穆凌霞 李 平 王新民 馬天力

西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072

近年來，先進的軌跡規(guī)劃及制導(dǎo)技術(shù)作為提高可重復(fù)使用運載器(RLV)自主性、降低成本的重要手段之一，受到了廣泛關(guān)注。其中，末端能量管理(TAEM)的軌跡規(guī)劃及制導(dǎo)是保證RLV安全返回的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

早期的航天飛機TAEM制導(dǎo)策略[2-3]，將地面航程設(shè)計成4段，其中航向校正圓柱(Heading Alignment Cylinder, HAC)采用的半徑及位置固定，縱向制導(dǎo)采用能量剖面，為了預(yù)測地面軌跡和待飛距離，將機翼保持水平，忽略了滾轉(zhuǎn)角對升力的影響，而升力會嚴(yán)重改變飛行器的能量和航程。這種策略是在當(dāng)時的計算機存儲及運算能力的限制下的折衷選擇?？v橫向解耦、離線軌跡的思想導(dǎo)致RLV在自主導(dǎo)引飛行時存在一些固有的局限性：1)離線策略增加了任務(wù)前規(guī)劃的時間和任務(wù)花費，并導(dǎo)致RLV在飛行過程中嚴(yán)重依賴預(yù)先加載于機載計算機中的軌跡。在突發(fā)情況下，只能跟蹤預(yù)先規(guī)劃好的有限的應(yīng)急軌跡，制約了RLV自主修復(fù)的能力；2)縱橫向解耦的設(shè)計策略，難以保證RLV末端飛行狀態(tài)的控制精度，而且將飛行路徑限制在一個狹小的標(biāo)稱飛行走廊內(nèi)難以應(yīng)對非標(biāo)稱情況。文獻[4-6]在航天飛機TAEM軌跡設(shè)計的方法上進行了改進，通過HAC位置和半徑的方法設(shè)計地面航程，將高度剖面規(guī)劃為地面航程的函數(shù)，得到由多個幾何參數(shù)決定的參考軌跡。利用能量航程比的關(guān)系，求解軌跡上各點能量及狀態(tài)，最后判斷終端能量以及約束是否滿足要求，求得可行軌跡解集，擇優(yōu)選擇得到滿足TAEM要求的最優(yōu)參考軌跡。該算法可在線使用，提高了RLV對不同初始能量的自適應(yīng)能力，但是因其繼承了傳統(tǒng)的縱橫向解耦的思想，導(dǎo)致制導(dǎo)精度有限。

文獻[7-10]研究了一種基于內(nèi)核提取的次優(yōu)節(jié)點應(yīng)用的TAEM三維軌跡生成方法。該方法采用的是縱橫向耦合的質(zhì)心運動方程，因此所得的軌跡參數(shù)及控制量更精確。但是，設(shè)計橫側(cè)向軌跡時，利用了飛行器的最大轉(zhuǎn)彎能力，這一特點限制了RLV在非標(biāo)稱情況下進行軌跡調(diào)整的能力，從而制約了非標(biāo)稱情況下的自主飛行能力。文獻[11]則在上述方法基礎(chǔ)上，對軌跡迭代求解邏輯和地面軌跡機動方式進行了改進，加快了軌跡的生成速度，提高了精度和適應(yīng)性。

在已有研究的基礎(chǔ)上，本文提出了一種TAEM三維軌跡規(guī)劃算法及橫向制導(dǎo)策略：設(shè)計了分段地面軌跡，可調(diào)參數(shù)為HAC的位置和大小及轉(zhuǎn)彎模式，提高了對高低能量的適應(yīng)能力；設(shè)計了三維軌跡迭代算法，以KEP運動方程為基礎(chǔ)并利用滾轉(zhuǎn)角剖面，迭代生成滿足縱向剖面的三維軌跡；設(shè)計了縱向位置校正算法，通過對可調(diào)參數(shù)的迭代，使TAEM末端狀態(tài)滿足要求；設(shè)計了HAC段和預(yù)著陸段的橫向制導(dǎo)律，通過建立橫向制導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，從理論上給出了詳細的制導(dǎo)律設(shè)計過程。

1 TAEM軌跡生成算法

1.1 算法基礎(chǔ)

