序列，Lomb譜分析返回一系列角頻率ω并給出相應(yīng)的冪律PN(ω)，最大的冪律ωLomb作為Lomb頻率估計(jì)。按照Sornette和Zhou（2002）[6]的方法，Lomb譜分析通過下述方式進(jìn)行：

計(jì)算殘差項(xiàng)公式如下：

式（6）中A1通過計(jì)算式（4）的A得到，p(t)表示t時(shí)刻真實(shí)價(jià)格，tc表示預(yù)測的暴跌時(shí)點(diǎn)，E表示均值，r(t)表示殘差項(xiàng)。通過對(duì)r(t)進(jìn)行Lomb譜分析，得到Lomb冪率和頻率的關(guān)系圖，若呈現(xiàn)出比較明顯的周期性質(zhì)即可驗(yàn)證對(duì)數(shù)周期震蕩。

1．4　Ornstein-Uhlenbeck過程和單位根檢驗(yàn)

Lin等（2013）[7]針對(duì)金融泡沫提出自組織增強(qiáng)模型，如果在泡沫區(qū)間對(duì)數(shù)價(jià)格可以歸于LPPL的決定性成分，則LPPL擬合結(jié)果殘差滿足Ornstein-Uhlenbeck（O-U）過程。LPPL擬合殘差可以轉(zhuǎn)換為AR（1）過程進(jìn)行驗(yàn)證，因此利用單位根檢驗(yàn)可以進(jìn)行驗(yàn)證。本文使用Phillips-Perron和Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)。拒絕零假設(shè)表示殘差是平穩(wěn)的，符合O-U過程。

2　實(shí)證分析

2．1　數(shù)據(jù)說明

本文的研究區(qū)間為2014年1月2日至2015年9月30日，選擇這一區(qū)間是因?yàn)樵搮^(qū)間涵蓋了前述定義的泡沫的五個(gè)階段，具有代表性。對(duì)于這輪泡沫來說，泡沫的產(chǎn)生和生長可以和社會(huì)無風(fēng)險(xiǎn)利率下沉、國企改革等結(jié)合起來。在貨幣當(dāng)局多次降準(zhǔn)降息以后，市場無風(fēng)險(xiǎn)利率下沉，資產(chǎn)價(jià)值對(duì)應(yīng)上升，股市開始發(fā)力。本文的研究標(biāo)的為上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)。選取上證指數(shù)的主要原因在于上證指數(shù)是反應(yīng)我國股市狀況的一個(gè)典型指數(shù)，選取創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的主要原因在于創(chuàng)業(yè)板從2014年開始一路上揚(yáng)，受到大家的關(guān)注和討論，兩個(gè)標(biāo)的各具有側(cè)重性也具有典型性。

本文擬合模型的區(qū)間構(gòu)建如下：①固定結(jié)束時(shí)間為2015年5月20日，起始時(shí)間從2014年1月2日每五個(gè)交易日依次推到2015年1月5日；②固定開始時(shí)間為2015年1月5日，結(jié)束時(shí)間從2015年4月1日每五個(gè)交易日依次推到2015年6月5日。

在第一個(gè)擬合程序中，共得到50個(gè)區(qū)間，第二個(gè)擬合程序共得到10個(gè)區(qū)間。本文指數(shù)數(shù)據(jù)來自Wind數(shù)據(jù)庫，對(duì)指數(shù)取對(duì)數(shù)，分析工具為Matlab。

