朱寧，劉慶華，農(nóng)以寧，蔣東云

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西桂林541004）

0　引言

帕累托（Pareto）分布是收入分配理論中的一種重要的統(tǒng)計(jì)分布,最初是由意大利Pareto作為收入分布于1897年提出來(lái)的，并指出其是一個(gè)具有遞減的失效函數(shù)[1]。自從Pareto分布提出以來(lái)就被廣泛地運(yùn)用于金融、保險(xiǎn)、災(zāi)害預(yù)測(cè)等諸多領(lǐng)域，關(guān)于其統(tǒng)計(jì)推斷的研究引起了很多學(xué)者的關(guān)注。近年來(lái)，在Bayes思想下Pareto分布參數(shù)估計(jì)的研究越來(lái)越多。韓慧芳等[2]研究了當(dāng)尺度參數(shù)已知時(shí)，Pareto分布中形狀參數(shù)的估計(jì)，一致最小方差無(wú)偏估計(jì)，并在平方損失和熵?fù)p失下討論其可容許等。韋程?hào)|等[3]在復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下，研究Pareto分布在其尺度參數(shù)已知的情況下利用共軛先驗(yàn)分布求出其形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)。井曉培和周菊玲[4]討論了獨(dú)立同分布樣本情形廣義Pareto分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，并證明了此經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性，獲得了其收斂速度。沈新娣和丁幫俊[5]研究Pareto分布在逐步Ⅱ型區(qū)間刪失的情形下參數(shù)的估計(jì)和性質(zhì)。韓明[6]研究Pareto分布中形狀參數(shù)的估計(jì)、一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。并分別在平方損失和熵?fù)p失下討論了θ的Bayes估計(jì),研究其容許性。

自從2003年P(guān)odder CK[7]提出MLINEX函數(shù)以來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注MLINEX函數(shù)。Podder CK[8]比較Pareto分布參數(shù)估計(jì)在MLINEX函數(shù)和平方損失函數(shù)下的不同。任海平[9]分別在加權(quán)平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下一類分布族參數(shù)的Minimax估計(jì)。金秀巖[10]在MLINEX損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合張睿[11]提出的復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)的方法，定義了復(fù)合MLINEX對(duì)稱損失函數(shù)，并在該損失函數(shù)下得到了對(duì)數(shù)伽瑪分布尺度參數(shù)的Bayes估計(jì)、E-Bayes估計(jì)、多層Bayes估計(jì)等。

本文在金秀巖[10]提出的復(fù)合MLINEX對(duì)稱損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究?jī)蓞?shù)Pareto分布的Bayes估計(jì)問(wèn)題，在給定先驗(yàn)分布為Gamma分布的基礎(chǔ)上給出Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，并證明其容許性。最后在給定三類不同超參數(shù)先驗(yàn)密度函數(shù)下，給出其E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)并對(duì)估計(jì)的性質(zhì)進(jìn)行研究。

1　參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

定義1[1]：設(shè)X為隨機(jī)變量，若其分布函數(shù)為F(x)=為形狀參數(shù)，λ為尺度參數(shù)且為門限參數(shù)。則稱X服從兩參數(shù)θ，λ。則稱為Pareto分布，簡(jiǎn)稱PD(θ,λ)。

設(shè)x1,x2,…,xn為來(lái)自PD(θ,λ)的獨(dú)立樣本，則其聯(lián)合密度為：

下頁(yè)圖1給出了在尺度參數(shù)λ=100時(shí)，形狀參數(shù)θ分別取0.5、1、2時(shí)的Pareto分布的密度函數(shù)圖像。由圖1可以看出Pareto分布的密度函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù)。

定義2[11]：Mlinex非對(duì)稱損失函數(shù)定義為：

圖1Pareto分布的密度函數(shù)圖像（λ=100）

δ為參數(shù)θ的估計(jì)，c是一類非對(duì)稱損失函數(shù)。

定義3[10]：設(shè)損失函數(shù)Lc(θ,δ)由式（2）給出，則損失函數(shù)（3）稱為復(fù)合Mlinex對(duì)稱損失函數(shù)（見(jiàn)圖2），其中δ為參數(shù)θ的估計(jì)。

圖2復(fù)合MLINEX對(duì)稱損失函數(shù)圖像（w=1）

引理1：在損失函數(shù)（3）和模型f(x;θ,λ)=θλθ(λ+x)-(θ+1)下，若在空間中存在參數(shù)θ的估計(jì)量δ，其Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(δ)＜+∞，則對(duì)于θ的任何先驗(yàn)分布π(θ)，θ的唯一Bayes估計(jì)的一般形式為：

證明：具體證明與金秀巖在文獻(xiàn)[10]中的引理2.2的證明類似。

定理1：設(shè)x1,x2,…,xn是PD(θ,λ)的一組觀察值，形狀參數(shù)θ（尺度參數(shù)λ已知）的先驗(yàn)分布π(θ)服從Gamma

證明：由題意知,形狀參數(shù)θ（尺度參數(shù)λ已知）的先驗(yàn)分布π(θ)服從Gamma分布Γ(a,b)，則θ的密度函數(shù)為：

根據(jù)樣本聯(lián)合密度函數(shù)（1），并結(jié)合式（4），得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為：

