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        面向雷利法則的加權(quán)Voronoi圖生成方法

        2018-04-08 01:48:10瞿珊珊
        測繪通報 2018年3期
        關(guān)鍵詞:柵格代數(shù)權(quán)重

        康 順,瞿珊珊

        (1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院,北京 100083; 2. 中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,湖南 長沙 410083)

        Voronoi雛形可見于笛卡爾的《哲學(xué)原理》,文中描述了在可視宇宙中太陽系是由許多漩渦(Vortices)組成的這一理念[1]。在渦旋空間被抽取為凸域集合概念之后,這一概念在不同學(xué)科中被賦予了種種名稱:生物學(xué)的中軸變換(medial axis transform);化學(xué)、物理學(xué)的維格那-塞茨原胞(Wigner-Seitz zones);晶體學(xué)的作用域(domains of action);氣象學(xué)、幾何學(xué)的泰森多邊形(Thiessen polygons)等。最后,由數(shù)學(xué)家Dirichlet和Voronoi將這一概念正式命名為狄利克雷鑲嵌(Dirichlet tessellation)或沃洛諾伊圖(Voronoi diagram)[2]。作為計算幾何的重要內(nèi)容,Voronoi圖是解決骨架線提取、凸包計算、Delaunay三角化,以及數(shù)據(jù)可視化等問題的有力工具[3]。因此,研究Voronoi圖的高效生成算法具有重要的現(xiàn)實意義。

        在一般Voronoi圖與廣義Voronoi圖的生成方法上已有諸多學(xué)者進行了相關(guān)研究,主要分為矢量生成方式和柵格生成方式兩種。基于矢量的Voronoi圖生成方法主要有增量法、分治法、間接法,由于矢量數(shù)據(jù)的存儲量大、存儲結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,對點線面復(fù)合目標構(gòu)成的空間實體進行Voronoi計算時,多要求生長元是點或半線,對線或面要素則往往分解為點要素來構(gòu)建Voronoi圖,該方式破壞了圖形的完整性,并增加了計算的復(fù)雜度[4-6]。由于矢量方法的局限性,基于柵格的Voronoi圖生成方法得到研究與發(fā)展。柵格Voronoi圖的生成方式一是依據(jù)傳統(tǒng)距離變換的柵格Voronoi生成[7-10],在基于空間生長目標圖像轉(zhuǎn)變?yōu)榫嚯x圖像的柵格Voronoi圖生成方法中定義柵格距離是關(guān)鍵,已有的主要距離形式有歐氏距離、曼哈頓距離(或L1距離)、切比雪夫距離(或L∞距離)及其加權(quán)形式;二是基于形態(tài)學(xué)的膨脹算子生成柵格Voronoi圖[11]。在提高柵格Voronoi圖生成的效率方面,柵格Voronoi生成要計算每個柵格與各個發(fā)生元間的距離,因此當發(fā)生元所占柵格數(shù)量很多時,往往存在較高的時間計算復(fù)雜度。對此,文獻[12]利用四叉樹和區(qū)間算術(shù),規(guī)避對背景柵格的逐項處理以提高柵格計算速度;文獻[13]通過查找鄰近柵格,計算背景柵格與過濾后的生長元之間的距離來判斷柵格歸屬提高Voronoi生成效率,以及依賴處理器物理性能的Voronoi并行計算方法[14]。

        雖然基于柵格的Voronoi生成方法能夠處理復(fù)雜的空間實體,對生長元的約束寬松,但算法效率和計算精度是一直以來所研究的問題。通常,基于柵格生成的Voronoi圖精度低、計算量大、耗時長,主要歸因于在距離圖上需要進行多次計算、比較每一個點與每一個生長元的距離來確定歸屬,已有提高柵格Voronoi圖生成效率的方法主要采用鄰近方式過濾出與背景柵格鄰近的發(fā)生元柵格,從而減少計算次數(shù)、優(yōu)化柵格Voronoi圖生成效率,柵格處理過程中各個柵格的計算并不依賴于其他柵格,即是相互獨立的。因此,從規(guī)避背景柵格與生長元柵格的距離計算方面,本文提出了基于地圖代數(shù)的加權(quán)Voronoi圖,即雷利Voronoi圖(Reilly Voronoi diagram,RVD)生成方法。該方法利用雷利法則的綜合權(quán)重生成每個柵格生長元的距離圖,對由每個生長元生成的距離圖進行地圖代數(shù)計算,最后實現(xiàn)空間場的柵格加權(quán)Voronoi圖剖分。

        1 Voronoi圖定義

        1.1 一般Voronoi圖

        一般Voronoi圖,又稱普通Voronoi圖,或常規(guī)Voronoi圖,或1-site Voronoi圖。以空間R2點要素為例,若存在空間點狀生長元集合P={p1,p2,…,pn}(nN*),對空間任一點q,若滿足如下關(guān)系

        d(pi,q)≤d(pj,q)

        (1)

