徐澤遠(yuǎn)，伊國興,，魏振楠，趙萬良

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

半球諧振陀螺(HRG)是一種新型的高精度、高穩(wěn)定性、長壽命的固體振動(dòng)陀螺[1-4]，非常適合長時(shí)間工作場合的使用，在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[5-6]。與機(jī)械陀螺、光纖陀螺和激光陀螺等相比[7-9]，它結(jié)構(gòu)簡單，無損耗部件(如機(jī)械轉(zhuǎn)子和光源等)，無需后期維護(hù)；不需預(yù)熱，啟動(dòng)時(shí)間短；功耗低，體積小，重量輕；具有很強(qiáng)的抗沖擊能力，能承受大的機(jī)動(dòng)過載；抗輻照能力強(qiáng)，失效因素少；諧振子物理特性穩(wěn)定，陀螺具有很高的可靠性和超長的壽命，連續(xù)工作15年的可靠度高達(dá)0.99，這些優(yōu)點(diǎn)使得半球諧振陀螺在慣性技術(shù)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，為此發(fā)展半球諧振陀螺技術(shù)對(duì)于中國導(dǎo)航技術(shù)的快速發(fā)展具有十分重要的意義。

目前，半球諧振陀螺誤差機(jī)理分析與抑制技術(shù)仍是制約其發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。而建立半球諧振陀螺諧振子的動(dòng)力學(xué)模型為研究其誤差機(jī)理問題提供了力學(xué)基礎(chǔ)。所以，在半球諧振陀螺的理論研究和實(shí)際制造過程中，其誤差機(jī)理分析的基礎(chǔ)是含有各種誤差源的半球殼諧振子動(dòng)力學(xué)模型，這些誤差源包括諧振子的密度不均勻、厚度不均勻、品質(zhì)因數(shù)不均勻等加工工藝誤差和溫度、加速度等環(huán)境因素的影響[10-16]，還可用于研究電極的加工誤差及其不同控制方式對(duì)陀螺精度和性能的影響[17-19]。

對(duì)于諧振子的動(dòng)力學(xué)建模一直在不斷地完善，目前的諧振子動(dòng)力學(xué)模型主要對(duì)諧振子的唇緣處進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，將半球殼諧振子簡化成環(huán)形諧振子，解算的動(dòng)力學(xué)參數(shù)偏差較大，這是因?yàn)橹皇菃渭兊胤治隽俗冃巫畲蟮闹C振子邊緣處的振動(dòng)特性，而諧振子是整體振動(dòng)，必須對(duì)整個(gè)諧振子的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。另外，有的研究雖然是對(duì)整個(gè)諧振子進(jìn)行建模，但是在推導(dǎo)諧振子中面物理方程過程中，對(duì)中面內(nèi)力作了簡化，直接影響所建立動(dòng)力學(xué)方程的精度；在外載荷加載過程中，將外載荷進(jìn)行簡化，以致不能準(zhǔn)確地反映其實(shí)際作用效果，建立的動(dòng)力學(xué)模型精度較低。

針對(duì)以上問題，本文在現(xiàn)有的諧振子動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，基于彈性力學(xué)薄殼理論，提出了一種完善的諧振子動(dòng)力學(xué)建模方法，結(jié)合諧振子的整體動(dòng)力學(xué)分析，推導(dǎo)了更完整的諧振子動(dòng)力學(xué)方程，利用布勃諾夫-伽遼金法建立了更精確的諧振子2階諧振狀態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。諧振子動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的計(jì)算值與測試數(shù)據(jù)結(jié)果一致，證明了本文提出的諧振子動(dòng)力學(xué)建模方法的正確性。建立的諧振子動(dòng)力學(xué)模型能更全面地用于半球諧振陀螺誤差機(jī)理問題研究。

1 半球諧振陀螺簡介

1.1 半球諧振陀螺工作原理

力反饋式半球諧振陀螺的組成結(jié)構(gòu)主要由外基座、諧振子和內(nèi)基座三件套構(gòu)成，如圖1(a)所示。外基座的內(nèi)表面均勻分布激勵(lì)電極，用于諧振子的振幅、速率、正交以及頻率控制。陀螺內(nèi)基座的外表面均布檢測電極，用于諧振子諧振頻率、振幅、振型角和正交漂移等振動(dòng)狀態(tài)的檢測。下面簡單介紹核心部件諧振子的工作原理。

