馬于龍，胡業(yè)發(fā)，陳昌皓，吳　帆

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

磁懸浮系統(tǒng)大體可分為電磁式磁懸浮系統(tǒng)(electro magnetic system，EMS)和電動(dòng)式磁懸浮系統(tǒng)(electro dynamic system，EDS)兩類[1]。EMS型系統(tǒng)是利用電磁鐵和軌道之間的吸力磁力來(lái)實(shí)現(xiàn)懸浮，該系統(tǒng)可通過(guò)主動(dòng)控制來(lái)調(diào)整懸浮性能，但對(duì)軌道要求較高、懸浮控制器比較復(fù)雜且需要消耗大量能量[2]。EDS型系統(tǒng)因其懸浮高度大且控制系統(tǒng)相對(duì)簡(jiǎn)單而受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。其中，采用Halbach 陣列的EDS系統(tǒng)由于其磁場(chǎng)的單邊效應(yīng)和空間正弦性而備受青睞。陳殷等[3-4]建立了基于Halbach陣列的相關(guān)模型，并研究了其磁場(chǎng)分布、磁力、剛度等的計(jì)算方法。

電動(dòng)式磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)，很難用傳統(tǒng)的基于線性系統(tǒng)理論的控制策略對(duì)其進(jìn)行控制。國(guó)內(nèi)外已有學(xué)者采用一些非線性控制方法，如自適應(yīng)控制[5]、模糊控制[6]、其他控制策略[7]等系統(tǒng)控制的研究方法。在上述文獻(xiàn)中，這些方法通常都是基于列車在平直軌道上運(yùn)行而進(jìn)行研究的，而對(duì)于軌道曲線的變化所帶來(lái)的不利影響卻沒(méi)有進(jìn)行討論。列車在不同的軌道曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的模型會(huì)發(fā)生變化，常見(jiàn)的控制算法通常都沒(méi)有考慮這個(gè)因素，且往往會(huì)忽略列車在不同軌道上運(yùn)行時(shí)的不利影響，因此其抗干擾能力有限。此外，針對(duì)列車過(guò)曲線軌道時(shí)的控制，為了安全起見(jiàn)，通常的做法都是降低列車的運(yùn)行速度。但是，這樣會(huì)降低磁懸浮列車高速的優(yōu)勢(shì)[8-9]。若減小軌道曲線的曲率，則會(huì)增加對(duì)軌道制造精度的要求，使軌道布局的靈活性降低，制造成本增加。

為了解決上述問(wèn)題，首先，筆者利用加速度傳感器和位移傳感器對(duì)等效加速度進(jìn)行了測(cè)量，并對(duì)反饋線性化控制方法進(jìn)行了改進(jìn)，統(tǒng)一了列車在不同軌道上的控制模型。其次，通過(guò)間接測(cè)量的方式實(shí)時(shí)測(cè)量干擾力的大小，并將其作為反饋?lái)?xiàng)加入到控制量中，進(jìn)而提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

1　等效加速度的測(cè)量

磁懸浮軌道曲線多種多樣，對(duì)列車過(guò)曲線軌道的研究，主要考慮3類曲線，即如圖1軌道曲線示意圖中的ab段為水平直線軌道，bc段和de段為豎曲線,cd段和ef段為坡道。考慮到列車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，影響列車懸浮間隙的力為沿軌道面法線方向，根據(jù)矢量的合成法則可知：列車沿軌道法線方向的加速度也等于其各分加速度在其法線方向投影的矢量和。但是列車在不同速度、不同曲線軌道上時(shí)，其理想的等效加速度是不同的，因此列車在過(guò)曲線軌道時(shí)的理想加速度可認(rèn)為是時(shí)變的。

圖1　軌道曲線示意圖

令其法線方向的等效加速度為at，表示列車在跟蹤軌道曲線過(guò)程中由軌道曲率1/R、重力加速度g、列車速度v，以及軌道面法線與豎直方向的夾角θ引起的在軌道法線方向的等效加速度。在曲線ab段、bc段、cd段和ef段、de段的等效加速度分別如式(1)～式(4)所示。

ab段at=g

(1)

bc段at=gcos (θ)-v2/R

(2)

cd段和ef段at=gcos (α)

(3)

de段at=gcos (θ)+v2/R(4)

但對(duì)于列車在這些曲線段的單點(diǎn)法線方向的受力模型如圖2所示，并由圖2可得如式(5)所示的關(guān)系。

圖2　支撐單元受力圖

(5)

