張穎

（濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南250022）

0　引言

在傳統(tǒng)的回歸分析中，往往假定回歸函數(shù)有某種特定的數(shù)學(xué)形式，一般是線性的或可轉(zhuǎn)化為線性的形式?；貧w函數(shù)中包含若干個(gè)未知參數(shù)，并假定“隨機(jī)誤差項(xiàng)”服從正態(tài)分布。然而在實(shí)際問題中，不一定可以假定上述條件（回歸為線性、誤差為正態(tài)）成立，導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中往往存在模型設(shè)計(jì)的誤差。由于現(xiàn)在越來越多的數(shù)據(jù)不適合用參數(shù)回歸來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，而非參數(shù)回歸是基于數(shù)據(jù)本身，所以非參數(shù)回歸越來越受到歡迎。自Stone（1977）[1]提出非參數(shù)回歸估計(jì)的權(quán)函數(shù)估計(jì)方法后，其方法引起了廣泛的重視。近幾十年來，權(quán)函數(shù)方法如核估計(jì)、局部多項(xiàng)式估計(jì)、近鄰估計(jì)等方法不斷發(fā)展完善，非參數(shù)回歸的理論和應(yīng)用取得了較大的進(jìn)展。在眾多非參數(shù)回歸方法中，核回歸估計(jì)是一種重要的、常用的估計(jì)方法，被廣泛應(yīng)用于各種統(tǒng)計(jì)問題的研究中。核回歸估計(jì)具有分析簡單、便于實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，本文主要在N-W核回歸估計(jì)的基礎(chǔ)上研究了可變窗寬的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)，并提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)。

1　N-W核回歸估計(jì)

顯然有

，g(x)=E(Y|X)=∫yf(x,y)dy，其中f(x,y)是fX(x)

(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，f(x)是的X邊緣密度函數(shù)。

回歸函數(shù)g(x)的估計(jì)量，記為：

核估計(jì)既與樣本有關(guān)，又與核函數(shù)k(?)及窗寬h有關(guān)。在給定樣本之后，一個(gè)核估計(jì)的性能就取決于核函數(shù)k(?)及窗寬h的選取。核函數(shù)k(?)的選擇并不是太重要，用不同的核所得到的估計(jì)在數(shù)值上非常類似。這個(gè)現(xiàn)象已經(jīng)被理論上的計(jì)算所證實(shí)。這表明風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于核的選擇是很不敏感的[2]。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常使用的核函數(shù)有Epanechnikov核函數(shù)k(u)=(1-u2)(|u|≤1)和高斯核函數(shù)k(u)=核估計(jì)量的窗寬h影響著估計(jì)的光滑程度。若h選的過大，則估計(jì)過于平滑，會(huì)使某些特征（如多峰性）被淹沒，若h選的過小，整個(gè)估計(jì)特別是尾部就出現(xiàn)較大的干擾，從而又有增大方差的趨勢(shì)。因此窗寬h的選擇非常重要。最常使用的窗寬選擇方法主要有缺一交叉驗(yàn)證法和插入法。其中，插入法主要基于核密度估計(jì)精度的測(cè)量——均方誤差分析中得來；缺一交叉驗(yàn)證法（leave-one-out cross validation，簡稱CV）由Rudemo(1982)[3]和Bowman(1984)[4]從實(shí)際計(jì)算的角度提出。在缺一交叉驗(yàn)證法中，通過最小化缺一交叉驗(yàn)證函數(shù)CV(h)即可得到窗一交叉驗(yàn)證函數(shù)一個(gè)leave-one-out核估計(jì)量。其定義由樣本容量為n-1的樣本{(X1,Y1),…,(Xi-1,Yi-1),(Xi+1,Yi+1),…,(Xn,Yn)}來估計(jì)g(Xi)。該方法直接由數(shù)據(jù)“自動(dòng)”選擇窗寬。

2　自適應(yīng)核密度函數(shù)估計(jì)

