王志剛，朱　暢，郭宇飛

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室,湖北 武漢,430081；2.武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,湖北 武漢,430081)

作為一種常見的垂直運輸設(shè)備，傳統(tǒng)物料提升機質(zhì)量大、負載/自重比低，一般被視為剛性結(jié)構(gòu)，但實際工作時，其關(guān)節(jié)鉸接和傳動鏈(帶)等結(jié)構(gòu)具有一定的柔順性。這種特性可以對物料裝卸時產(chǎn)生的沖擊起到緩沖效果，但也會引起關(guān)節(jié)柔性部位的高頻振動。因此，可以將機械臂關(guān)節(jié)的柔順特性按Spong模型[1]簡化為線性扭(彈)簧，主動引入到物料提升機運動控制研究中，并對柔性關(guān)節(jié)在運動中產(chǎn)生的高頻振動加以抑制，使系統(tǒng)具有更高的控制精度[2-3]。

引入柔性關(guān)節(jié)特性后的物料提升機剛-柔系統(tǒng)表現(xiàn)出非線性、強耦合等特點[4-5]，采用傳統(tǒng)剛性系統(tǒng)的控制方法無法對柔性振動加以抑制，且不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。郭闖強等[6]針對機械臂柔性關(guān)節(jié)振動問題，設(shè)計了基于振動力矩負反饋的PD控制器，可快速抑制振動。Liu等[7]將輸入成型理論與反饋線性化結(jié)合，采用對基準(zhǔn)輸入預(yù)成型的方法抑制柔性振動。不過，上述控制器雖對機械臂運動中產(chǎn)生的振動加以抑制，卻未考慮復(fù)雜的外界干擾。Alam等[8]則針對有擾動的單桿柔性臂，基于遺傳算法對模糊控制中的比例因子進行調(diào)節(jié)，設(shè)計了混合控制器，削弱了柔性桿運動時末端的振動，但該控制器設(shè)計較為復(fù)雜，增加了實時控制的難度。

通過奇異攝動法可將適合任意剛性系統(tǒng)的控制器用于柔性系統(tǒng)中，不需要針對柔性系統(tǒng)設(shè)計專用控制器，其原理是將剛-柔耦合系統(tǒng)中的剛性軌跡運動與柔性振動通過降階的方法分解為慢、快兩個時變子系統(tǒng)，獨立設(shè)計控制器，慢變子系統(tǒng)可設(shè)計成剛性運動魯棒控制器，快變子系統(tǒng)則設(shè)計成可快速抑制振動的反饋控制器[9]。Aoustin等[10]基于奇異攝動理論設(shè)計控制器，實現(xiàn)了兩自由度柔性桿機械臂的魯棒位置控制及振動抑制。陳志勇等[11]采用奇異攝動法，針對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂設(shè)計了能對系統(tǒng)參數(shù)不確定因素進行補償?shù)幕Ｉ窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)混合控制器，保證了機械臂控制的精確性。

在上述滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)起到了對系統(tǒng)誤差進行逼近的作用，在不能建立系統(tǒng)準(zhǔn)確模型的情況下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可實時辨識系統(tǒng)的模型誤差并進行調(diào)整[12]，而且這種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的修正控制器是整個控制系統(tǒng)的附加部分，可以應(yīng)用到很多非線性控制系統(tǒng)中[13]。Wang等[14]為克服機器人系統(tǒng)的不確定性和外界干擾，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Hamilton-Jacobi-Issacs (HJI)不等式設(shè)計了一種混合自適應(yīng)魯棒跟蹤控制器，其中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即為一種附加控制，其作用是將系統(tǒng)及建模誤差視為外界干擾進行在線辨識及逼近，然后通過HJI魯棒控制器將其衰減到規(guī)定范圍內(nèi)，以實現(xiàn)機械臂位置的魯棒控制。

本文為提高物料提升機位置控制精度與抗沖擊能力，將傳動鏈和諧波驅(qū)動裝置的柔順特性引入其模型中，并建立整個系統(tǒng)的拉格朗日動力學(xué)方程。基于奇異攝動法將系統(tǒng)降階為快、慢兩個時變子系統(tǒng)。慢變子系統(tǒng)采用基于HJI理論和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制，以實現(xiàn)系統(tǒng)剛性部分軌跡的精確控制；快變子系統(tǒng)則通過速度差值反饋控制器抑制柔性關(guān)節(jié)的振動。最后通過仿真來驗證該混合控制器的有效性。