        Vor(P)={Vor(p1),Vor(p2),…,Vor(pn)}

        (2)

        圖1 一般Voronoi圖

        1.2 廣義Voronoi圖

        當生長元被賦予一定權(quán)重時,生成的一般Voronoi圖擴展為廣義Voronoi圖。以空間R2點要素為例,若存在空間生長元集合P={p1,p2,…,pn},相應(yīng)的權(quán)重W={w1,w2,…,wn}(nN*),對空間任一點q,若滿足如下關(guān)系

        d(pi,q)/wi≤d(pj,q)/wj

        (3)

        則稱由滿足條件的空間點要素所構(gòu)成的區(qū)域為生長元pi的廣義Voronoi圖。生長元的權(quán)重越大,其廣義Voronoi圖就越大,所有生長元P則將該空間剖分為各自的加權(quán)Voronoi勢力范圍Vor(·),示意圖如圖2所示。

        圖2 加權(quán)Voronoi圖

        (4)

        根據(jù)生長元個數(shù)及生成的空間上下文不同,廣義Voronoi圖又衍生出集群性生長元作用下的k階Voronoi圖[15]、受道路網(wǎng)影響的變速城市Voronoi圖[16],網(wǎng)絡(luò)Voronoi圖[17-18]、根據(jù)方向比例計算生成的維度比率Voronoi圖[19]、依據(jù)角度計算生成的角度Voronoi圖[20]等形式。

        2 Voronoi地圖代數(shù)計算

        2.1 雷利距離變換

        雷利零售引力法則(Reilly’s law of retail gravitation)是由美國學(xué)者威廉·J·雷利根據(jù)牛頓力學(xué)的萬有引力理論,利用3年時間調(diào)查了美國150個城市對周圍地區(qū)的吸引力,總結(jié)了都市人口與零售引力的相互關(guān)系,提出了“零售引力規(guī)律”,被稱為雷利法則或雷利零售引力法則。該法則描述了一個城市的吸引力與它的規(guī)模成正比,與它們之間的距離成反比,用以解釋城市規(guī)模與建立的商品零售區(qū)之間的關(guān)系[21],如圖3、圖4所示的不同商圈及不同的城區(qū)規(guī)模對顧客數(shù)量、空間引力范圍的描繪。

        圖3 不同商圈的顧客引力

        圖4 城區(qū)規(guī)模引力

        城區(qū)規(guī)模不同產(chǎn)生的空間引力范圍不同,這正是傳統(tǒng)柵格加權(quán)Voronoi圖的權(quán)重局限性,即在計算上往往注重生長元的權(quán)重大小,即規(guī)模權(quán)重,而忽略了隨距離而產(chǎn)生的距離變換權(quán)重的影響。因此,依據(jù)雷利法則研究將Voronoi圖的距離約束重新界

        定為

        RF(·)=f(d(·))/w

        (5)

        式中,f(·)函數(shù)指值域隨著距離變量的增大而增大,空間目標距離生長源的距離呈現(xiàn)出歐氏距離變換的漸變規(guī)則,如f(d)=d+1、f(d)=d2等。盡管Voronoi圖的邊界復(fù)雜,難以計算,但是基于柵格Voronoi圖的計算則相對易于實現(xiàn)。

        2.2 地圖代數(shù)計算

        將連續(xù)空間離散化的柵格數(shù)據(jù)是場模型在信息系統(tǒng)中的具體實現(xiàn)。柵格的“位”數(shù)據(jù)蘊含了豐富的關(guān)系數(shù)據(jù),更加適用于網(wǎng)絡(luò)分析,在“數(shù)字地球”等大型地理信息工程建設(shè)的空間分析中,柵格數(shù)據(jù)展現(xiàn)了明顯的優(yōu)勢[22]。地圖代數(shù)研究的正是度量空間下的抽象點狀要素目標集,即相應(yīng)空間位置上柵格值的代數(shù)計算。與代數(shù)運算所不同的是,代數(shù)運算只有矩陣的加法和減法,是相應(yīng)位置上的計算。即地圖代數(shù)遵循了位置一一對應(yīng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則,是空間計算的重要工具,如圖5、圖6所示的兩個圖幅的地圖代數(shù)乘法計算。以圖5的柵格1與柵格2的第一行為例,1×2=2,1×2=2,3×3=9,得到輸出柵格結(jié)果。多圖幅的最低位置計算輸出結(jié)果為具有最小值的像素的位置,即第幾個柵格,如圖6的柵格1、柵格2與柵格3的第一行為例,像素值1 £0 £Null=Null,1 £1 £1=1(柵格1),0 £1 £0=1(柵格1),0 £1 £0=1(柵格1),0 £0 £0=1(柵格1)。

        圖5 地圖代數(shù)乘法運算

        圖6 最低位置算子£

        結(jié)合雷利法則,本文利用地圖代數(shù)的算術(shù)計算、關(guān)系計算,設(shè)計的地圖代數(shù)生成柵格加權(quán)Voronoi圖(RVD)的方法描述如下,生產(chǎn)的流程如圖7所示。