當(dāng)n取定值時(shí)，缺一交叉驗(yàn)證法得到的窗寬h是一個(gè)常數(shù)，即它既不依賴于位置x也不依賴于數(shù)據(jù)點(diǎn)Xi。選出的固定窗寬無法隨樣本觀測(cè)值的稀疏程度進(jìn)行調(diào)整，這使得所得到的估計(jì)不能充分利用變量X的密度函數(shù)所提供的信息，估計(jì)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。另外，常數(shù)窗寬在待估回歸曲線具有復(fù)雜形狀時(shí)，缺乏靈活性。因此，理想中的窗寬選擇應(yīng)該與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的分散集中程度聯(lián)系起來。Breiman等(1977)[5]在密度函數(shù)估計(jì)的背景下提出了可變窗寬的概念。Abramson(1982)[6]和Silverman(1986)[7]分別對(duì)可變窗寬做了進(jìn)一步的研究。

Silverman(1986)[7]通過使用右厚尾數(shù)據(jù)表明固定窗寬的核估計(jì)量X(x)和(x,y)并不適合厚尾分布，Silverman提出了密度函數(shù)的可變窗寬的核估計(jì)量，即密度函數(shù)的自適應(yīng)核估計(jì)量。它允許窗寬變化，既可以對(duì)每個(gè)點(diǎn)x使用不同的窗寬，也可以對(duì)每個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)Xi使用不同的窗寬，這使得核密度估計(jì)更加靈活，更加適用于長尾密度函數(shù)的估計(jì)。因此，它是N-W核估計(jì)的改良和推廣。

在一元情形，在樣本點(diǎn)Xi處的具有可變窗寬的自適應(yīng)核估計(jì)量定義為：

式（2）中的可變窗寬h(Xi)是一個(gè)依賴于Xi的可變窗寬，可變窗寬h(Xi)隨數(shù)據(jù)點(diǎn)Xi的變化而變化?？勺兇皩挼囊肟梢苑从巢煌c(diǎn)的光滑程度，降低擬合曲線在峰頂區(qū)域的偏差以及尾部區(qū)域的方差，提高了擬合曲線的靈活性，適用于對(duì)復(fù)雜曲線的擬合。Abramson(1982)[6]在研究中提出h(Xi)與f(Xi成比例。在Abramson研究的基礎(chǔ)上，Silverman給出了自適應(yīng)核密度估計(jì)的算法。

步驟2：定義局部窗寬因子λi={(Xi)g}-α，其中g(shù)(g≠0)為(Xi)的幾何平靈敏度參數(shù)，滿足0≤α≤1。

從式（3）可以看出，自適應(yīng)窗寬h(Xi)=hλi。當(dāng)靈敏度參數(shù)α=0時(shí)，自適應(yīng)核密度估計(jì)與固定窗寬的核密度估計(jì)相等；當(dāng)α=1時(shí)，自適應(yīng)核密度估計(jì)與近鄰核估計(jì)相等。Abramson和Silverman的研究表明，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)α=0.5時(shí)，自適應(yīng)核密度估計(jì)效果最好。

利用乘積核函數(shù)，同時(shí)使用可變窗寬代替固定窗寬，Sain(1994)[8]給出r元密度函數(shù)的自適應(yīng)核密度估計(jì)的二元聯(lián)合密度函數(shù)的核密度估計(jì)定義為(x,y)=

3　自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)

證明：

利用核函數(shù)的性質(zhì)1和性質(zhì)2，就可以得到自適應(yīng)NW核回歸估計(jì)量：

取可變窗寬h(Xi)=λih，則自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量

公式（4）中的局部窗寬因子λi可由Silverman關(guān)于自適應(yīng)密度函數(shù)估計(jì)的算法得到。在計(jì)算局部窗寬因子λi可得到一個(gè)改進(jìn)的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量

本文將通過模擬研究來比較N-W核估計(jì)量（NW）、自適應(yīng)N-W核估計(jì)量（ANW）、改進(jìn)的自適應(yīng)N-W核估計(jì)量（A*NW）三者的估計(jì)效果。

4　模擬

為了比較文中所提到的三種核回歸估計(jì)量的估計(jì)效果，本文利用以下兩個(gè)模型分別模擬容量為200的兩個(gè)樣本來做模擬研究。

模型1：Y=Xsin2πX+ε，其中ε～N(0,0.1),X～U[0,1]。

模型2：Y=cos2πX+ε，其中ε～N(0,0.1),X～U[0,1]。

采用Epanechnikov核函數(shù)，真實(shí)回歸函數(shù)曲線g(x)和由三種核估計(jì)量得到的擬合曲線如圖1和圖2所示。

圖1模型1的核估計(jì)回歸曲線

圖2模型2的核估計(jì)回歸曲線

使用擬合優(yōu)度和均方誤差（MSE）來評(píng)價(jià)三種估計(jì)量的估計(jì)效果在兩種模型下，分別計(jì)算出三種核回歸估計(jì)量的MSE值，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1　利用Epanechnikov核函數(shù)得到的核估計(jì)量的擬合優(yōu)度和均方誤差