1　傳動柔性物料提升機模型

1.1　結(jié)構(gòu)原理與三維模型

物料提升機結(jié)構(gòu)如圖1所示[15]，主要由支架、升降安裝板和帶料斗的翻轉(zhuǎn)支臂三個部分組成。電機通過鏈輪帶動安裝板沿支架上下移動，承載物料的料斗安裝在支臂末端，支臂可繞安裝板上的旋轉(zhuǎn)軸翻轉(zhuǎn)，其三維模型如圖2所示。

圖1　物料提升機的結(jié)構(gòu)

圖2　物料提升機三維模型

1.2　動力學(xué)模型

建立傳動柔性物料提升機動力學(xué)模型時主要考慮升降和翻轉(zhuǎn)兩個部分，其簡化模型見圖3，其中柔性關(guān)節(jié)的簡化模型見圖4。升降部分傳動柔性是將傳動鏈簡化為具有質(zhì)心的線性彈簧,等效剛度為k1；翻轉(zhuǎn)部分傳動柔性是將諧波驅(qū)動裝置簡化為線性扭簧，轉(zhuǎn)動慣量等效到電機轉(zhuǎn)軸上,等效扭轉(zhuǎn)剛度為k2。建立如圖3所示的OXY慣性坐標(biāo)系,A1為鏈條等效質(zhì)量質(zhì)心，A2和A3分別為升降部分和旋轉(zhuǎn)支臂，支臂長為L。y和yL分別為升降部分位移和鏈條位移；θ和θL分別為支臂轉(zhuǎn)角和電機軸轉(zhuǎn)角。

圖3　傳動柔性物料提升機簡化模型

Fig.3Simplifiedmodeloftheelevatorwithtransmissionflexibility

圖4　柔性關(guān)節(jié)簡化模型

采用拉格朗日方法建模，其動力學(xué)方程如下：

(1)

式中:M1為系統(tǒng)正定慣性矩陣；M2=diag(mL,I)為柔性關(guān)節(jié)慣性矩陣；N為哥氏力、離心力矩陣；G為重力矩陣；K=diag(k1,k2)為柔性關(guān)節(jié)剛度系數(shù)矩陣；q=(y,θ)為系統(tǒng)廣義位移；qL=(yL,θL)為傳動部分的柔性位移；u=τ1,τ2為驅(qū)動力矩向量。

1.3　奇異攝動模型

傳動鏈和諧波驅(qū)動裝置的關(guān)節(jié)柔性會引起系統(tǒng)的彈性振動，影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度，所設(shè)計的控制器必須同時滿足物料提升機位置控制和柔性關(guān)節(jié)振動抑制兩方面要求。采用奇異攝動法將系統(tǒng)分解為快、慢兩個時變子系統(tǒng)：慢變子系統(tǒng)表征系統(tǒng)剛性運動，控制律為us；快變子系統(tǒng)表征系統(tǒng)柔性振動，控制律為uf。因此系統(tǒng)混合控制律如下：

u=us+uf

(2)

(3)

(4)

令ε=0,電機轉(zhuǎn)子與關(guān)節(jié)之間近似為剛性聯(lián)接，并將其代入式(4)，可得慢變子變量：

(5)

將上式中的zs代入式(3)中，經(jīng)化簡可得慢變子系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

(6)

其中H(q)=M1+M2。

(7)

(8)

(9)

式(6)和式(9)即為降階后的慢、快變子系統(tǒng)的奇異攝動模型。

2　控制器設(shè)計

由式(2)可知，完整的系統(tǒng)控制器由快變子系統(tǒng)控制器uf和慢變子系統(tǒng)控制器us組成。前者實現(xiàn)對柔性關(guān)節(jié)振動的主動抑制，后者實現(xiàn)物料提升機的位置控制。

2.1　快變子系統(tǒng)控制器

將系統(tǒng)傳動關(guān)節(jié)運動速度與柔性關(guān)節(jié)運動速度的差作為反饋，基于該反饋值設(shè)計快變子系統(tǒng)控制器：

(10)

式中：Kf=Kα/ε，其中Kα為正定對角矩陣。系統(tǒng)通過反饋的速度差值調(diào)節(jié)uf以實現(xiàn)振動抑制和保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2　慢變子系統(tǒng)控制器