式中：F為懸浮力；fd為干擾力；at為等效加速度，其是無(wú)法直接測(cè)得的，為此在Halbach陣列上安裝加速度傳感器、位移傳感器，分別用以測(cè)量列車沿軌道面法線方向的加速度a、位移δ,則等效加速度at、加速度a、位移δ之間的關(guān)系為：

a=at+δ″

(6)

2　單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)建立與穩(wěn)定性分析

2.1　基于Halbach的磁懸浮系統(tǒng)的建立

EDS型磁懸浮列車的軌道類型目前研究較多的主要有窗型導(dǎo)軌和導(dǎo)體板型兩類。根據(jù)研究?jī)?nèi)容的特征，筆者采用窗型導(dǎo)軌，即由Halbach陣列與窗型導(dǎo)軌構(gòu)成，懸浮原理示意圖如圖3所示[10]。當(dāng)Halbach整列以某一恒定的速度v前進(jìn)時(shí)，在Halbach下方的感應(yīng)導(dǎo)軌內(nèi)將會(huì)感應(yīng)出電流，感應(yīng)電流會(huì)與磁場(chǎng)相互作用，產(chǎn)生懸浮力。若忽略橫向端部效應(yīng)以及各次諧波的作用，假設(shè)線圈足夠高，則其懸浮力可表示為[11]:

圖3　電動(dòng)懸浮原理

(7)

其中，B為Halbach陣列下表面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的幅值。當(dāng)Halbach陣列為永磁陣列時(shí)，B由永磁體的剩磁決定；當(dāng)陣列為勵(lì)磁線圈組成時(shí)，B則由線圈中的勵(lì)磁電流決定。其中常數(shù)C由列車運(yùn)行的速度、Halbach相關(guān)的尺寸等決定，常數(shù)k=2π/λ，λ為Halbach永磁陣列的一個(gè)波長(zhǎng)。

2.2　基于平衡點(diǎn)線性化的穩(wěn)定性分析

磁懸浮列車的支撐都是多點(diǎn)支撐，但由于列車在結(jié)構(gòu)上本身具備一定的解耦能力，可分別對(duì)各個(gè)懸浮點(diǎn)單獨(dú)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。此外，所研究的重點(diǎn)不在于對(duì)解耦控制問(wèn)題的研究，為了簡(jiǎn)化模型，這里只對(duì)單點(diǎn)懸浮控制問(wèn)題進(jìn)行研究。

由式(5)可得，F(xiàn)、fd、m、at有如下關(guān)系：

δ″=F/m+fd/m-at

(8)

假設(shè)at=g，令F0=mg，δ=δ0，B=B0為其靜態(tài)工作點(diǎn)，則將式(7)利用泰勒公式展開(kāi)可得：

F=C·B0·e-2kδ0+C·B·

e-2kδ0·(-2k)(δ-δ0)

(9)

F0=C·B0·e-2kδ0=mat

(10)

由式(8)～式(10)可得：

fd=mδ″+2kC·B0·e-2kδ0·(δ-δ0)

(11)

令xi(t)=fd，x0(t)=δ-δ0，對(duì)式(11)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

(12)

其極點(diǎn)如式(13)所示，可知其極點(diǎn)在虛軸上，由經(jīng)典控制理論可知，該系統(tǒng)為無(wú)阻尼系統(tǒng)，是臨界穩(wěn)定的，因此需要對(duì)其加入主動(dòng)控制。

(13)

3　基于反饋線性化的懸浮控制器設(shè)計(jì)與仿真

3.1　基于反饋線性化的控制器設(shè)計(jì)

為了讓系統(tǒng)適用于各種路況，針對(duì)PID控制方法在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)動(dòng)態(tài)性能不足和受模型參數(shù)變化影響較大的缺點(diǎn)，采用反饋線性化控制方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)非線性系統(tǒng)反饋線性化的有關(guān)理論，將式(8)作狀態(tài)變量替換和控制量替換：

(14)

其中，a為放在電磁Halbach陣列上的加速度傳感器所測(cè)得的信號(hào)，其測(cè)量的方向?yàn)檐壍烂娣ň€方向。此時(shí)非線性系統(tǒng)(14)被線性化為如下形式的線性系統(tǒng)：

(15)

(16)

其中，u為控制量，可以采用狀態(tài)反饋的方法對(duì)其進(jìn)行極點(diǎn)配置，使該系統(tǒng)滿足相關(guān)的性能指標(biāo)。當(dāng)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制時(shí)，可采取如下形式的反饋控制律：

u=k1(z1-z0)+k2z2+k3z3

(17)