從表1可以看出，在兩種模型下，采用Epanechnikov核函數(shù)，可變窗寬的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量的MSE值都比固定窗寬的N-W核回歸估計(jì)量的MSE值小，特別是改進(jìn)的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量的MSE值都是最小的，這說明文中所提出的方法同N-W核估計(jì)、自適應(yīng)N-W核估計(jì)相比，優(yōu)越性更加明顯。

5　實(shí)例

研究加拿大工人收入（income）和年齡（age）的關(guān)系，該數(shù)據(jù)來源于R程序包“SemiPar”，樣本觀測(cè)值為205，解釋變量為age，被解釋變量為log.income(log.income=log(income))。本文分別應(yīng)用N-W核回歸估計(jì)量和兩種自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量來擬合age與log.income之間的函數(shù)關(guān)系。圖3是采用Epanechnikov核函數(shù)計(jì)算出的三種N-W核回歸估計(jì)量得到的回歸擬合曲線。

圖3利用Epanechnikov核函數(shù)得到的核估計(jì)回歸曲線

由圖3可以看出，從整體擬合效果上觀察，文中提出的改進(jìn)的自適應(yīng)N-W核估計(jì)方法優(yōu)于其他兩種估計(jì)方法，而自適應(yīng)N-W核回歸方法優(yōu)于N-W核回歸估計(jì)方法，同時(shí)發(fā)現(xiàn)可變窗寬的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)明顯優(yōu)于固定窗寬的N-W核回歸估計(jì)，特別是在稀疏樣本點(diǎn)和邊界點(diǎn)處，表現(xiàn)得更為明顯。使用固定窗寬的N-W核回歸分析方法擬合時(shí)，邊界點(diǎn)的估計(jì)偏差較大，即存在邊界效應(yīng)，而用可變窗寬的自適應(yīng)N-W核回歸分析方法卻能很好地減少邊界效應(yīng)。通過實(shí)例，進(jìn)一步驗(yàn)證了模擬研究中的結(jié)論。

6　結(jié)論

為了更好地估計(jì)回歸函數(shù)，本文對(duì)自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)進(jìn)行了研究。模擬研究結(jié)果表明，具有可變窗寬的自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)比固定窗寬的N-W核回歸估計(jì)的估計(jì)效果更好，對(duì)于一個(gè)自適應(yīng)N-W核回歸估計(jì)量來說，使用算術(shù)均值得到的窗寬比使用幾何均值得到的窗寬在估計(jì)效果上有更大的優(yōu)勢(shì)?？傊?，本文所用的可變窗寬核回歸方法，繼承了核回歸的優(yōu)點(diǎn)，并且使用可變窗寬提高了估計(jì)的效果，并使之能成功地處理復(fù)雜形狀的曲線的擬合問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]Stone C J.Consistent Nonparametric Regression[J].Annals of Statistics,1977,5(4).

[2]Brown L D,Zhang C H.Asymptotic Equivalence Theory for Nonparametric Regression With Random Design[J].Annals of Statistics,2003,30(3).

[3]Rudemo M.Empirical Choice of Histograms and Kernel Density Estimation[J].Scandinavian Journal of Statistcs,1982,(9).

[4]Bowman A W.An Alternative Method of Cross-validation for the Smoothing of Density Estimates[J].Biometrika,1984,71(2)．

[5]Breiman L,Meisel W,Purcell E.Variable Kernel Estimates of Multivate Densities[J].Technometrics,1977,(19).

[6]Abramson I S.On Bandwidth Variation in Kernel Estimates-A Square Root Law[J].Annals of Statistics,1982,10(4).

[7]Silverman B W.Density Estimation for Statistics and Data Analysis[M].London:Chapman&Hall,1986.

[8]Sain S R.Adaptive Kernel Density Estimation[D].Texas:Rice University,1994.