由于物料提升機工作環(huán)境復(fù)雜，運輸時有不確定的外界干擾，并且裝載的物料質(zhì)量具有可變性，所以精確的物料提升機數(shù)學(xué)模型難以建立。針對這種情況，本文采用基于HJI理論和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的魯棒控制器[12]，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)參數(shù)誤差進行逼近和自適應(yīng)調(diào)整，再通過魯棒控制器將該誤差進行約束，使其降低到規(guī)定范圍以內(nèi)，以保證系統(tǒng)能在參數(shù)不確定的情況下快速到達期望軌跡。

2.2.1HJI定理

針對如下模型：

(11)

其中d為外界干擾，設(shè)η為系統(tǒng)參數(shù)，為了評判系統(tǒng)抗干擾能力，可定義性能指標(biāo)J：

(12)

2.2.2控制器設(shè)計和穩(wěn)定性證明

在物料提升機動力學(xué)方程式(6)中加入系統(tǒng)建模誤差，得到方程如下：

(13)

定義期望軌跡為qd，軌跡誤差為e=q-qd，設(shè)計前饋控制律為：

(14)

式中：T為反饋控制律。

將式(14)代入式(13)，可得閉環(huán)系統(tǒng)為：

(15)

Δf=W*Φ+δ

(16)

式中：W*為RBF理想權(quán)值；Φ為RBF高斯基函數(shù)；δ為逼近誤差。

定義

(17)

式中：α>0，為一常數(shù)。

將式(13)改寫為：

(18)

(19)

針對式(18)所表示的系統(tǒng)，設(shè)計自適應(yīng)調(diào)整律為：

(20)

設(shè)計系統(tǒng)控制律為：

(21)

式(14)所表示的慢變子系統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)如圖5所示：

圖5　慢變子系統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)

閉環(huán)系統(tǒng)式(15)滿足HJI定理，即J≤λ，下面證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定義Lyapunov 函數(shù)為:

(22)

由式(18)和式(21)可得:

(23)

定義函數(shù)H為

(24)

鑒于:

可得H≤0，再根據(jù)式(24)中H的定義，可知：

(25)

式(25)即表明系統(tǒng)穩(wěn)定。

3　仿真及結(jié)果分析

為檢驗所設(shè)計的控制器對傳動柔性物料提升機模型的控制有效性，進行兩組仿真實驗：①通過開、關(guān)快變子系統(tǒng)控制器(式(10))，檢驗柔性關(guān)節(jié)振動抑制效果以及其對整個系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；②通過在模型中加入?yún)?shù)不確定性和外界干擾，檢驗慢變子系統(tǒng)控制器(式(14))的控制精度和魯棒性。系統(tǒng)模型參數(shù)及控制器參數(shù)如表1～表2所示。

表1　系統(tǒng)模型參數(shù)

表2　控制器參數(shù)

選取機械臂初始狀態(tài)為：

(26)

不失一般性，可選零狀態(tài)為期望狀態(tài)，仿真結(jié)果如圖6～圖11所示。

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

首先，不考慮外界擾動，即采用標(biāo)稱模型。關(guān)閉系統(tǒng)的快變子控制器，不對柔性關(guān)節(jié)振動進行>主動抑制，圖6(a)～圖11(a)分別為不抑制振動情況下系統(tǒng)的廣義位移、速度和控制力矩。從圖6(a)和圖7(a)可知，系統(tǒng)廣義位移軌跡在趨于零狀態(tài)附近時會呈現(xiàn)出有規(guī)律的振蕩現(xiàn)象，其振幅相對于整體軌跡較小，但并未收斂。從圖8(a)～圖11(a)可知，系統(tǒng)的速度響應(yīng)與控制力矩在運動軌跡趨于零狀態(tài)的過程中，其振幅不斷增大，呈發(fā)散趨勢，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。這說明柔性關(guān)節(jié)振動對系統(tǒng)軌跡控制影響較大，使其難以達到期望軌跡。

采用標(biāo)稱模型且開啟系統(tǒng)快變子控制器的仿真結(jié)果如圖6(b)～圖11(b)中的實線部分(系統(tǒng)參數(shù)確定)所示，與圖6(a)～圖11(a)對比可知，系統(tǒng)的廣義位移、速度和控制力矩的振蕩現(xiàn)象在運動初始就得到明顯抑制，柔性關(guān)節(jié)振動控制效果較好，系統(tǒng)廣義位移快速到達期望位置，速度趨于零狀態(tài)點，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。為檢驗控制器應(yīng)對復(fù)雜工況時的控制效果，取系統(tǒng)參數(shù)誤差為：