2．2　LPPL模型結(jié)果及分析

圖1和圖2是對(duì)上證指數(shù)取對(duì)數(shù)并代入LPPL模型進(jìn)行擬合后得到的結(jié)果。

圖1 變更起點(diǎn)，置信區(qū)間較窄，預(yù)測效果較好

圖1擬合區(qū)間為2014年1月2日至2015年5月20日，固定擬合區(qū)間段終點(diǎn)為2015年5月20日，起點(diǎn)變更從2014年1月2日每隔5個(gè)交易日到2015年1月5日。變更起點(diǎn)主要檢驗(yàn)起點(diǎn)的選取對(duì)預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)健性。擬合樣本總量為50個(gè)，按照模型限制條件篩選出有效解27個(gè)。圖1中虛線條表示暴跌前的上證指數(shù)實(shí)際走勢，第1根豎線表示擬合所用數(shù)據(jù)終點(diǎn)，灰色區(qū)域內(nèi)豎線表示暴跌實(shí)際發(fā)生時(shí)點(diǎn)。第一根豎線后的趨勢線表示上證指數(shù)暴跌的實(shí)際走勢和預(yù)測走勢。灰色區(qū)域表示預(yù)測的暴跌時(shí)間在80%置信水平下的置信區(qū)間。從圖1可以看到，完全利用暴跌之前的數(shù)據(jù)變更起點(diǎn)得到的暴跌預(yù)測區(qū)間覆蓋了實(shí)際暴跌時(shí)點(diǎn)，具有較好的預(yù)測效果。

圖2 變更終點(diǎn)，置信區(qū)間較長，多數(shù)結(jié)果靠近實(shí)際

圖2擬合區(qū)間為2015年1月5日至2015年6月5日，固定擬合區(qū)間段起點(diǎn)為2015年1月5日，終點(diǎn)變更從2015年4月1日每隔5個(gè)交易日到2015年6月5日。變更終點(diǎn)主要檢驗(yàn)終點(diǎn)的選取對(duì)預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)健性。擬合樣本總量為10個(gè)，按照模型限制條件篩選出有效解5個(gè)。圖2中虛線條表示暴跌前的上證指數(shù)實(shí)際走勢，第1根豎線表示擬合所用數(shù)據(jù)終點(diǎn)，灰色區(qū)域內(nèi)豎線表示暴跌實(shí)際發(fā)生時(shí)點(diǎn)。第1根豎線后的趨勢線表示上證指數(shù)暴跌后的實(shí)際走勢和預(yù)測走勢。灰色區(qū)域表示預(yù)測的暴跌時(shí)間在80%置信水平下的置信區(qū)間。從圖2可以看到，完全利用暴跌之前的數(shù)據(jù)變更終點(diǎn)得到的暴跌預(yù)測區(qū)間覆蓋了實(shí)際暴跌時(shí)點(diǎn)，但是置信區(qū)間較大，進(jìn)一步分析，可以看到多數(shù)樣本預(yù)測的暴跌時(shí)點(diǎn)在真實(shí)值附近，具有較好的參考性。

按照上述方法對(duì)創(chuàng)業(yè)板指數(shù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 變更起點(diǎn)，預(yù)測置信區(qū)間較窄，真實(shí)值在預(yù)測期間內(nèi)

圖4 變更終點(diǎn)，預(yù)測區(qū)間變寬，預(yù)測值與真實(shí)值接近

圖3和圖4的樣本區(qū)間與圖1和圖2一致，每條線的含義與圖1和圖2中闡述一致，結(jié)果表明模型在創(chuàng)業(yè)板上預(yù)測依舊有效。

表1是模型的參數(shù)部分估計(jì)匯總，選取的是上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)變更起點(diǎn)或者終點(diǎn)得到的樣本中第一個(gè)樣本和最后一個(gè)樣本的參數(shù)估計(jì)。

表1　部分樣本LPPL模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2．3　Lomb譜分析結(jié)果

為了檢驗(yàn)上述擬合模型是否呈現(xiàn)對(duì)數(shù)周期性質(zhì)，本文引入Lomb譜分析，結(jié)果如圖5所示。從譜分析結(jié)果圖可以看出，對(duì)上證指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)取對(duì)數(shù)進(jìn)行LPPL擬合得到的殘差進(jìn)行譜分析，各樣本段的峰值都較接近，圖形呈現(xiàn)明顯的周期效果。證明對(duì)數(shù)周期性質(zhì)存在，同時(shí)，通過確認(rèn)大部分的樣本的峰值所在位置，能更好地預(yù)測暴跌時(shí)點(diǎn)。

