◎楊峰

一、引言

研究教材的方法主要有難度模型法、內(nèi)容分析法和概念圖法，其中難度模型法是研究教材難度的重要方法。我國鮑建生教授提出數(shù)學(xué)課程綜合難度的概念，并構(gòu)建出綜合難度的模型。在此基礎(chǔ)上，蔡慶有等構(gòu)建了小學(xué)數(shù)學(xué)教材難度線性模型N＝0.30C＋0.36W＋0.34E。本研究選取兩種版本中的集合內(nèi)容作為研究對象，運用難度模型法，構(gòu)建一個五邊形直觀模型，并借助該模型得到北師大版題目設(shè)置難度高于人教版，更注重綜合知識運用的結(jié)論。

二、“集合”題目難度因素的數(shù)據(jù)統(tǒng)計

利用難度模型法，從不同的維度、不同層次來分析比較其題目設(shè)置的難易程度。在探究難度因素上，具體劃分為識記、理解和探究三個水平。人教版三個水平題目比重分別為18.75%、78.13%和3.12%，北師大版比重分別為6.25%、54.17%和39.58%。在背景難度因素上，具體劃分為無實際背景、個人生活背景、公共常識背景和科學(xué)情景四個水平。人教版四個水平題目比重分別為71.88%、25%、3.12%和0，北師大版比重分別為64.58%、31.25%、4.17%和0。在運算難度因素上，具體劃分為無運算、數(shù)值計算、簡單符號運算和復(fù)雜符號運算四個水平。人教版四個水平題目比重分別為50%、0、50%和0，北師大版比重分別為64.58%、0、31.25%和4.17%。在推理難度因素上，具體劃分為無推理、簡單推理和復(fù)雜推理三個水平。人教版三個水平題目比重分別為43.75%、53.13%和3.12%，北師大版比重分別為31.25%、56.25%和12.50%。在知識含量難度因素上，具體劃分為單個知識點、兩個知識點、三個知識點和四個以上知識點四個水平。人教版四個水平題目比重分別為21.88%、40.62%、31.25%和6.25%，北師大版比重分別為16.67%、41.66%、16.67%和25%。利用加權(quán)平均值的計算公式，得出兩個版本的五個難度因素的加權(quán)平均值。在探究難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為1.84，北師大版為2.33。在背景難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為1.31，北師大版為1.40。在運算難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為2，北師大版為1.75。在推理難度因素上，人教版為1.59，北師大版為1.81。在知識含量難度因素上，人教版為2.22，北師大版為2.5。

三、“集合”題目難度因素的數(shù)據(jù)分析

1.探究 在識記水平上，人教版為18.75%，北師大版為6.25%。在理解水平上，人教版為78.13%，北師大版為54.17%，可以看出，無論是人教版還是北師大版，在理解這個水平上的百分比都達(dá)到了最高。

2.背景 兩個版本中的無背景題目和公共常識題目的設(shè)置數(shù)量所占比重相差不大，基本持平。特別是公共常識這一部分，兩個版本所占的比重相當(dāng)。在個人生活這一水平，北師大版設(shè)置題目數(shù)量高于人教版，說明北師大版更注重于應(yīng)用。而在科學(xué)情景這一塊，兩個版本的題目設(shè)置都為0，這和集合本身內(nèi)容有關(guān)。

3.運算 由于算法的特殊性，更多地涉及編程及畫程序圖，因此在題目的設(shè)置上，牽扯到數(shù)值運算的題目均為0。在無運算和復(fù)雜運算這兩個水平上，北師大版高于人教版。在簡單運算上，人教版高于北師大版。集合這部分內(nèi)容，兩個版本都設(shè)置了集合的概念、集合間的基本關(guān)系和集合的基本運算這三部分。

4.推理 在無推理方面，人教版高于北師大版12.5個百分比。在簡單推理中，北師大版為56.25%，人教版為53.13%，兩個版本相差不大，且都注重簡單推理這一層次。在復(fù)雜推理中，北師大版為12.5%，人教版為3.12%，北師大版本明顯高于人教版。

5.知識含量 通過比較分析，人教版在兩個知識點和三個知識點時達(dá)到的值相對較大，說明在這兩個等級上設(shè)置的題目較多，單個知識點的設(shè)置也占了21.88%的比重，而在四個知識點上只有6.25%。北師大版對學(xué)生的考查主要集中在兩個知識點和四個知識點上，單個知識點和三個知識點的比重相當(dāng)，都占了16.67%。在單個知識點水平上，人教版教材中的題目數(shù)量多于北師大版，而在四個知識點這個水平上，北師大版設(shè)置題目的數(shù)量明顯高于人教版。得出的結(jié)果是人教版更注重學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握，且考查的知識點相對更有針對性，而北師大版更重視學(xué)生運用綜合知識的能力。

6.綜合難度 由加權(quán)平均數(shù)，繪制出雷達(dá)圖如圖1。從圖中可直觀地看出，在五個維度中所形成的兩條封閉曲線，既有包含，又有交叉。其中，在背景和推理中，兩個版本基本接近，即題目設(shè)置難易程度相互持平。在知識含量和探究方面，北師大版高于人教版，說明在這兩個維度，北師大版的題目設(shè)置難度要高于人教版。而在運算方面，人教版高于北師大版，說明在這個維度，人教版的題目設(shè)置難度要高于北師大版。

四、建議與思考

1.在集合這章可適當(dāng)增加人教版探究類型的題目和北師大版識記類型的題目 從歷年的高考數(shù)學(xué)試卷來看，有關(guān)集合類型的題目大致分為簡單的概念題和難度較高的綜合題。北師大版在識記水平所占的百分比過低，有關(guān)識記的題目設(shè)置量過少。教材編寫者若能適當(dāng)增加集合識記內(nèi)容的題目，方使學(xué)生的基礎(chǔ)知識更為牢固。

2.教材編寫者可借鑒其他版本教材題目設(shè)計的優(yōu)點 兩個版本在題目的設(shè)計上各有特色。人教版教材重視學(xué)生基礎(chǔ)知識的鞏固，北師大版重視學(xué)生數(shù)學(xué)綜合性知識的運用。正因為不同版本教材的題目設(shè)置有不同的特點，所以不同版本教材的編寫者可借鑒其他版本的題目設(shè)置，從而優(yōu)化其題目設(shè)計。

3.教材編寫者可增加一定的文化背景閱讀知識 教材編寫者可適當(dāng)增加相關(guān)的文化背景閱讀知識，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與文化背景的聯(lián)系。