李　敬，王利東

大連海事大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116026

1　引言

粗糙集理論是由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的，其是一種有效處理不精確知識的數(shù)學(xué)工具[1]。目前該理論已經(jīng)成為人工智能以及計算智能領(lǐng)域刻畫不確定信息的主要工具，并且在機器學(xué)習(xí)、決策分析、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

經(jīng)典的Pawlak粗糙集建立在等價關(guān)系基礎(chǔ)上，這限制了粗糙集在實際中的應(yīng)用。因此學(xué)者們不斷地對其進行推廣，先后建立基于相容關(guān)系、優(yōu)勢關(guān)系和相似關(guān)系等的擴展粗糙集模型[2]。Yao提出鄰域系統(tǒng)的粒度計算模型，并應(yīng)用到知識發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域[3]。為提升粗糙集應(yīng)對噪聲數(shù)據(jù)的適應(yīng)能力，Wong等人提出了概率粗糙集[4]。Yao等人[5]基于條件概率和兩個參數(shù)提出了決策粗糙集，并給出有效的方法選擇參數(shù)閾值。決策粗糙集模型從風(fēng)險角度對決策過程進行了更深入的刻畫。Hu等人[6]在程度粗糙集模型（graded rough set，GRS）[7]和雙定量決策粗糙集[8]基礎(chǔ)上提出了雙相對定量決策粗糙集的相關(guān)定義以及性質(zhì)。Xu等人建立了邏輯“與”、“或”視角下的雙定量決策粗糙集模型[8]。對于一個對象，一些屬性值可能是缺失的，通常針對這些屬性給定一個區(qū)分值（即定值）?？紤]到信息的不完備性[9]，Yang等人[10]提出不完備信息系統(tǒng)中的多粒度粗糙集。Liu等人在不完備系統(tǒng)建立決策粗糙集模型，并以區(qū)間值形式刻畫風(fēng)險參數(shù)[11]。Li等人[12]針對不完備信息系統(tǒng)探討概念認知學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)機理。

雙論域粗糙集模型是對經(jīng)典粗糙集模型的一種推廣形式，它能夠應(yīng)用于形式概念分析以及決策系統(tǒng)，近年來受到越來越多的關(guān)注。例如，Miao等人[13]探討了雙論域上的程度粗糙集以及相應(yīng)數(shù)學(xué)性質(zhì)。楊海龍系統(tǒng)研究了多種形式背景下的雙論域粗糙集模型及其數(shù)學(xué)性質(zhì)[14]。Dai等人[15]采用粒計算方法定義了雙論域上的粗糙集，以及變精度粗糙集。在雙論域上，以雙相對定量考慮信息缺失問題的粗糙集模型可以從廣義程度上刻畫不確定信息。本文受文獻[6,8,15]的啟發(fā)，考慮到信息缺失，在不完備信息系統(tǒng)中提出雙論域上雙相對定量決策粗糙集，并對相應(yīng)的性質(zhì)及關(guān)系進行了討論。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第2章介紹相關(guān)的知識概念；第3章介紹不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的雙相對定量決策粗糙集定義及相關(guān)性質(zhì)；第4章討論了兩種雙相對定量決策粗糙集的關(guān)系；第5章用具體實例進一步說明與驗證。

2　準備知識

下面介紹相關(guān)的基本定義，包括Pawlak粗糙集、概率粗糙集、不完備信息系統(tǒng)、單論域上的概率程度粗糙集和雙相對定量決策粗糙集。

2.1　Pawlak粗糙集

定義1[8]設(shè)U為非空有限對象集合，R為定義在U×U上的等價關(guān)系，等價關(guān)系R生成U的一個劃分，定義U/R={[x]R|x∈U}，其中[x]R表示x關(guān)于R的等價類。對于任意集合X?U，X的上下近似定義如下：