其中，z0表示設(shè)定懸浮間隙。由電磁理論可知式(17)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度在工作范圍內(nèi)，其大小與Halbach陣列的線圈中的電流i(t)呈現(xiàn)如下關(guān)系，其中ki為相應(yīng)的比例系數(shù)。

B(t)=ki·i(t)

(18)

由式(6)～式(8)和式(18)可得：

fd=ma-C[ki·i(t)2]2e-2kδ

(19)

為得到在軌道上最終的控制量表達(dá)式，將式(19)代入式(18)后，得控制量的最終表達(dá)式為：

3.2　線性化系統(tǒng)的極點(diǎn)配置

(21)

rank(Qe)=3

(22)

下面討論狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。由于式(15)中控制信號(hào)為單輸入信號(hào)，且輸出為y=z1，則所考察的系統(tǒng)可以寫為:X′=AX+bu，Y=CX。其中：X?R3為狀態(tài)變量；Y?R為輸出變量；u?R為控制信號(hào)，u=k1(z1-z0)+k2z2+k3z3=r-KX，K=[k1k2k3]，X=[z1z2z3]T，r=-k1z0，因此可以求得該閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

(23)

其中r為標(biāo)量，決定了系統(tǒng)的工作點(diǎn)。(A-bK)決定了系統(tǒng)的固有特性。其特征多項(xiàng)式為：

ak(s)=|sI-(A-bK)|=

(24)

ak(s)=s3+k3s2+k2s+k1

(25)

其期望的特征多項(xiàng)式為：a(s)=(s-s1)×(s-s2)×(s-s3)，將目標(biāo)極點(diǎn)代入上式得：a(s)=s3+210s2+10 800s+270 000。與式(25)對(duì)比可知：k1=270 000，k2=10 800，k3=210。

3.3　系統(tǒng)控制仿真結(jié)果

對(duì)于某磁懸浮系統(tǒng)，其相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)為：K=50，m=800 kg，δ0=0.02 m,r=2 500 m，v=100 m/s，tanα=0.07。圖1中的軌道曲線參數(shù)：ab、cd和ef段長(zhǎng)度均為100 m，bc段長(zhǎng)度為200 m，de段長(zhǎng)度為400 m，由于各段的等效加速度的值分別如式(1)～式(4)所示，并且穩(wěn)定時(shí)間均在1 s內(nèi)，因此可用圖4所示的曲線表示等效加速度的變化規(guī)律，應(yīng)用Matlab的Simulink工具箱，采用常規(guī)的PID控制方法和改進(jìn)的反饋線性化的控制方法得出的仿真結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖4　等效加速度變化圖

圖5　PID控制的效果圖

圖6　反饋線性化控制效果圖

從圖4可看出，在列車經(jīng)過(guò)不同的曲線段時(shí)，其等效加速度會(huì)發(fā)生變化。等效加速度的大小不僅與軌道曲率、坡度等相關(guān)，還與列車的運(yùn)行速度相關(guān)。曲率、坡度、速度越大，等效加速度相比于在平直路面上的加速度的變化量就越大，從而導(dǎo)致列車的控制模型發(fā)生改變。經(jīng)典的PID控制方法雖然簡(jiǎn)單易用適用范圍也較廣，對(duì)于特定的模型可能獲得較好的控制效果，但當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變之后，PID控制方法也能獲得一定的控制效果，但效果并不理想。從圖5可看出，在采用PID控制方法時(shí)，Halbach陣列板與軌道之間的間隙會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)。而筆者設(shè)計(jì)的非線性控制器在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，仍能取得較好的控制效果。由式(5)可知，等效加速度at與干擾力fd的變化對(duì)系統(tǒng)的影響等價(jià)，因此，改進(jìn)的非線性控制器的抗干擾能力顯著高于經(jīng)典PID控制方法。

4　結(jié)論

筆者建立了基于Halbach陣列的電磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了其平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，理論分析和仿真均表明，在忽略阻尼的情況下，系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定，而是呈現(xiàn)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)的非線性特點(diǎn)，采用反饋線性化控制方法對(duì)傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)加以改進(jìn)，利用加速度傳感器和位移傳感器對(duì)系統(tǒng)的等效加速度進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)電流反饋的方法監(jiān)測(cè)干擾量，并將其應(yīng)用到狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)中。同時(shí)采用主導(dǎo)極點(diǎn)配置法對(duì)系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整。理論上講，改進(jìn)后的非線性控制系統(tǒng)能完全消除軌道曲線變化和干擾力對(duì)控制系統(tǒng)的影響。但由于沒(méi)有考慮Halbach陣列的端部效應(yīng)、Halbach陣列與軌道不平行等因素，其在實(shí)際工程應(yīng)用中的效果還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

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