在以時間為自變量的傳統(tǒng)RLV質(zhì)點動力學(xué)方程[4]的基礎(chǔ)上，利用內(nèi)核提取協(xié)議(Kernel Extraction Protocol, KEP)[7]，建立以高度為自變量、動壓為狀態(tài)變量的KEP動力學(xué)方程，有：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中，自變量h為高度；狀態(tài)量(q,γ,χ,x,y,S)分別為RLV的動壓、航跡傾斜角、航跡方位角、縱程、橫程和地面航程；μ為滾轉(zhuǎn)角；m為RLV的質(zhì)量；g為重力加速度，在TAEM飛行范圍內(nèi)可取常值；CL和CD為升力和阻力系數(shù)，為迎角α和馬赫數(shù)的函數(shù)。

注意：該KEP運動方程提取了RLV運動的主要特征?？紤]到動壓對RLV安全飛行的意義，利用動壓替代速度作為狀態(tài)變量；考慮到RLV在末端不涉及與時間相關(guān)的節(jié)省燃油、快速性等問題，利用高度替代時間作為自變量。

為了完成后續(xù)軌跡的規(guī)劃，首先設(shè)計代表縱向特征的動壓剖面，動壓隨高度的變化關(guān)系，如式(7)所示：

qref(h)=α0+α1h+α2h2+α3h3

(7)

對式(7)求導(dǎo)有

(8)

式中，α0,α1,α2和α3為待設(shè)計參數(shù)。

根據(jù)已知的起點、終點處的動壓和高度信息，引入終點處動壓變化率為0的約束，以及設(shè)定中間某高度處的動壓值，構(gòu)成4個約束方程，可確定上述參數(shù)的值。

注意：終點處動壓變化率為0，為準(zhǔn)平衡滑翔假設(shè)，符合緊接著TAEM段的進場著陸段(Approach & Landing, AL)的準(zhǔn)平衡滑翔的假設(shè)。

設(shè)計地面軌跡如圖1所示，在傳統(tǒng)的TAEM分段軌跡的基礎(chǔ)上，增加了對HAC位置和半徑大小的調(diào)整以及2種轉(zhuǎn)彎模式的選擇，以提高制導(dǎo)系統(tǒng)的自適應(yīng)能力。轉(zhuǎn)彎模式有跨越式和直接式2種，如圖1所示，當(dāng)RLV起點與HAC在跑道同側(cè)為直接式，否則為跨越式，采用該策略可以確保當(dāng)RLV在初期再入段結(jié)束時具有不同的能量時，均能通過合適的轉(zhuǎn)彎模式選擇以及HAC的調(diào)整實現(xiàn)精確著陸。圖1中，TAEM段開始于TEP(Terminal Entry Point)點，經(jīng)歷的4段飛行路線依次為：捕獲段、直線飛行段、HAC段和預(yù)著陸段。

圖1 地面軌跡設(shè)計

(9)

根據(jù)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎原理，利用上述航程的大小，計算在滾轉(zhuǎn)角指令的分段函數(shù)如下：

(10)

1.2 算法設(shè)計

在上述動壓剖面和地面軌跡的基礎(chǔ)上，設(shè)計TAEM三維軌跡生成算法流程如圖2所示，在每個高度節(jié)點上，利用2個嵌套回路迭代求解滿足RLV運動方程的狀態(tài)變量。內(nèi)環(huán)使用割線法，調(diào)節(jié)迎角使得實際與期望的動壓變化率相等，然后根據(jù)式(10)計算滾轉(zhuǎn)角，使用割線法調(diào)節(jié)航跡角使實際與期望的動壓一致，計算當(dāng)前高度節(jié)點上的地面航程，為下一節(jié)點的滾轉(zhuǎn)角的計算作鋪墊，記錄所有狀態(tài)并進入到下一個高度節(jié)點的循環(huán)。

圖2 TAEM三維軌跡迭代算法

該算法可以保證終點處的高度、動壓、橫向位置和航跡方位角滿足指定的要求，但縱向位置有出現(xiàn)誤差的可能，因此，設(shè)計如圖3所示的縱向位置校正算法，通過調(diào)整R1,xHAC(定義如圖1所示)實現(xiàn)縱向位置的校正，同時通過轉(zhuǎn)彎模式的選擇實現(xiàn)RLV不同初始能量的要求，算法原理如下：