相應(yīng)的，明確包含在X中的對象形成正域，記為明確不包含在X中的對象形成負域，記為或許包含在X中的對象構(gòu)成邊界域，記為

2.2　概率粗糙集

定義2[6](U,R,P)為概率近似空間，對于任意的0≤β<α≤1，X關(guān)于概率近似空間(U,R,P)依參數(shù)α、β的概率程度上下近似定義如下：

2.3　不完備信息系統(tǒng)

定義3（不完備信息系統(tǒng)）[16]設(shè)為一個信息系統(tǒng)，其中U為對象組成的非空有限集合，AT是屬性的非空有限集合。若對于每個a∈AT有f:U→Va，其中Va為a的值域，對 ?a∈AT,?x∈U,f(x,a)∈Va。如果至少有一個屬性a∈AT滿足Va含有空值，則稱S為不完備信息系統(tǒng)，否則為完備的。

就已有的研究成果來看，不完備信息系統(tǒng)中的空值可以分為遺漏型和缺席型。前者是存在的，但沒有記錄，而后者被認為是缺席的，是不容許被比較的。

2.4　單論域上的概率程度粗糙集

定義4[6](U,R,P)為概率近似空間，U為非空有限集合，0≤δ<1,X∈P(U)，則基于參數(shù)δ，X的概率程度上下近似定義如下：

相應(yīng)地，X的正域、負域、上邊界域、下邊界域以及邊界域可定義如下：

2.5　單論域上的雙相對定量決策粗糙集

雙相對定量決策粗糙集是結(jié)合程度粗糙集[14]和概率粗糙集模型提出來的，其能從本質(zhì)上表明相對與絕對定量的結(jié)合。

（1）單論域上的第一種雙相對定量決策粗糙集

定義5[6]令I(lǐng)=(U,R,P)為概率近似空間，對于參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1,0≤δ≤1)，則第一種雙相對定量決策粗糙集（Drq1-DTRS）定義為，其中為X基于參數(shù)α、β的下近似，為X基于參數(shù)δ的上近似。

此外X的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域分別定義如下：

（2）單論域上的第二種雙相對定量決策粗糙集

定義6[6]令I(lǐng)=(U,R,P)為概率近似空間，對于參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1,0≤δ≤1)，則第二種雙相對定量決策粗糙集（Drq2-DTRS）定義為，其中為X基于參數(shù)δ的下近似，為X基于參數(shù)α、β的上近似。

此外，X的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域分別定義如下:

3　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的雙相對定量決策粗糙集

下面將在不完備信息系統(tǒng)中定義雙論域上的雙相對定量決策粗糙集模型，并討論該模型的相關(guān)性質(zhì)。

3.1　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的粒度粗糙集模型

在實際生活中，難免會有一些信息缺失，例如文獻[12]展示了急性呼吸系統(tǒng)綜合征（SARS）病人的數(shù)據(jù)缺失案例，每位病人都會表現(xiàn)出相應(yīng)的癥狀，例如伴有發(fā)燒、咳嗽、呼吸困難等。隨著時間的推移，部分新患者出現(xiàn)一些新的癥狀，比如腹瀉等，則相應(yīng)的信息數(shù)據(jù)也應(yīng)得以更新，但是對于之前的病人來說這些癥狀的信息是缺失的。因此考慮到信息缺失，對于論域x∈U，y∈V，對象x可能有癥狀y，也可能沒有。依據(jù)此背景給出不完備信息系統(tǒng)下雙論域上的粒度粗糙集模型相關(guān)定義。

令U、V為兩個論域，I?(U×V)為論域上的一個二元關(guān)系，I(x,y)={1,0,?}，其中I(x,y)=1表示x、y之間一定存在關(guān)系，I(x,y)=0表示x、y之間不存在關(guān)系，則I(x,y)=?表示在某些情況下不能確定x、y之間是否存在關(guān)系[11]。基于此，定義不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的二元關(guān)系R*={(x,y)∈U×V:I(x,y)=1∨I(x,y)=?,?x∈U,?y∈V}及其逆關(guān)系為R*′={(y,x)∈V×U:(x,y)∈R*}。因此，U中元素x的繼承域和V中元素y的前域定義如下：