諧振子如圖1(b)所示，它由高純?nèi)廴谑⒅瞥?，并在其表面噴鍍金屬薄層，用以?gòu)成電極的一個(gè)電極板。諧振子工作于2階諧振狀態(tài)下，其半球殼唇緣處振動(dòng)駐波為四波腹形式，如圖2(a)所示。振動(dòng)過程中，唇緣變形達(dá)到最大時(shí)為橢圓形，橢圓的長軸稱為波腹軸。四波腹?fàn)顟B(tài)下存在2個(gè)相互正交的波腹軸。2個(gè)橢圓存在4個(gè)交點(diǎn)，即為波節(jié)點(diǎn)。波腹軸位置用于諧振子的振幅控制和檢測振幅信息，波節(jié)點(diǎn)位置用于諧振子的速率控制和檢測振型角信息。

當(dāng)諧振子敏感軸方向有外界角速度Ω輸入時(shí)，諧振子的振型會(huì)相對(duì)于初始位置發(fā)生進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角度?稱為振型角，如圖2(b)所示。理論和實(shí)驗(yàn)都可以證明，在2階諧振狀態(tài)下，?與Ω的關(guān)系為

(1)

式中：K為諧振子的比例系數(shù)。

式(1)說明，只要測量出諧振子的2階振型角，就可以得到諧振子相對(duì)于慣性空間轉(zhuǎn)過的絕對(duì)角度。

基于以上分析可知，對(duì)諧振子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與精確建模是十分必要的。表1為諧振子的幾何參數(shù)(如圖1(b)所示)與物理參數(shù)。

表1 諧振子的幾何參數(shù)與物理參數(shù)Table 1 Geometry and physical parameters of resonator

1.2 諧振子的半球殼模型

在建模過程中，將半徑為R、厚度為h的傘形諧振子結(jié)構(gòu)簡化為半球形進(jìn)行建模，以半球殼中面的曲率線為θ、φ坐標(biāo)線，如圖3所示。圖中： 以諧振子球心為原點(diǎn)，定義諧振子坐標(biāo)系Oxryrzr。

2 諧振子動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 薄殼的彈性力學(xué)幾何方程

薄殼的厚度h遠(yuǎn)小于殼體中面的最小曲率半徑R，諧振子符合薄殼的條件。在薄殼的彈性力學(xué)幾何方程基礎(chǔ)上建立半球殼諧振子動(dòng)力學(xué)模型。為建立符合諧振子振動(dòng)特性的薄殼彈性力學(xué)幾何方程，在基希霍夫-李雅夫假設(shè)基礎(chǔ)上作出如下基本假設(shè)：

1) 垂直于中面的正應(yīng)變可以忽略不計(jì)。

2) 變形前任何垂直于中面的法線在變形后仍然垂直于中面，而且中面法線及其垂直線段之間的直角保持不變，即該方向的切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

3) 與中面平行截面上的正應(yīng)力遠(yuǎn)小于其垂直面上的正應(yīng)力，因而它對(duì)應(yīng)變的影響可以忽略不計(jì)。

4) 薄殼上所有加載的面力均可轉(zhuǎn)化為作用于中面的載荷。

諧振子中面內(nèi)任意一點(diǎn)P0的位移在θ、φ和γ坐標(biāo)方向的分量分別用p1、p2和p3表示，沿坐標(biāo)軸方向的正應(yīng)變用τ1、τ2和τ3表示，切應(yīng)變用τ23、τ31和τ12表示。點(diǎn)P0發(fā)生位移后到達(dá)Q0點(diǎn)，Q0點(diǎn)的坐標(biāo)為θ+dθ、φ+dφ和γ+dγ。建立中面應(yīng)變與中面位移關(guān)系的幾何方程，在任意一點(diǎn)P0處取一個(gè)體積微元，體積微元的所有邊都沿著坐標(biāo)線θ、φ和γ的方向，如圖4所示。

當(dāng)坐標(biāo)改變時(shí)，θ線的弧長增量與θ坐標(biāo)增量的比值稱為θ方向的拉梅系數(shù)H1[20]。同理定義φ方向的拉梅系數(shù)H2,γ方向的拉梅系數(shù)H3。其中γ為直線坐標(biāo)，直線的拉梅系數(shù)為1。

(2)

式中：k1和k2分別為P0點(diǎn)沿θ和φ方向的曲率，且

(3)

其中：x、y和z為直角坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)下文中的半球殼諧振子坐標(biāo)系。

將應(yīng)變分量用位移分量來表示，首先計(jì)算薄殼中面的正應(yīng)變，以P0P1的正應(yīng)變?chǔ)?為例。邊P0P3與P1Q2的交角為dη13，邊P0P1在θγ面的曲率半徑為R13,P0P1在θφ面的曲率半徑為R12，且

