王彥達(dá)
(湖北省武漢市第二中學(xué) 430000)
題目:
(1)2,3,4,5,6,7,( );
(2)5,7,9,11,13,( );
(3)4,6,8,10,12,( );
(4)9,16,25,36,49,( );
(5)8,27,64,125,216,( ).
參考答案
(1)很明顯是基于自然數(shù)的序列,所以括號值為8.
(2)很明顯是基于奇數(shù)排列的,所以括號值為15.
(3)很明顯是基于偶數(shù)排列的,所以括號值為14.
(4)該數(shù)列第一數(shù)9表示32,第二個數(shù)表示為42,因而表示為自然數(shù)的平方,所以括號值為64.
(5)該數(shù)列第一個數(shù)8可以表示為23,第二個數(shù)27可以表示為33,以此類推,所以括號值表示為73,即343.
這是很容易看出規(guī)律的數(shù)值推理方面的試題,但是在實(shí)際命題過程中,不一定通過一步推理就可以得到.以第一個數(shù)列為例,2, 3, 4, 5, 6, 7,…這樣的數(shù)列只需要執(zhí)行加1計(jì)算即可,我們必須掌握多步數(shù)值推理的思考能力,從而提高我們解答這類題的技巧.
1.基于公差與公比的數(shù)列推理
(1)5,10,17,26,( );
(2)7,9,( ),21,37;
(3)8,9,0,-25,-72,( );
(4)2,7,24,77,( ).
分析用常規(guī)的加減與平方立方無法求解,這里我們就需要從數(shù)與數(shù)之間的差值發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
解(1)可以看出,相鄰兩數(shù)之差是有規(guī)律的,差值分別是5,7,9,…,即xn+1-xn= 2(n+1)+1=2n+ 3.則x5-x4=11,x5=26+11=37.
(2)觀察數(shù)列,括號值正好在數(shù)列的中間,數(shù)列從差值來看,最前面的差值為2,最后面的差值為16,從差值的數(shù)列來看,我們發(fā)現(xiàn)一共有4個數(shù),這里面可以采用很多方法來解決,第一差值為2,最后一個差值為16,相差14,我們可以提出兩個假設(shè):
假設(shè)1 對差值數(shù)列基于平均值求解,將其看作為等差數(shù)列,數(shù)與數(shù)之間的差值為14/3,因而第二個差值為20/3,括號里面的值即為20/3+9=47/3,第三個差值為20/3+14/3=34/3,則對應(yīng)數(shù)列第4個數(shù)應(yīng)該是括號里面的值加第三個差值,得47/3+34/3=27,不等于對應(yīng)數(shù)列第4個數(shù),第4個數(shù)為21,所以假設(shè)1是不成立的.
假設(shè)2 對差值數(shù)列進(jìn)行等比值求解,將其看作為等比數(shù)列,數(shù)與數(shù)之比為2,即第一個差值為2,則后面的一個差值為4,第三個差值為8,最后一個差值為16,基于該假設(shè),括號內(nèi)的值應(yīng)該為9+4=13,則對應(yīng)原來數(shù)列第4個數(shù)應(yīng)該為13+8=21,正好滿足條件,則括號內(nèi)的值為13.
(3)我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列第一個數(shù)是正數(shù)8,到了最后出現(xiàn)負(fù)數(shù),數(shù)列對應(yīng)的數(shù)值是呈現(xiàn)下降的趨勢,但是從一次差值分析(8,9,0,-25,-72,x6)對應(yīng)差值為(1,-9,-25,-47,x6+72),依然未發(fā)現(xiàn)規(guī)律.因此思考是不是二次差值排列能發(fā)現(xiàn)規(guī)律.將(1,-9,-25,-47,x6+72)進(jìn)一步進(jìn)行差值排列得到(-10,-16,-22,x6+119),發(fā)現(xiàn)差值為-6,即x6+119+22=-6,x6=-147.
(4)通過觀察,發(fā)現(xiàn) 7=2×3+1;24=7×3+3;77=24×3+5.從這個表達(dá)式里面可以看出,后面一個數(shù)等于前面一個數(shù)乘以3加上一個奇數(shù)得到,因而括號內(nèi)的值可以表示為77×3+7=238.
2.基于次方變化的數(shù)值推理
(1)32,81,64,25,6( );
(2)15,35,63,99,( );
(3)4,16,49,121,( ).
分析從(1)(2)(3)可以看出,數(shù)與數(shù)大多都是平方、立方或者多次方的值,比如32可以表示為25,而121可以表示為112,還有64可以表示為43,很明顯這樣一組數(shù)列滿足多次方有關(guān)的規(guī)律.
解(1)進(jìn)行最小質(zhì)數(shù)分解[3],可以發(fā)現(xiàn)32=25;81=34;64=43;25=52,6=61,則x6=70=1.
(2)我們發(fā)現(xiàn)15,35,63,99這樣的數(shù)列,每一個數(shù)加1,正好可以表示為自然數(shù)的平方,得到16,36,64,100,即表示為42,62,82,102.這些平方的底數(shù)是按照等差數(shù)列排列的,即4,6,8,10,也就是說括號內(nèi)的值表示為122=144,減1得到答案143.
(3)4,16,49,121這幾個數(shù)都是對應(yīng)自然數(shù)的平方,即表示為22,42,72,112.這樣還是看不規(guī)律,但是從xy的底數(shù)看出規(guī)律:4-2=2;7-4=3;11-7=4.求解底數(shù)之差,發(fā)現(xiàn)它們是等差數(shù)列,則括號內(nèi)的數(shù)也是自然數(shù)的平方和,底數(shù)與前一個自然數(shù)差為5,對應(yīng)底數(shù)表示為11+5=16,則括號內(nèi)數(shù)值為162,即256.
通過上述的數(shù)值推理的舉例,我們會發(fā)現(xiàn)加減乘除在一般數(shù)值推理中是很基礎(chǔ)的,但是也十分重要,復(fù)雜的數(shù)值推理也是由數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算找到規(guī)律的.很多規(guī)律的發(fā)現(xiàn)不是一步推理得到,可以將數(shù)表示為含有參數(shù)函數(shù),也可以表示為某幾個數(shù)的序列發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,在具體的看似無規(guī)律數(shù)值分析中,我們不能忽略任何細(xì)節(jié),只要解決了一部分的規(guī)律推測,即可用于數(shù)列的分析.
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