定義7設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，論域U到V的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系為R*′，對于Y?V，在雙論域上關(guān)系R*下Y的上、下近似定義如下：

定義8設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，論域U到V的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系為R*′，對于X?U，在雙論域上關(guān)系R*下X的上、下近似定義如下：

3.2　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的概率程度粗糙集

本節(jié)將給出不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的概率程度粗糙集的相應(yīng)定義以及相關(guān)性質(zhì)。

定義9設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，論域U到V的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系為R*′，對于Y?V，0≤δ≤1，則基于參數(shù)δ的Y的概率程度上下近似定義如下：

相應(yīng)Y的概率程度正域、負域、上邊界域、下邊界域以及邊界域為：

由定義9，參數(shù)δ取特殊值時，可得如下性質(zhì)。

性質(zhì)1對于任意的0≤δ≤1，有以下性質(zhì)成立：

定義10設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，論域U到V的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系為R*′，對于X?U，0≤δ≤1，則基于參數(shù)δ的X的概率程度上下近似定義如下：

相應(yīng)X的概率程度正域、負域、上邊界域、下邊界域以及邊界域為：

性質(zhì)2由定義10，對于任意的0≤δ≤1，有以下性質(zhì)成立：

3.3　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的雙相對定量決策粗糙集

一般而言，決策粗糙集模型主要是就相對定量信息來描述近似空間，而程度粗糙集主要描述絕對定量信息[14]。同時從相對量化和絕對量化信息的角度考慮，徐偉華等人提出雙定量決策粗糙集。胡寶清等人提出概率程度粗糙集，以及將其與概率粗糙集結(jié)合提出雙相對定量決策粗糙集。本節(jié)考慮到信息的缺失，在不完備信息系統(tǒng)中給出雙論域上的雙相對定量決策粗糙集的定義，并且對相應(yīng)的性質(zhì)進行了討論。

3.3.1　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的第一種雙相對定量決策粗糙集

定義11設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，U到V上的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系R*′，對于Y?V，參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1,0≤δ≤1)，Y的上下近似定義如下：

則不完備信息系統(tǒng)中雙論域上對于Y?V的第一種雙相對定量決策粗糙集定義為

此外，Y的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域定義如下：

定義12設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，U到V上的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系R*′，對于X?U，參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1, 0≤δ≤1)，X的上下近似定義如下：

則不完備信息系統(tǒng)中雙論域上對于X?U的第一種雙相對定量決策粗糙集定義為

此外X的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域定義如下：

3.3.2　不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的第二種雙相對定量決策粗糙集

定義13設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，U到V上的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系R*′，對于Y?V，參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1,0≤δ≤1)，Y的上下近似定義如下：

則不完備信息系統(tǒng)中雙論域上對于Y?V的第二種雙相對定量決策粗糙集定義為

此外Y的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域定義如下：

定義14設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，U到V上的關(guān)系R*?(U×V)及其逆關(guān)系R*′，對于X?U，參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1, 0≤δ≤1)，X的上下近似定義如下：

則不完備信息系統(tǒng)中雙論域上對于X?U的第二種雙相對定量決策粗糙集定義為

此外X的正域、負域、上邊界域、下邊界域和邊界域定義如下：

根據(jù)以上定義，有以下性質(zhì)成立。

性質(zhì)3（1）對于第一種雙相對定量決策粗糙集而言，如果α=1,β=0,δ=0，對于Y?V，則有 (U,V,；對于X?U，則有

（2）相對定量決策粗糙集而言，如果α=1,β=0,δ=0，對于Y?V，則有對于X?U，則有

證明由定義11～定義14易得證?！?/p>

4　第一種雙相對定量決策粗糙集與第二種雙相對定量決策粗糙集之間的關(guān)系

上文給出了在不完備信息系統(tǒng)中雙論域上兩種雙相對定量決策粗糙集的相關(guān)定義及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，下面將在參數(shù)α+β與1之間關(guān)系的基礎(chǔ)上進一步討論兩種雙相對定量決策粗糙集的關(guān)系。