Step1: 設(shè)定R1,xHAC為最小值，并選擇跨越式飛行模式，利用算法1完成TAEM三維軌跡的設(shè)計，得到最終的縱向位置；

Step2: 判斷該位置是否超過終點位置xALI，若是，則選取跨越式飛行模式0，若否，則選取直接式飛行模式1；

Step3: 設(shè)定R1,xHAC的值，進行三維軌跡設(shè)計；

Step4: 判斷|xf-xALI|是否小于Δ=100ft，若是，則仿真結(jié)束，若否，則利用式(11)和(12)調(diào)整設(shè)置新的R1,xHAC，返回Step3。

HAC位置的校正采用如下線性規(guī)律：

xHAC(k+1)=xHAC(k)+bsgo

(11)

其中，sgo=xALI-xf表示縱向待飛距離；b為校正因子，在2種不同的模式下取不同的值。

HAC半徑R1的校正采用牛頓迭代法：

(12)

其中，文中的縱向位置校正策略是通過調(diào)整HAC的弧長達到調(diào)整sgo的目的。根據(jù)式(9)的HAC的弧長，計算上式中偏微分項?sgo/?R1=ΨHAC。

圖3 縱向位置校正算法

2 橫向魯棒制導(dǎo)律設(shè)計

當(dāng)RLV進入到TAEM段時，通過在線軌跡規(guī)劃器，根據(jù)當(dāng)前的能量狀態(tài)規(guī)劃合適的飛行軌跡，即確定HAC的位置、半徑大小以及轉(zhuǎn)彎模式。RLV在飛行過程中需完成對軌跡的跟蹤飛行。其中，各段的縱向采用迎角制導(dǎo)策略，可參見文獻[4]。本節(jié)主要研究RLV橫側(cè)向制導(dǎo)律的設(shè)計，HAC段為螺旋軌跡，RLV進行大范圍橫向機動，成為整個TAEM段制導(dǎo)的關(guān)鍵技術(shù)，預(yù)著陸段為TAEM的最后一段，考慮到HAC段的跟蹤誤差及切換延遲帶來的誤差，高精度的航向校正控制意味著TAEM的制導(dǎo)精度。

2.1 HAC段橫向制導(dǎo)律設(shè)計

如圖4所示，當(dāng)RLV跟蹤HAC的圓弧時，在法向和側(cè)向分別對RLV進行受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律有：

(13)

(14)

Lcosμ=mgcosγ

(15)

考慮到RLV轉(zhuǎn)彎角速率

(16)

定義VH=Vcosγ為RLV在水平方向的速度。因此，根據(jù)式(14)和(16)，解得

上述過程完成了開環(huán)滾轉(zhuǎn)角指令的計算，從理論上來講，若RLV能夠以上式所示的滾轉(zhuǎn)角飛行，那么RLV將能較好的跟蹤理想的HAC軌跡，但是，實際飛行中，初始條件的不確定以及模型的假設(shè)及不確定性，均會導(dǎo)致僅依賴該制導(dǎo)指令達不到滿意的軌跡跟蹤效果。因此，引入閉環(huán)制導(dǎo)指令，實時校準(zhǔn)RLV的航向誤差。與文獻[4]不同，本文從理論的角度對制導(dǎo)律進行設(shè)計。

首先，建立軌跡跟蹤的模型，如圖4所示，定義σ為航跡偏差角，η為RLV當(dāng)前位置和HAC中心參考點連接成的直線與x軸之間的角度，R為HAC半徑，由圖4中的幾何關(guān)系，有：

圖4 HAC軌跡跟蹤模型

η=ψ+(90°-σ)

(17)

(18)

(19)

由式(14)、(17)和(18)可得，

(20)

定義航向偏差角的擾動量、半徑的擾動量和滾轉(zhuǎn)角增量分別為：

δu=[μ-μ*]

δR=R-R*,δσ=σ-σ*

其中，μ*,R*和σ*為相應(yīng)的期望值。

令系統(tǒng)狀態(tài)變量δz=[δRT,δσT]T，輸入為δu，對式(19)和(20)求偏導(dǎo)，并利用式(15)的關(guān)系，建立線性系統(tǒng)方程：

(21)

(22)

可見系統(tǒng)矩陣A,B在某一瞬態(tài)均為已知量或可測量得到。根據(jù)系統(tǒng)能控性秩判據(jù)，可知系統(tǒng)完全能控。此外，根據(jù)det(λI-A)=0，計算得到系統(tǒng)的特征根為：λ=±j(VH/R)?？梢娤到y(tǒng)是二階零阻尼系統(tǒng)，需引入反饋項。令反饋制導(dǎo)項為：