(4)

(5)

(6)

應(yīng)用式(4)～式(6)可得正應(yīng)變?yōu)?/p>

(7)

其次來考慮切應(yīng)變，以直角∠P1P0P2的切應(yīng)變?chǔ)?2為例。此項(xiàng)切應(yīng)變是由P0P1和P0P2在θφ面內(nèi)相向的轉(zhuǎn)角相加而成，推導(dǎo)過程同上，可得

(8)

由以上推導(dǎo)過程，同理可得彈性力學(xué)幾何方程的6個(gè)表達(dá)式為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

(9e)

(9f)

建立諧振子動(dòng)力學(xué)方程的過程中以半球殼的中面位移、中面應(yīng)變、內(nèi)力以及中面載荷作為討論對(duì)象。下面將以彈性力學(xué)幾何方程式(9)為基礎(chǔ)推導(dǎo)半球殼諧振子的變形幾何方程、物理方程和平衡微分方程。

2.2 半球殼諧振子變形的幾何方程

p3=w

(10)

令面上各點(diǎn)沿θ和φ方向的位移分別為u和v，即

(11)

根據(jù)2.1節(jié)中的第2)個(gè)基本假設(shè)，采用正交曲線坐標(biāo)系，有τ31=0和τ23=0。根據(jù)式(9d)和式(9e)，利用式(2)，以w代替p3，并對(duì)γ從0到γ進(jìn)行積分，注意w不隨γ變化，求解p1和p2，簡化以后，與式(10)聯(lián)立可得：

(12)

在半球殼中，γ的最大絕對(duì)值是h/2，可見k1γ和k2γ的最大絕對(duì)值分別為k1h/2和k2h/2，與1相比，是很小的數(shù)值。在文獻(xiàn)[20]中，計(jì)算精確到1階小量，1+k1γ和1+k2γ可以用式(13)所示的展開式來代替，達(dá)到提高建模精度的目的。

(13)

然后，將式(2)、式(12)、式(13)代入式(9a)、式(9b)和式(9f)，化簡得

(14)

式中：

(15)

式(15)表明中面應(yīng)變與中面位移之間關(guān)系的方程就是半球殼諧振子變形的幾何方程。

2.3 半球殼諧振子的物理方程

在θ面上(在θ為常量的橫截面上)，作用于中面單位寬度上的法向力用T1表示，剪力用T12表示；同樣，在φ面上(在φ為常量的橫截面上)，法向力為T2，剪力為T21；以上4個(gè)力稱為半球殼諧振子的中面內(nèi)力，如圖5(a)所示。在θ面上，作用于單位寬度上的彎矩用M1表示，扭矩用M12表示，橫向剪力用S1表示；在φ面上，彎矩用M2表示，扭矩用M21表示，橫向剪力用S2表示；以上6個(gè)力稱為彎曲內(nèi)力，如圖5(b)所示。

通過分析計(jì)算得出中面內(nèi)力及彎曲內(nèi)力為

(16)

2.4 半球殼諧振子的平衡微分方程

下面建立表述半球殼諧振子中面的內(nèi)力與所受載荷之間關(guān)系的平衡微分方程?？紤]任意微分殼體OO1O3O2的平衡，如圖6所示。在圖6中，把中面內(nèi)力和橫向剪力畫在一個(gè)圖中，如圖6(a)所示；而把彎矩和扭矩畫在一個(gè)圖中，如圖6(b)所示，圖中的X、Y、Z是單位中面面積范圍內(nèi)的載荷。

首先分析了各力在OO1θ軸上的投影，從而建立平衡微分方程∑(T+S)θ=0，將相關(guān)的投影分量相加，令總和等于零，再進(jìn)行微分，得到平衡微分方程∑(T+S)θ=0的投影方程。同理可得∑(T+S)φ=0和∑(T+S)γ=0的平衡微分方程。將所有的力對(duì)OO1θ、OO2φ和Oγ求矩，得到∑Mθ=0、∑Mφ=0和∑Mγ=0的平衡微分方程，建立的平衡微分方程為

(17a)

(17b)

ABZ=0

(17c)

(17d)

(17e)

(17f)

3 諧振子動(dòng)力學(xué)方程

3.1 諧振子的半球殼模型

1) 諧振子坐標(biāo)系

以諧振子球心為原點(diǎn)，定義諧振子坐標(biāo)系Oxryrzr，如圖7所示。諧振子上點(diǎn)Q的矢徑q可以表示為

q=xxr+yyr+zzr

(18)