設(shè)U、V為不完備信息系統(tǒng)中的兩個論域，論域U、V上給定關(guān)系R*?(U×V)，R*的逆關(guān)系為R*′，對于Y?V，參數(shù)α、β、δ(0≤β<α≤1,0≤δ≤1)有以下關(guān)系。

關(guān)系1α+β=1時

由兩種雙相對定量決策粗糙集Y的正域、負域、上邊界域、下邊界域以及邊界域的定義可得以下關(guān)系：

關(guān)系2α+β>1時

則有pos′(Y)?neg″(Yc),neg′(Y)?pos″(Yc)。

關(guān)系3α+β<1時

則有pos′(Y)?neg″(Yc),neg′(Y)?pos″(Yc)。

5　實例分析

本文引用文獻[12]中的實例數(shù)據(jù)來解釋兩種雙相對定量決策粗糙集，并說明它們之間的關(guān)系。設(shè)(U,V,R*)為一個不完備信息系統(tǒng)（如表1），其中U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}為9位患者，癥狀信息集合V={Fever，Cough，Headache，Difficulty breathing，Diarrhea，Muscle aches，Nausea and vomiting}，為了方便將其記為V={y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7}。如果對象xi有癥狀yj，則I(xi,yj)=1，在表1中值為1，如果對象xi沒有表現(xiàn)出癥狀yj，則I(xi,yj)=0，在表1中值為0。此外，沒有記錄對象xi是否有癥狀yj，則記為I(xi,yj)=?。

Table 1　SARS patient information table表1　SARS的病人信息表

由表1的數(shù)據(jù)，相應(yīng)地可得：

相應(yīng)地對于R*′可得：

假設(shè)Y={y2,y3,y6}，則Yc={y1,y4,y5,y7}。

（1）取α=0.6，β=0.4，δ=0.6，由定義11可得第一種雙相對定量決策粗糙集Y的正域、負域、上下邊界域以及邊界域如下：

類似的由定義13可得第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的正域、負域、上下邊界域以及邊界域如下：

通過以上比較分析可驗證文中“關(guān)系1”成立，即對于Y的第一種雙相對定量決策粗糙集的正域、負域、邊界域分別與對于Yc的第二種雙相對定量決策粗糙集的負域、正域、邊界域相等。

（2）取α=0.6,β=0.5,δ=0.6，同樣由定義11可得第一種雙相對定量決策粗糙集Y的正域、負域為：

類似的由定義13可得第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的正域、負域為：

通過以上計算結(jié)果的比較可知，第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的負域包含第一種雙相對定量決策粗糙集Y的正域，第一種雙相對定量決策粗糙集Y的負域包含第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的正域。

（3）取α=0.6，β=0.3，δ=0.6，由定義11可得第一種雙相對定量決策粗糙集Y的正域、負域為：

類似的由定義13可得第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的正域、負域為：

通過以上計算結(jié)果的比較可知文中“關(guān)系3”成立，即第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的正域包含第一種雙相對定量決策粗糙集Y的負域，第一種雙相對定量決策粗糙集Y的正域包含第二種雙相對定量決策粗糙集Yc的負域。

6　結(jié)論

雙論域上的粗糙集模型是對經(jīng)典粗糙集模型的一種推廣，本文給出了不完備信息系統(tǒng)中雙論域上的粒度粗糙集模型的定義，以及雙相對定量決策粗糙集的定義與相關(guān)性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上探討了隨著相關(guān)參數(shù)關(guān)系的變化兩種雙相對定量決策粗糙集的關(guān)系。最后以具體實例進一步地解釋說明了所提出的定義以及相關(guān)關(guān)系。

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