        圖7 地圖代數(shù)的雷利Voronoi圖生成過程

        雷利Voronoi圖的地圖代數(shù)生成方法為:

        輸入:空間點要素集合PW。

        輸出:PW的柵格加權(quán)Voronoi圖。

        (2) 依據(jù)雷利距離變換RT(·),地圖代數(shù)算術(shù)重計算柵格距離,生成新的柵格距離變換圖[NRDi]←RT(RDi)。

        (3) 地圖代數(shù)關(guān)系計算所有柵格距離圖[NRDi]中的局部最小值←min([NRDi])。

        (4) 地圖代數(shù)關(guān)系計算比較minval和[NRDi],如果minval≥[NRDi],則將柵格R歸屬為第一個小于minval的生長元p,Rp£(minval,[NRDi])。

        (5) 算法結(jié)束。

        3 算例與分析

        研究的試驗算例以遼寧省的沈陽市、撫順市和鐵嶺市3個市區(qū)為研究案例,研究區(qū)示意圖如圖8所示,研究提出的地圖代數(shù)雷利Voronoi圖生成方法利用Python 2.5.1+ArcScripting開發(fā)實現(xiàn)。在雷利Voronoi圖的權(quán)重界定上,本試驗采用f(d)=d2的歐氏距離重計算變換方式;規(guī)模權(quán)重設(shè)置根據(jù)全國第六次人口普查獲取的各市區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為其影響的重要性指標。從全國第六次人口普查(http:∥www.stats.gov.cn/ztjc/zdtjgz/zgrkpc/dlcrkpc/)公布的數(shù)據(jù)中得出沈陽8 106 171人,撫順2 138 090人,鐵嶺2 717 732人,以此作為生長元的規(guī)模權(quán)重。

        為了規(guī)避在單幅圖中背景柵格與每一生長元的距離計算,試驗首先對每一生長元生成其歐氏距離變換圖,如圖11所示的撫順市、沈陽市、鐵嶺市的歐氏柵格距離變換圖。在此距離變換基礎(chǔ)上,利用最

        低位置算子£實現(xiàn)其一般Voronoi圖,如圖9所示。從各市區(qū)的一般Voronoi圖可看出,各市區(qū)的作用范圍與其行政區(qū)劃面積大體近似,而沈陽作為省會城市其影響范圍應(yīng)大于周邊市區(qū),從商圈與零售引力上,普通Voronoi與市區(qū)的實際影響力不符。

        圖8 試驗區(qū)域

        圖9 市區(qū)的一般Voronoi

        圖10 市區(qū)的雷利Voronoi圖

        在規(guī)模權(quán)重與距離變化權(quán)重的作用下,經(jīng)對各市區(qū)的歐氏距離圖變換與最低位置算子£計算(如圖12所示),實現(xiàn)了各市區(qū)的雷利Voronoi圖(如圖10 所示)。對比圖9,從圖10中可以看出作為省會的沈陽市受綜合權(quán)重的影響具有更大的Voronoi作用域,遠超出了其行政區(qū)劃的作用范圍,更符合省會城市的實際效應(yīng)。此外,以此方式生成的雷利Voronoi圖并未涉及背景柵格與每一個生長元的距離計算,通過簡單的地圖代數(shù)計算降低了計算的復(fù)雜性,規(guī)避了單幅圖中由多次計算、歸屬判斷所帶來的時間復(fù)雜度。

        圖12 各市區(qū)的雷利變換距離

        4 結(jié) 語

        針對傳統(tǒng)柵格Voronoi圖生成方式中僅顧及生長元的權(quán)重局限性、單圖幅中計算、判斷背景柵格與每一生長元的柵格距離計算復(fù)雜性,研究基于雷利法則,從生長元的規(guī)模權(quán)重和距離變換權(quán)重出發(fā),依據(jù)每個生長元獨立生成的柵格歐氏距離圖,利用地圖代數(shù)的方法重計算每個生長元的權(quán)重距離圖,最后,在最低位置算子作用下,對所有生長元新產(chǎn)生的權(quán)重距離圖剖分各自的競爭空間,即雷利Voronoi圖。試驗證明,該方法產(chǎn)生的雷利Voronoi圖比一般Voronoi圖更符合市區(qū)對空間的影響范圍,體現(xiàn)出了省會市區(qū)在競爭域上明顯大于其行政區(qū)劃范圍。該方法不僅完善了權(quán)重影響因素,而且結(jié)合每個生長元的獨立柵格距離圖,從多個距離圖幅角度,以地圖代數(shù)的形式規(guī)避了在單一圖幅中遍歷柵格,逐一處理背景柵格所屬的生長元而造成的計算效率問題;從柵格數(shù)據(jù)的精度角度,如何根據(jù)實際需求設(shè)定柵格的大小以滿足Voronoi在實際中的應(yīng)用是下一步工作需要繼續(xù)探討和解決的問題。

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