式中：xr、yr和zr為諧振子坐標(biāo)系的單位矢量；矢徑q的坐標(biāo)值x、y和z表達(dá)式為

(19)

2) 諧振子中面一點(diǎn)沿θ和φ方向的拉梅系數(shù)為

(20)

3) 任意一點(diǎn)沿θ和φ方向的曲率半徑為

R1=R2=R

(21)

4) 當(dāng)諧振子中面發(fā)生形變時(shí)，Q(θ,φ,R)變形之后到達(dá)Q′，產(chǎn)生的位移矢量W在局部坐標(biāo)系(t1t2n系)中的表達(dá)式為

W=ut1+vt2+wn

(22)

5)xryrzr系與t1t2n系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(23)

3.2 諧振子動(dòng)力學(xué)方程

由于求解式(15)～式(17)這3個(gè)偏微分方程組的難度很大，故而采用諧振子中面不可拉伸的假設(shè)[23]，諧振子中面上的正應(yīng)變和切應(yīng)變等于零，滿足

ε1=ε2=ε12=0

(24)

為了分析半球諧振陀螺諧振子的振動(dòng)特性，必須要分析其位移分量，因此以位移分量表示諧振子動(dòng)力學(xué)方程。將諧振子的半球殼模型參數(shù)式(18)～式(23)及中面不可拉伸的假設(shè)式(24)代入式(15)～式(17)后化簡，并將式(15)～式(17)聯(lián)立可得諧振子動(dòng)力學(xué)方程為

(25)

由式(25)可知，該式能用于建立含有中面半徑R不均勻、厚度h不均勻的動(dòng)力學(xué)方程。式(25)是在現(xiàn)有動(dòng)力學(xué)方程基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)建立的更精確的諧振子動(dòng)力學(xué)方程，體現(xiàn)在以下4個(gè)方面：

1) 更全面的動(dòng)力學(xué)分析

在建立物理方程時(shí)考慮了曲率改變量和扭率改變量，對(duì)物理方程中內(nèi)力的分析更加完善，有利于建立更精確的動(dòng)力學(xué)方程。

在建立諧振子動(dòng)力學(xué)方程方面，現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)方程在諧振子唇緣處進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，將半球殼諧振子簡化成環(huán)形諧振子，不能全面地描述諧振子的振動(dòng)特性。為解決這一簡化問題，動(dòng)力學(xué)方程式(25)描述了整個(gè)半球殼的振動(dòng)特性，可以得到半球殼任意θ∈[0,π/2]的動(dòng)力學(xué)方程。

2) 更完整的半球殼諧振子動(dòng)力學(xué)建模

在加載外載荷方面，動(dòng)力學(xué)方程式(25)沒有將外載荷近似簡化加載在諧振子唇緣處，而是在建模過程中，保留了外載荷的實(shí)際作用效果，有利于反映諧振子的實(shí)際振動(dòng)特性，可以加載求解得到更精確的諧振子2階諧振狀態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。

3) 有利于建立更準(zhǔn)確的激勵(lì)電極模型

因?yàn)榧?lì)電極是分布在θ∈[75°,85°]、φ∈[0°,360°]上的一個(gè)獨(dú)立區(qū)間，而不是諧振子邊緣上的一個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行激振力的加載時(shí)是作用在整個(gè)激勵(lì)電極上的，而不是作用在諧振子的邊緣上，可以更準(zhǔn)確地進(jìn)行激振力的加載，對(duì)于后續(xù)控制系統(tǒng)激勵(lì)電極的建模很有意義。

4) 更方便求解外載荷的影響

動(dòng)力學(xué)方程式(25)是線性偏微分方程組，外載荷分析滿足疊加原理，可對(duì)不同形式的外載荷進(jìn)行單獨(dú)分析。

4 諧振子2階諧振狀態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

4.1 布勃諾夫-伽遼金法求解

諧振子處于工作狀態(tài)時(shí)，不考慮外界加速度和溫度的影響，作用在諧振子上的慣性載荷為

(26)

考慮加速度和溫度等外界環(huán)境因素的影響時(shí)，對(duì)諧振子的影響主要通過式(26)體現(xiàn)，由此可以分析環(huán)境因素通過影響諧振子從而導(dǎo)致的陀螺漂移機(jī)理。

諧振子在2階諧振狀態(tài)時(shí)，環(huán)向波數(shù)為n的變形方程滿足瑞利里茨函數(shù)為

(27)