并在開啟系統(tǒng)快變子控制器的情況下進行仿真，結(jié)果如圖6(b)～圖11(b)中的虛線部分(系統(tǒng)參數(shù)不確定)所示，與相應(yīng)圖中實線部分對比可知，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)存在誤差時，其系統(tǒng)響應(yīng)曲線與標(biāo)稱模型的系統(tǒng)響應(yīng)曲線的變化趨勢基本一致，但響應(yīng)速度稍慢，柔性關(guān)節(jié)振動同樣得到較好抑制。這表明該復(fù)合控制器能夠克服系統(tǒng)參數(shù)誤差的影響，可對其進行補償，且能有效消除因關(guān)節(jié)柔性而導(dǎo)致的振動，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定。

4　結(jié)語

為提高物料提升機控制精度和抗沖擊能力，本文考慮到傳動鏈和諧波減速裝置的傳動柔性，將其簡化為無慣量線性扭(彈)簧，提出一種傳動柔性物料提升機模型，并建立系統(tǒng)拉格朗日動力學(xué)方程。

基于奇異攝動理論，將剛-柔耦合模型的控制降階為軌跡控制和振動抑制兩部分。設(shè)計了一種自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對系統(tǒng)參數(shù)誤差進行逼近，并通過HJI魯棒控制器使誤差衰減到規(guī)定范圍內(nèi)，以實現(xiàn)剛性系統(tǒng)的軌跡控制。對于柔性振動部分，基于柔性傳動部件速度差值設(shè)計振動抑制控制器。

經(jīng)仿真驗證，所設(shè)計的復(fù)合控制器能克服未知載荷參數(shù)和有界外部干擾的影響，實現(xiàn)系統(tǒng)點對點位置的精確控制，魯棒性較好，并能對柔性關(guān)節(jié)振動進行快速抑制，可有效保持整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

[1]Spong M W. Modeling and control of elastic joint robots[J]. Journal of Dynamics Systems, Measurement, and Control, 1987, 109(4):310-319.

[2]Tokhi M O, Azad A K M. Flexible robot manipulators: modelling, simulation and control[M]. London: The Institution of Engineering and Technology, 2008.

[3]郭宇飛, 侯保林.傳動柔性及負載變化彈藥傳輸機械臂位置控制及柔性振動抑制[J].振動與沖擊,2015,34(22):1-8.

[4]Subudhi B, Morris A S. Dynamic modelling, simulation and control of a manipulator with flexible links and joints[J]. Robotics and Autonomous Systems, 2002, 41(4):257-270.

[5]Yu X Y, Chen L. Modeling and observer-based augmented adaptive control of flexible-joint free-floating space manipulators[J]. Acta Astronautica, 2015, 108:146-155.

[6]郭闖強,倪風(fēng)雷,孫敬颋,等.具有力矩傳感器的柔性關(guān)節(jié)的振動抑制[J].機器人,2011,33(4):449-454.

[7]Liu K P, You W, Li Y C. Combining a feedback linearization approach with input shaping for flexible manipulator control[C]//IEEE International Conference on Machine Learning and Cybernetics, Xi’an, 2-5 Nov. 2003,1:561-565.

[8]Alam M S, Tokhi M O. Hybrid fuzzy logic control with genetic optimisation for a single-link flexible manipulator[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2008, 21(6):858-873.

[9]Siciliano B, Book W J. A singular perturbation approach to control of lightweight flexible manipulators[J]. The International Journal of Robotics Research, 1998,7(4):79-90.

[10] Aoustin Y, Chevallereau C. The singular perturbation control of a two-flexible-link robot[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation, Atlanta, 2-6 May 1993,3:737-742.

[11] 陳志勇,郭益深,陳力.柔性關(guān)節(jié)雙臂空間機器人的滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2014,26(12)：2950-2956.

[12] 劉金琨.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制MATLAB仿真[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2014.

[13] Choi Y C, Ahn H S. Nonlinear control of quadrotor for point tracking: actual implementation and experimental tests[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2015, 20(3):1179-1192.

[14] Wang Yaonan, Sun Wei, Xiang Yangqin, et al. Neural network-based robust tracking control for robots[J]. Intelligent Automation and Soft Computing, 2009, 15(2):211-222.

[15] 姚來鵬,侯保林.基于非奇異終端滑模的物料提升機位置控制[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報,2015,31(12):77-82.