圖5針對(duì)四種預(yù)測模型的Lomb譜分析表明存在對(duì)數(shù)周期性

2．4　O-U分析結(jié)果

分別選取擬合誤差最小的四組樣本，對(duì)殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。從而判斷暴跌時(shí)點(diǎn)是否適合Ornstein-Uhlenbeck過程。檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2　殘差單位根檢驗(yàn)

從表2可以看出，四個(gè)序列均滿足平穩(wěn)性檢驗(yàn)。說明暴跌時(shí)間服從O-U隨機(jī)過程，不局限于正態(tài)分布，呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)周期性質(zhì)。

3　結(jié)論和建議

本文利用改進(jìn)算法的LPPL模型對(duì)我國2015年6月份上證指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的暴跌進(jìn)行了預(yù)測，利用Bootstrap技術(shù)得到預(yù)測區(qū)間，結(jié)合Lomb譜分析和O-U隨機(jī)過程單位根檢驗(yàn)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)兩個(gè)指數(shù)在暴跌前均呈現(xiàn)明顯的伴隨對(duì)數(shù)周期震蕩的超指數(shù)增長特征，兩個(gè)指數(shù)的泡沫破滅時(shí)間均落在改進(jìn)的LPPL模型預(yù)測的80%置信水平下的置信區(qū)間內(nèi)，且暴跌時(shí)間點(diǎn)與模型預(yù)測的時(shí)間點(diǎn)接近。

本文的回溯結(jié)果表明LPPL模型能較好地刻畫伴隨對(duì)數(shù)周期震蕩的超指數(shù)增長，Lomb譜分析以及O-U過程檢驗(yàn)也支持了這種論證。模型利用股災(zāi)發(fā)生之前的數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確及時(shí)地捕捉到暴跌的區(qū)間，說明對(duì)暴跌的預(yù)測在適用的模型及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臋z驗(yàn)下是可行的。利用這些模型實(shí)時(shí)研判，可以起到預(yù)警作用。本文通過變更回溯起點(diǎn)和終點(diǎn)，進(jìn)行多次擬合發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的LPPL模型參數(shù)穩(wěn)定，敏感性較低，在實(shí)際使用中具有穩(wěn)定性和可適用性。然而，值得注意的是，預(yù)測的暴跌時(shí)點(diǎn)只是表明股市暴跌的概率較大，并不一定代表隨后就會(huì)發(fā)生暴跌。

根據(jù)上述結(jié)論，本文建議監(jiān)管層密切關(guān)注泡沫形成的超指數(shù)增長特征。利用定量分析的方法，結(jié)合其他觀測指標(biāo)，及時(shí)診斷股市泡沫，并在合適時(shí)期對(duì)市場參與者預(yù)期進(jìn)行引導(dǎo)，采取相應(yīng)措施未雨綢繆。而市場參與者可以借鑒本文的研究方法，跟蹤市場，采取靈活策略合理應(yīng)對(duì)，盡量規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)并減少損失。

參考文獻(xiàn)：

[1]Rosser J B,Econophysics and Economic Complexity[EB/OL].http://cob.jmu.edu/rosserjb.

[2]Gurkaynak R S.Econometric Tests of Asset Price Bubbles:Taking stock[J].Econ.Surveys,2008,22(1).

[3]Johansen A,Sornette D.Financial‘Anti-bubbles’:Log-periodicity in Gold and Nikkei Collapses[J].Int.J.Mod.Phys.C,1999,10(4).

[4]Johansen A,Sornette D,Ledoit O.Predicting Financial Crashes Using Discrete Scale Invariance[J].Journal of Risk,1999,1(4).

[5]Sornette D,Johansen A.Large Financial Crashes[J].Physiea A,1997,(245).

[6]Sornette D,Zhou W X.The US 2000—2002 Market Descent:How Much Longer and Deeper?[J].Quant.Finance.2002,4(2).

[7]Lin L,Sornette D M.Diagnostics of Rational Expectation Financial Bubbles With Stochastic Mean-Reverting Termination Times[J].The European Journal of Finance,2013,19(5).