式中：振型方程W2=-[(2+cosθ)tan2θ]/2,U2=V2=(sinθtan2θ)/2；ω2為2階諧振角頻率；t為時(shí)間；p(t)和q(t)為與時(shí)間相關(guān)的系數(shù)。

由文獻(xiàn)[23]可知，當(dāng)諧振子進(jìn)入2階穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，p(t)和q(t)近似滿足

(28)

式中：a和b為與諧振子振幅相關(guān)的系數(shù)。

本文利用布勃諾夫-伽遼金法求解近似解析解，過程為

L=ut1+vt2+wn=[(U2cos 2φ)t1+(V2sin 2φ)

t2+(W2cos 2φ)n]p(t)+[(U2sin 2φ)t1-

(V2cos 2φ)t2+(W2sin 2φ)n]q(t)=

L1(x)p(t)+L2(x)q(t)

(29)

將式(26)～式(28)代入動(dòng)力學(xué)方程式(25)中，并用Ax、Ay和Az分別表示動(dòng)力學(xué)方程組的3個(gè)式子，則半球殼諧振子邊緣的運(yùn)動(dòng)方程M可表示為

M=Axt1+Ayt2+Azn=0

(30)

由布勃諾夫-伽遼金法方法得：

(31)

式中：Vhs為半球殼區(qū)域，化為球坐標(biāo)，可得半球殼諧振子的2階固有振型動(dòng)力學(xué)方程為

(32)

求解結(jié)果為

(33)

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

建模過程中必須考慮到實(shí)際諧振子中存在材料內(nèi)摩擦，模型應(yīng)該是一個(gè)具有衰減環(huán)節(jié)的2階系統(tǒng)，因此在模型中加入阻尼比ξ2，將方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式為

(39)

式中：ξ2=1/(Qfω2)。

考慮諧振子的材料內(nèi)摩擦，由式(39)可得帶有品質(zhì)因數(shù)的p(t)和q(t)表達(dá)式為

(40)

由式(32)、式(39)和式(40)可知，能建立含有密度ρ不均勻、品質(zhì)因數(shù)Qf不均勻的動(dòng)力學(xué)方程，以此為基礎(chǔ)分析加工工藝誤差對(duì)陀螺的影響。

4.2 測試驗(yàn)證

將表1中參數(shù)代入文獻(xiàn)[21]中的動(dòng)力學(xué)模型，求解出的比例系數(shù)和2階諧振頻率為K≈0.313,f2≈2 578.0 Hz。將表1中參數(shù)代入文獻(xiàn)[22]中得到比例系數(shù)為K≈0.277。文獻(xiàn)[23]中動(dòng)力學(xué)模型求解得到的比例系數(shù)和2階諧振頻率為K≈0.277,f2≈10 269 Hz。

與文獻(xiàn)[21-23]中的比例系數(shù)和2階諧振頻率的結(jié)果相比，本文比例系數(shù)、2階諧振頻率的解算結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果基本一致。

5 結(jié) 論

針對(duì)半球諧振陀螺諧振子動(dòng)力學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用問題，基于彈性力學(xué)薄殼理論，提出了完善的諧振子動(dòng)力學(xué)建模方法，為其他振動(dòng)類陀螺的動(dòng)力學(xué)建模提供了理論基礎(chǔ)。

1) 在彈性力學(xué)幾何方程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了諧振子的變形幾何方程、物理方程以及平衡微分方程，建立了精確的諧振子動(dòng)力學(xué)方程，給出了動(dòng)力學(xué)方程建立過程中相關(guān)問題的處理方法。

2) 與現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)方程相比，建立的諧振子動(dòng)力學(xué)方程更準(zhǔn)確、更有優(yōu)勢，主要體現(xiàn)在：① 更全面的動(dòng)力學(xué)分析；② 更完整的半球殼諧振子動(dòng)力學(xué)建模；③ 有利于建立更準(zhǔn)確的激勵(lì)電極模型；④ 更方便求解外載荷的影響。

3) 通過半球諧振陀螺諧振子的參數(shù)計(jì)算和實(shí)際測試結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果一致，證明建立了準(zhǔn)確的諧振子動(dòng)力學(xué)模型。

4) 建立的諧振子動(dòng)力學(xué)方程為以后研究諧振子的中面半徑不均勻、密度不均勻、厚度不均勻、品質(zhì)因數(shù)不均勻等加工工藝誤差以及加速度、溫度等環(huán)境因素導(dǎo)致的陀螺誤差機(jī)理問題提供了動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。

參 考 文 獻(xiàn)

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