δu=Kδz=kRδR+kσδσ

(23)

利用極點配置的原理，得到：

其中，ξ,ωn為阻尼比和自然頻率。

因此，HAC段的橫向閉環(huán)制導(dǎo)指令為：

總的橫向制導(dǎo)律為：

(24)

2.2 預(yù)著陸段橫向制導(dǎo)律設(shè)計

當(dāng)ΨHAC≤5°時，制導(dǎo)系統(tǒng)即認(rèn)為HAC段的飛行完成，隨即切換至預(yù)著陸段，理想情況下，此時的滾轉(zhuǎn)角μ應(yīng)當(dāng)為0，橫向位置為0，而實際中，由于HAC段終點處的位置誤差，以及切換延遲帶來的誤差，需要對滾轉(zhuǎn)角進行修正，以消除最終的橫向位置誤差。

選取橫向位置及其變化率為狀態(tài)變量，構(gòu)建系統(tǒng)方程為：

設(shè)計制導(dǎo)律為：

與HAC段類似，此處不再展開。因此，預(yù)著陸段的橫向制導(dǎo)律為：

(25)

3 仿真驗證

本文建立的RLV模型具有與X-34飛行器[12]類似的結(jié)構(gòu)，在MATLAB環(huán)境下對RLV末端能量管理段軌跡規(guī)劃算法及制導(dǎo)策略進行仿真分析，首先，在不同的初始條件下，生成期望的TAEM飛行軌跡，以驗證軌跡規(guī)劃算法的可行性及其對初始條件不確定性的自適應(yīng)能力。然后，對HAC段及預(yù)著陸進行軌跡跟蹤分析，以驗證橫向制導(dǎo)律對HAC初始偏差情形下的適應(yīng)能力。

由于初期再入段的控制誤差，導(dǎo)致TAEM段起點位置和航跡方位角存在不確定性，因此，論文設(shè)定了如表1所示的5種不同的仿真初始條件，分別進行仿真試驗，起點高度均為85000ft，動壓255psf，終點高度為10000ft，動壓為170psf。設(shè)定HAC半徑調(diào)節(jié)因子R2=305。

圖5給出了不同初始條件下的地面軌跡迭代曲線，可見該軌跡規(guī)劃算法可保證在不同的初始條件下，通過調(diào)整HAC的位置和大小及轉(zhuǎn)彎模式，可規(guī)劃出合適的參考軌跡，算法可行。

為了驗證HAC段和預(yù)著陸段的橫向制導(dǎo)律，選取HAC起始點為仿真開始點，此時高度為38000ft，

馬赫數(shù)0.8，處于亞聲速飛行階段。給定HAC段的初始位置誤差為1000ft，選取ξ=0.7,ωn=0.5rad/s,ξp=0.9,ωnp=0.5rad/s。圖6給出了地面軌跡的跟蹤曲線，可見在制導(dǎo)律式(24)和(25)的作用下，可以保證TAEM末端制導(dǎo)的精度。圖7給出該范圍內(nèi)的迎角和滾轉(zhuǎn)角隨高度變化的曲線圖，迎角除了在HAC開始處出現(xiàn)瞬態(tài)響應(yīng)，其余均較為平緩，滾轉(zhuǎn)角在HAC段逐漸減小，在預(yù)著陸段近似為0，最終保證了橫向位置誤差接近為0。

表1 不同初始條件下的軌跡生成結(jié)果

圖5 不同初始條件下生成的地面軌跡

圖6 地面軌跡跟蹤結(jié)果

圖7 系統(tǒng)輸入曲線

4 結(jié)論

考慮到RLV在TAEM段的實際飛行特點，本文提出的軌跡規(guī)劃算法從建立以高度為自變量、動壓為狀態(tài)變量的KEP運動方程著手，根據(jù)動壓剖面和地面軌跡，迭代生成三維軌跡。利用縱向位置校正算法，保證在不同初始位置下能夠生成合理的TAEM軌跡?？紤]到橫向跟蹤可能出現(xiàn)的誤差，設(shè)計了HAC段和預(yù)著陸段的橫向制導(dǎo)律，保證了末端制導(dǎo)精度。

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