則θ的后驗(yàn)分布密度服從以b+T為尺度參數(shù)，以n+a為形狀參數(shù)的Gamma分布。

由θ的唯一Bayes估計(jì)的一般形式及θ的后驗(yàn)分布密度有：

將式（5）代入到式（6）可得：

同理：

將式（7）和式（8）代入式（6），則：

綜上所述，形狀參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為：

定理2：在給定先驗(yàn)分布π(θ)和損失函數(shù)L(θ,δ)下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)是可容許的。

證明：對(duì)于Bayes估計(jì)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)小于或者等于任何估計(jì)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)，只需證明存在一個(gè)θ的一個(gè)估計(jì)δ，其Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(δ)＜∞，于是可得r()＜∞，從而是可容許的。

由題意知：

令δ=1，將其代入式（9），得到：

因?yàn)閷?duì)于給定的樣本值，r(1)存在且有界，即r(1)＜∞。因此r(δ)＜∞。又因?yàn)閞)＜r(δ)，則r()＜∞，故是可容許的。

2　參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)

下面引入形狀參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)的定義。

定義4[10]：對(duì)(a,b)∈D，若(a,b)是連續(xù)的，則稱參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)。存在的，D為超參數(shù)a和b取值的集合D={(a,b)|0＜a＜1,0＜b＜m,m＞0}，π(a,b)是a和b在集合D上的密度函數(shù)，(a,b)為參數(shù)θ的Bayes估計(jì)。

定理3：對(duì)于服從Pareto分布的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，若形狀參數(shù)θ服從Gamma分布，則θ的先驗(yàn)密度

（1）若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

（2）若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

（3）若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)π1(a,b)由式（11）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

（2）同理，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)π2(a,b)由式（13）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

（3）同理，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度函數(shù)π3(a,b)由式（15）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為：

3　參數(shù)θ的多層Bayes估計(jì)

若形狀參數(shù)θ服從Gamma分布Γ(a,b)，則其先驗(yàn)密度函數(shù)給定，那么如何確定超參數(shù)a和b？Lindley和Smith（1972）提出了多層先驗(yàn)分布的想法，即在先驗(yàn)分布中含有超參數(shù)時(shí)，可對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)分布。

其中，0＜θ＜∞。

在以上三個(gè)不同的多層密度函數(shù)的基礎(chǔ)上，給出以下形狀參數(shù)θ的三個(gè)不同的多層Bayes估計(jì)。

定理4：對(duì)于Pareto分布下的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，若Pareto分布的形狀參數(shù)θ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)分別為式（17）至式（19），則在復(fù)合MLINEX損失函數(shù)下，θ的多層Bayes估計(jì)分別為：

證明：根據(jù)Bayes定理，則形狀參數(shù)θ的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

（1）當(dāng)θ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為式（17）時(shí)，θ的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

同理可得：

（2）同理，當(dāng)θ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為式（18）時(shí)，θ的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

結(jié)合定理1，此時(shí)形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計(jì)為：

（3）同理當(dāng)θ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為式（19）時(shí)，θ的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

結(jié)合定理1，此時(shí)形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計(jì)為：

4　參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)的性質(zhì)

定理5：在定理2中，當(dāng)0＜m＜T時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：

證明：根據(jù)定理2，有：

當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，根據(jù)泰勒展開(kāi)式有：

5　結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)Pareto分布在尺度參數(shù)為已知時(shí),在MLINEX對(duì)稱損失下，分別給出了三種不同超參數(shù)的先驗(yàn)密度函數(shù)下形狀參數(shù)E-Bayes估計(jì)（定理3）和多層Bayes估計(jì)（定理4），并驗(yàn)證了形狀參數(shù)的三個(gè)不同E-Bayes估計(jì)具有保三者在T→∞時(shí)極限相等。

參考文獻(xiàn)：

[1]Pareto V.Cours Economic Politique[M].Lausanne and Paris:Rouge and Cie,1897.

[2]韓慧芳,楊珂玲,張建軍.Pareto分布中形狀參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2007，(24).

[3]韋程?hào)|,韋師,蘇韓.復(fù)合LINEX對(duì)稱損失下Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009，(17).

[4]井曉培,周菊玲.廣義Pareto分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2016，(5).

[5]沈新娣,丁幫俊.Pareto分布在逐步Ⅱ型區(qū)間刪失下的參數(shù)估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2016,32(2).

[6]韓明.Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)及其應(yīng)用[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2016,32(3).

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[8]Podder C K.Comparison of Two Risk Functions Using the Pareto Distribution[J].Pakistan Journal of Statistics,2004,20(3).

[9]任海平,李中恢.加權(quán)平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下一類分布族參數(shù)的Minimax估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009,(14).

[10]金秀巖.復(fù)合MLINEX對(duì)稱損失函數(shù)下對(duì)數(shù)伽瑪分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,(19).

[11]張睿.復(fù)合LINEX對(duì)稱損失下的參數(shù)估計(jì)[D].大連：大連理工大學(xué)碩士論文,2007.